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2024 届大题强化训练及变式训练（16）
1．小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，
他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得
0分.已知小强每轮猜对的概率是 ，小基每轮猜对的概率是 ，各轮结果互不影响.
（1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；
（2）求“联盟队”两轮得分之和 的分布列和数学期望.
变式：某商场在店庆日进行有奖促销活动，当日在该商场消费的顾客可获得一次摸奖机会.摸奖规则如
下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的7个球，其中3个红球，4个白球，顾客每次摸出1个球
不放回，直到摸出所有的红球，则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定：摸出3个球停止摸奖获得200
元奖金，摸出4个球停止摸奖获得100元奖金，摸出5个球停止摸奖获得50元奖金，其他情况获得10
元奖金.
（1）若顾客甲获得了100元奖金，求甲第一次摸到的球是红球的概率；
（2）已知顾客乙获得了一次摸奖机会，记 为乙摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数
学期望.
2．如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点
G在棱AD上， ，直线AB与平面 相交于点H.（1）从下面两个结论中选一个证明：① ；②直线HE，GF，AC相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
（2）求直线BD与平面 的距离.
变式：如图，在圆锥 中， 是圆 的直径，且 是边长为4的等边三角形， 为圆弧
的两个三等分点， 是 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）求点 到平面 的距离.
3．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若存在 ，使得 ，求实数 的最大值.变式：已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 ，且 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
4．已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足 ，其中
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ，
成等差数列.（i）求 ；
（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有
满足条件的 的值；若不存在，说明理由.
变式：已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ．问：是否存在 ，使得 ， 成等比数
列，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： 的离心率为 ，直线l与Γ相
切，与圆O： 相交于A，B两点.当l垂直于x轴时， .
（1）求Γ的方程；
（2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存
在，则记此最大值为 .
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当 的面积最大时，求
；（ⅱ）若 ， 均存在，记两者中的较大者为 .已知 ， ，
均存在，证明： .
变式：椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程 是椭圆
在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
（1）若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
（2）若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
（3）若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两
点，过点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
