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专题突破练(分值:92 分)
学生用书
P201
一、选择题:本题共7 小题,每小题5 分,共35 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·河北沧州期中)直线y=3x-1 与椭圆x
2
4 + y
2
8
=1 的公共点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.无数个
答案C
解析由{
y =3 x -1,
x
2
4 + y
2
8 =1,
消去y 整理得11x2-6x-7=0,显然Δ=(-6)2-4×11×(-7)>0,所以直线y=3x-1 与椭圆
x
2
4 + y
2
8
=1 相交,有2 个公共点.故选C.
2.(2024·江苏南通模拟)已知双曲线C: x
2
4
-y2=1,直线l:x-y+1=0,若双曲线C 上的点P 到直线l 的距离最
小,则点P 的横坐标为( )
A. 2√3
3
B. 4√3
3
C.-2√3
3
D.-4√3
3
答案D
解析由题意得直线l:x-y+1=0 与双曲线无交点,设直线l 的平行线l1:x-y+m=0,联立{
x - y +m=0,
x
2
4 - y
2=1,
整
理得3x2+8mx+4m2+4=0,若直线l1与双曲线相切,切点为P,则Δ=(8m)2-4×3×(4m2+4)=0,解得m=±√3.
由图形可知当m=√3时,双曲线C 上的点P 到直线l 的距离最小,代入3x2+8mx+4m2+4=0,即3x2+8√3
x+16=0,解得x=-4√3
3
.故选D.
3.(2024·四川眉山三模)设O 为坐标原点,过点(2,0)的直线与抛物线C:y2=2px(p>0)交于M,N 两点,若⃗
OM ·⃗ON=-4,则p 的值为( )
A. 1
4
B. 1
2
C.2
D.4
答案C
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解析由题意,直线MN 的斜率不为0,故可设直线MN 的方程为x=my+2,设M(x1,y1),N(x2,y2),由
{
x =my +2,
y
2=2 px,
得y2-2pmy-4p=0,故y1y2=-4p,x1x2=( y1 y2)
2
4 p
2
=4,从而⃗OM ·⃗ON=x1x2+y1y2=4-4p=-4,解得
p=2.故选C.
4.(2024·河南焦作模拟)已知直线y=x-1 交曲线C:y2=4x 于A,B 两点(点A 在点B 的上方),F 为C 的焦点,
则| AB|
| AF |-|BF |
=( )
A.2√3
B.2√2
C.2
D.√2
答案D
解析联立{
y = x -1,
y
2= 4 x,
消元得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),解得x1=3+2√2,x2=3-2√2,易知F(1,0)过直
线AB,根据抛物线的定义,可得|AF|=x1+ p
2
=4+2√2,|BF|=x2+ p
2
=4-2√2,所以
| AB|
| AF |-|BF | =| AF |+|BF |
| AF |-|BF | =√2.故选D.
5.(2024·辽宁朝阳期末)如图,已知椭圆x
2
25 + y
2
9
=1 的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆
于A,B 两点,若△ABF2的内切圆的面积为3π,设A,B 两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|的值为(
)
A.√3
B.2
C. 3√5
2
D. 5√3
2
答案D
解析由题意知△ABF2内切圆的半径为√3,|F1F2|=8.又|AF2|+|AB|+|BF2|=|AF2|+|AF1|+|BF1|+|BF2|=20,
所以△ABF2的面积S=1
2
(|AF2|+|AB|+|BF2|)×√3=10√3.因为S=1
2
|F1F2|·|y1-y2|=10√3,所以|y1-y2|=
20√3
8
= 5√3
2
.故选D.
6.(2024·山西临汾二模)已知抛物线C:y2=4x,过点M 3
2,-1 的直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点,且M
为弦AB 的中点,则直线l 的斜率为( )
A.-1
2
B.-3
4
C.-1
D.-2
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答案D
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点,所以{
y1
2= 4 x1,
y2
2= 4 x2,
两式相减得(y1-y2)
(y1+y2)=4(x1-x2),由题意得直线l 的斜率k= y1- y2
x1- x2
=
4
y1+ y2
=
4
2×(-1)
=-2.故选D.
7.(2024·辽宁沈阳一模)已知双曲线C: y
2
3
-x2=1 的下焦点和上焦点分别为F1,F2,直线y=x+m 与双曲线
C 交于A,B 两点,若△F2AB 的面积是△F1AB 的面积的4 倍,则m=( )
A.3
B.-3
C. 10
3
D.-10
3
答案D
解析由双曲线C: y
2
3
-x2=1 可知F1(0,-2),F2(0,2),联立{
y
2
3 - x
2=1,
y = x +m,
消元得2x2-2mx+3-m2=0,则Δ=4m2-
8(3-m2)>0,即m2>2.由△F2AB 的面积是△F1AB 的面积的4 倍可知,点F2到直线AB 的距离是点F1到直
线AB 的距离的4 倍,即|2-m|
√2
=4|2+m|
√2
,化简可得15m2+68m+60=0,解得m=-10
3
或m=-6
5
(舍去).
故选D.
二、选择题:本题共2 小题,每小题6 分,共12 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
8.(2024·辽宁锦州三模)已知双曲线C:x2-y2=1 及直线l:y=kx-1,若l 与双曲线C 交于A,B 两点,O 是坐标
原点,且△AOB 的面积为√2,则实数k 的值可能为( )
A.0
B. 3
2
C. √5
2
D. √6
2
答案AD
解析联立{
x
2- y
2=1,
y =kx -1,
消去y 整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,由已知{
1-k
2≠0,
Δ= 4 k
2+8(1-k
2)>0,
所以0≤k2<1
或1<k2<2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= 2k
k
2-1
,x1x2=
2
k
2-1
.由题意,直线l 恒过点D(0,-1).①若x1x2<0,如
图1,则S△AOB=S△AOD+S△BOD=1
2
|x1|·|-1|+1
2
|x2|·|-1|=1
2
|x1-x2|=√2;②若x1x2>0,如图2,则S△AOB=|S△AOD-
S△BOD|=|1
2
|x1|·|-1|-1
2
|x2|·|-1||=1
2
|x1-x2|=√2.所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=8,即( 2k
k
2-1
)2-
8
k
2-1
=8,解得k=0
或k=±√6
2
,经检验,k=0 或k=±√6
2
均满足题意,故k=0 或k=±√6
2 .故选AD.
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图1
图2
9.(2024·陕西咸阳二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,A(-1,0),P,Q 为抛物线C 上两点,
且⃗AP=λ⃗AQ(λ>1),则下列选项正确的有( )
A.⃗OP·⃗OQ=5
B.⃗AP·⃗AQ>8
C.若λ=2,则|PQ|=√15
2
D.若S△PQO=4√2,则|PQ|=16√5
答案ABD
解析由抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,可得- p
2
=-1,解得p=2,所以抛物线C:y2=4x.设直线
PQ:x=ty-1,且P( y1
2
4
,y1),Q( y2
2
4
,y2),联立{
x =ty -1,
y
2= 4 x,
整理得y2-4ty+4=0,则Δ=16t2-16>0,解得t2>1,且
y1+y2=4t,y1y2=4.⃗OP·⃗OQ =( y1 y2)
2
16
+y1y2=1+4=5,故A 正确;⃗AP·⃗AQ =( y1 y2)
2
16
+ y1
2+ y2
2
4
+1+y1y2=6+ y1
2+ y2
2
4
>6+1
2
y1y2=8,故B 正确;当λ=2 时,由⃗AP=2⃗AQ,可得y1=2y2,则y1=2√2,y2=√2或
y1=-2√2,y2=-√2,所以|PQ|=√17
2
,故C 错误;由S△PQO=|S△POA-S△QOA|=1
2 ·|y1-y2|=
1
2 ·√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2=2√t
2-1=4√2,解得t=±3,所以|y1-y2|=8√2,则|PQ|=√1+t
2·|y1-y2|=16√5,故
D 正确.故选ABD.
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三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
10.请写出一个焦点在y 轴上,且与直线y=2x 没有交点的双曲线的标准方程: .
答案y
2
4
-x2=1(答案不唯一)
解析与直线y=2x 没有交点,则y=2x 可以作为双曲线的渐近线,故满足y
2
4
-x2=λ(λ>0),取λ=1,则满足条
件的一个双曲线方程可以为y
2
4
-x2=1.
11.已知O 为坐标原点,F 为抛物线y2=4x 的焦点,椭圆D: y
2
a
2 +x2=1(a>1),记P 为抛物线与椭圆D 在第
一象限的交点,延长PO 交椭圆D 于点Q.若|PF|=3
2
,则△PQF 的面积为 .
答案√2
解析由y2=4x,可得点F(1,0).由椭圆D: y
2
a
2 +x2=1(a>1),可得点F(1,0)与椭圆短轴的一个顶点重合.根据
椭圆的对称性,|PO|=|OQ|,所以△PQF 的面积等于△POF 的面积的2 倍.由抛物线的定义知,点P 到准
线x=-1 的距离为3
2
,所以点P 的横坐标为1
2
,代入抛物线方程得点P 的纵坐标为√2.所以△PQF 的面
积为S=2× 1
2 ×1×√2=√2.
12.(2024·广东茂名一模)已知双曲线C:x2- y
2
3
=1,直线l:y=kx+1 分别与双曲线C 的左、右支交于M,N
两点,O 为坐标原点,若△OMN 的面积为√6,则直线l 的方程为 .
答案y=±√2x+1
解析联立{
x
2- y
2
3 =1,
y =kx +1,
消去y 得(3-k2)x2-2kx-4=0,
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∴3-k2≠0,Δ=4k2+16(3-k2)>0,得k2<4,且k2≠3.令M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= 2k
3-k
2,x1x2=-
4
3-k
2,由x1x2=-
4
3-k
2<0,得k2<3.由直线过定点(0,1),得S△OMN=1
2 ×1×|x1-x2|=√6,∴(x1+x2)2-4x1x2=( 2k
3-k
2)2+ 16
3-k
2=24,
解得k2=2 或k2=7
2
(舍去),∴k=±√2,∴直线l 的方程为y=±√2x+1.
四、解答题:本题共2 小题,共30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.(15 分)(2024·安徽蚌埠期末)已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
,焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l:y=-x+m(m∈R)与椭圆C 相交于A,B 两点,且直线OA 的斜率kOA与直线OB 的斜率kOB满
足kOA·kOB=9
8
,求△AOB 的面积.
解(1)因为椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
,
所以c
a = 1
2
,
又因为焦距为2,所以2c=2,即有c=1,a=2.
则b=√a
2-c
2=√3,
所以椭圆C 的标准方程为x
2
4 + y
2
3
=1.
(2)联立{
x
2
4 + y
2
3 =1,
y =- x +m,
消去y 整理得7x2-8mx+4m2-12=0,
由Δ=(-8m)2-4×7(4m2-12)>0,则m2<7,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8m
7
,x1x2=4 m
2-12
7
,
故y1y2=(-x1+m)(-x2+m)=x1x2-m(x1+x2)+m2=3m
2-12
7
,
则kOA·kOB= y1 y2
x1 x2
= 3m
2-12
4 m
2-12
= 9
8
,
化简得m2=1,即m=±1,满足m2<7.
故|AB|=√1+(-1)
2·√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2= 24
7
,又点O 到直线l 的距离d=|m|
√1+(-1)
2 = 1
√2
,
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因此△AOB 的面积S=1
2
|AB|·d=1
2 × 24
7 × 1
√2 = 6√2
7
,故△AOB 的面积为6√2
7
.
14.(15 分)(2024·北京西城模拟)已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为2√5
5
,以椭圆C 的上、下顶
点和右焦点F 为顶点的三角形的面积为2.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设O 为坐标原点,过点F 的直线l 交椭圆C 于点A,B,直线OA,OB 交直线x=1 于点M,N,若△AOB 与
△MON 的面积相等,求直线l 的方程.
解(1)依题意有{
c
a = 2√5
5
,
1
2 ×2b×c =2,
a
2=b
2+c
2,
解得{
a=√5,
b=1,
c =2,
所以椭圆C: x
2
5
+y2=1.
(2)当直线l 的斜率不存在时,易知S△AOB>S△MON,显然不合题意,因此直线l 的斜率必存在,设l 的方程为
y=k(x-2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
y =k ( x -2),
x
2+5 y
2=5,
得(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0,由于点F 在椭圆C 内,因此Δ>0 恒成立,且x1x2=
20k
2-5
5k
2+1
.
直线AM:y= y1
x1
x⇒点M 的纵坐标yM= y1
x1
,
同理点N 的纵坐标yN= y2
x2
,因此S△AOB=1
2
|OF|·|y1-y2|=|k(x1-x2)|,
S△MON=1
2 ×1×|yM-yN|=1
2
y1
x1
- y2
x2
=1
2
k ( x1-2) x2-k ( x2-2) x1
x1 x2
=|k ( x1- x2)|
| x1 x2|
.
由于S△AOB=S△MON,所以|k(x1-x2)|=|k ( x1- x2)|
| x1 x2|
,
因此|x1x2|=|20k
2-5
5k
2+1
|=1,
解得k=±√10
5
或k=±2
5 .
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故直线l 的方程为y=±√10
5
(x-2)或y=±2
5
(x-2).
