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专题突破练(分值:60 分)
学生用书
P153
一、选择题:本题共5 小题,每小题5 分,共25 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·广东揭阳二模)把函数f(x)=3sin 3x 的图象向左平移1
4
个最小正周期的单位长度后,所得图象
对应的函数为( )
A.y=3sin(3 x + 3
4)
B.y=3sin(3 x - 3
4)
C.y=3cos 3x
D.y=-3cos 3x
答案C
解析由题意得f(x)的最小正周期为T=2π
3
,则所求函数为y=3sin 3(x+2π
3 × 1
4
)=3sin(3x+π
2
)=3cos 3x.
故选C.
2.(2024·北京房山模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2
)的部分图象如图所示,则( )
A.ω=1
2
,φ=π
3
B.ω=1
2
,φ=-π
3
C.ω=2,φ=π
3
D.ω=2,φ=-π
3
答案C
解析由题中图象知,3
4
T=13 π
12 - π
3 = 3 π
4
,即T=π,则ω=2π
π
=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).因为点(
π
3 ,0)在
f(x)图象上,所以2×π
3
+φ=2kπ+π(k∈Z),即φ=2kπ+π
3
(k∈Z).因为|φ|<π
2
,所以φ=π
3
.故选C.
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3.(2024·浙江杭州三模)已知函数f(x)=cos(2x+π
4
),则“θ=π
8
+kπ(k∈Z)”是“f(x+θ)为奇函数且f(x-θ)为
偶函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析当θ=π
8
+kπ(k∈Z)时,f(x+θ)=cos(2x+π
4 + π
4
+2kπ)=-sin 2x 是奇函数,f(x-θ)=cos(2x+π
4 - π
4
-2kπ)=cos 2x 是偶函数,故充分性成立,当θ=5 π
8
时,有f(x+θ)=cos(2x+π
4 + 5 π
4
)=sin 2x 是奇函数,f(x-
θ)=cos(2x+π
4 - 5 π
4
)=-cos 2x 是偶函数,但此时关于k 的方程π
8
+kπ=5 π
8
(k∈Z)无解,故必要性不成立.
综上所述,“θ=π
8
+kπ(k∈Z)”是“f(x+θ)为奇函数且f(x-θ)为偶函数”的充分不必要条件.
故选A.
4.(2024·四川宜宾模拟预测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(- π
6 , π
3)上单调递增,直线x=-π
6
和x=π
3
为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f(- π
12)=( )
A.-√3
2
B.-1
2
C.1
2
D.√3
2
答案A
解析因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间(- π
6 , π
3)上单调递增,且直线x=-π
6
与x=π
3
为y=f(x)相邻的两条对称
轴,
所以T
2 = π
3 -(- π
6)= π
2
,即T=π.
又ω>0,所以ω=2π
T
=2.
当x=-π
6
时取得最小值,即f(- π
6)=-1,
所以sin(- π
3 +φ)=-1,
解得φ=-π
6
+2kπ,k∈Z,所以f(- π
12)=sin(- π
3 +2k π)=sin(- π
3)=-√3
2
.
故选A.
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5.(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+π
3
),把f(x)的图象向左平移π
3
个单位长度得到函数g(x)
的图象,则( )
A.g(x)是偶函数
B.g(x)的图象关于直线x=-π
4
对称
C.g(x)的图象关于直线x=π
2
对称
D.g(x)的图象关于点(
π
4 ,0)中心对称
答案B
解析由题可得,g(x)=2sin(2x+2π
3 + π
3
)=2sin(2x+π)=-2sin 2x.由于函数g(x)的定义域为R,且g(-
x)=-2sin(-2x)=sin 2x=-g(x),故g(x)为奇函数,故A 错误.
由选项A 可知g(x)=-2sin 2x,故g(x)的图象的对称轴为2x=π
2
+kπ(k∈Z),即x=π
4 + k π
2
,k∈Z.令k=-1,
可得x=-π
4
,即g(x)的图象关于直线x=-π
4
对称,故B 正确.
由选项B 可知不存在k∈Z,使得g(x)图象的对称轴为直线x=π
2
,故C 错误.
由选项A 可知g(
π
4)=-2sin(2× π
4)=-2,故点(
π
4 ,0)不是g(x)图象的中心对称点,故D 错误.故选B.
二、选择题:本题共2 小题,每小题6 分,共12 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
6.(2024·广东深圳二模)已知函数f(x)=sin ωx+acos ωx(x∈R,ω>0)的最大值为2,其部分图象如图所示,
则( )
A.a=√3
B.函数f(x - π
6)为偶函数
C.满足条件的正实数ω,存在且唯一
D.f(x)是周期函数,且最小正周期为π
答案ACD
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解析由题可得f(x)=sin ωx+acos ωx=√a
2+1·sin(ωx+φ),其中sin φ=
a
√a
2+1
,cos φ=
1
√a
2+1
.
又f(x)max=√a
2+1=2,解得a=±√3.
又f(0)=a>0,所以a=√3,故A 正确.
因为a=√3,所以f(x)=sin ωx+√3cos ωx=2sin(ωx + π
3).
又f(
π
4)=2sin(
π ω
4 + π
3)=1,
则sin(
π ω
4 + π
3)= 1
2
,
结合图象可知π ω
4 + π
3 = 5 π
6
+2kπ,k∈Z,
所以ω=2+8k,k∈Z.
又T
2 > π
4
,所以{
2π
ω > π
2 ,
ω>0,
解得0<ω<4,
所以ω=2,故C 正确.
因为ω=2,则f(x)=2sin(2 x + π
3),
则f(x - π
6)=2sin[2(x-π
6
)+π
3
]=2sin 2x 为奇函数,故B 错误.
由B 知,f(x)是周期函数,且最小正周期T=2π
2
=π,故D 正确.故选ACD.
7.(2024·安徽合肥三模)已知x1,x2是函数f(x)=2sin(ωx - π
6)(ω>0)的两个零点,且|x1-x2|的最小值是π
2
,
则( )
A.f(x)在区间[0, π
3]上单调递增
B.f(x)的图象关于直线x=-π
6
对称
C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x 的图象向右平移π
6
个单位长度得到
D.f(x)在区间[
π
2 ,π]上仅有1 个零点
答案ABD
解析由题可知,函数f(x)的最小正周期T=2×π
2 = 2π
ω
,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2 x - π
6).
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对于A,当x∈[0, π
3]时,2x-π
6 ∈[- π
6 , π
2],
所以f(x)在区间[0, π
3]上单调递增,故A 正确;
对于B,因为f(- π
6)=2sin[2×(- π
6)- π
6
]=2sin(- π
2)=-2,
所以f(x)的图象关于直线x=-π
6
对称,故B 正确;
对于C,将g(x)=2sin 2x 的图象向右平移π
6
个单位长度,得y=2sin 2(x - π
6)=2sin(2 x - π
3)≠f(x),故C
错误;
对于D,当x∈[
π
2 ,π]时,2x-π
6 ∈[
5 π
6 , 11π
6 ],当2x-π
6
=π,即x=7 π
12
时,f(x)=0,
故f(x)在区间[
π
2 ,π]上仅有1 个零点,故D 正确.
故选ABD.
三、填空题:本题共2 小题,每小题5 分,共10 分.
8.(2023·新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B 是直线y=1
2
与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|
=π
6
,则f(π)= .
答案-√3
2
解析对比正弦曲线y=sin x 的图象易知,点(
2π
3 ,0)对应“五点法”中的第五点,
所以2π
3
ω+φ=2π ①.
由题目中图象知|AB|=xB-xA=π
6
,线段AB 的垂直平分线对应于正弦曲线y=sin x 在y 轴右边的第1 条对
称轴直线x=π
2
,
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所以由sin(ωx+φ)=1
2
,得{
ω x A+φ = π
6 ,
ω xB+φ = 5 π
6 ,
两式相减,得ω(xB-xA)=4 π
6
,即π
6
ω=4 π
6
,解得ω=4,代入①,得
φ=-2π
3
,
所以f(x)=sin(4 x - 2π
3 ),
所以f(π)=sin(4 π - 2π
3 )=-sin2π
3
=-√3
2
.
9.(2024·山西临汾二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+π
3
)(0<ω<6)的图象向左平移π
12
个单位长度后关于y
轴对称,若f(x)在区间[- π
4 ,t]上的最小值为-1,则t 的最大值是 .
答案5 π
12
解析函数f(x)=2sin(ωx + π
3)(0<ω<6)的图象向左平移π
12
个单位长度后,得到函数y=2sin[ω(x+ π
12
)+
π
3
]=2sin(ωx+ π
12
ω+π
3
)的函数图象.
因为y=2sin(ωx+ π
12
ω+π
3
)图象关于y 轴对称,所以π
12
ω+π
3
=kπ+π
2
,k∈Z,
可得ω=12k+2,k∈Z.
又0<ω<6,所以ω=2,
即f(x)=2sin(2 x + π
3),
要使f(x)在区间[- π
4 ,t]上的最小值为-1,
则y=sin(2 x + π
3)在区间[- π
4 ,t]上的最小值为-1
2
.
当x∈[- π
4 ,t]时,2x+π
3 ∈[- π
6 ,2t + π
3].
又sin(- π
6)=sin7 π
6
=-1
2
,
所以-π
6
≤2t+π
3 ≤7 π
6
,解得-π
4
≤t≤5 π
12
,
即t 的最大值是5 π
12
.
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四、解答题:本题共1 小题,共13 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
10.(13 分)(2024·北京朝阳一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π
2
)的最小正周期为π.
(1)若A=1,f(0)=√2
2
,求φ 的值;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,确定f(x)的解析式,并求函数
h(x)=f(x)-2cos 2x 的单调递增区间.
条件①:f(x)的最大值为2;条件②:f(x)的图象关于点(
5 π
12 ,0)中心对称;条件③:f(x)的图象经过点
(
π
12 ,√3).
解(1)因为A=1,f(0)=√2
2
,则sin φ=√2
2
.
又0<φ<π
2
,则φ=π
4
.
(2)因为函数f(x)的最小正周期为π,则ω=2.
若选①②,则A=2,且f(5 π
12
)=2sin(5 π
6
+φ)=0.又0<φ<π
2
,则5 π
6 < 5 π
6
+φ<4 π
3
,
故5 π
6
+φ=π,得φ=π
6
,
所以f(x)=2sin(2x+π
6
).
若选择①③,则A=2,且f( π
12
)=2sin(π
6
+φ)=√3,则sin(π
6
+φ)=√3
2
.
因为0<φ<π
2
,则π
6 < π
6
+φ<2π
3
,
故π
6
+φ=π
3
,得φ=π
6
,
所以f(x)=2sin(2x+π
6
).
若选择②③,由②可知,f 5 π
12
=Asin 5 π
6 +φ =0.
因为0<φ<π
2
,则5 π
6 < 5 π
6
+φ<4 π
3
,
故5 π
6
+φ=π,得φ=π
6
,
由③可知,f
π
12
=Asin π
6 + π
6
=A·√3
2 =√3,则A=2,
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所以f(x)=2sin 2x+π
6
.
故h(x)=2sin 2x+π
6
-2cos 2x=√3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-π
6
,
令-π
2
+2kπ≤2x-π
6 ≤π
2
+2kπ,k∈Z,
得-π
6
+kπ≤x≤π
3
+kπ,k∈Z,
所以函数h(x)的单调递增区间是-π
6 +kπ,π
3 +kπ ,k∈Z.
