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第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·福建龙岩·统考二模）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左
前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下
珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十
位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十
位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件 “表示的四位数为偶数”，事件
“表示的四位数大于5050”，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和
华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁
线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时
53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了
解到其中有 的人喜欢吃肠旺面，有 的人喜欢吃丝娃娃，还有 的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝
娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足 ，则
（ ）
A．事件A，B互斥 B．事件A.B相互独立
C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互独立
4．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）若 ， ， ，则事件 与
的关系是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立5．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）设A，B为两个事件，已知 ， ，
，则 （ ）
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
6．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色
两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从
乙箱随机取一个球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·全国·高一专题练习）袋内有 个白球和 个黑球，从中有放回地摸球，用 表示“第一次摸
得白球”，如果“第二次摸得白球”记为 ，“第二次摸得黑球”记为 ，那么事件 与 ， 与 间的
关系是（ ）
A． 与 ， 与 均相互独立 B． 与 相互独立， 与 互斥
C． 与 ， 与 均互斥 D． 与 互斥， 与 相互独立
8．（2023春·山东东营·高二统考期末）现有两筐排球，甲筐中有10个白色球、5个红色球，乙筐中有4个
黄色球、6个红色球、5个黑色球.某排球运动员练习发球时，在甲筐取球的概率为0.6，在乙筐取球的概率
为0.4.若该运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球的概率为（ ）
A．0.73 B．0.36 C．0.32 D．0.28
二、多选题
9．（2023秋·广东佛山·高二佛山市南海区第一中学校考阶段练习）对于一个古典概型的样本空间 和事件
，其中 ，则（ ）
A． B． 与 相互独立
C． 与 相互独立 D． 与 相互独立
10．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学
书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分
别以 和 表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，
以 表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
三、填空题
11．（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期末）设 ， 为两个随机事件，①若 ， 是互斥事件 ， ，则 ；
②若 ， 是对立事件，则 ；
③若 ， 是独立事件， ， ，则 ；
④若 ， ，且 ，则 ， 是独立事件.
以上命题正确的序号为 .（填写序号）
12．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子
中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则
从2号罐子中取出的球是红球的概率为 .
四、解答题
13．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察
其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则
将此黑球放回即可．
(1)求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；
(2)求第二次取到红球的概率．
14．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中） 年是共青团建团一百周年，为
了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛
中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概
率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少 人回答正确的概率：
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为 ，乙抢到答题机会的概率为 ，丙抢
到的概率为 ，求这个问题回答正确的概率.B能力提升
1．（2023春·天津西青·高一统考期末）抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A＝“第一次骰子正面向上的
数字为2”，设事件B＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C＝“两次骰子正面向上的数字之和
为5”，则（ ）
A．事件A和事件C互斥 B．事件B和事件C互为对立
C．事件A和事件B相互独立 D．事件A和事件C相互独立
2．（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知事件 ， 满足 ，
，则不能说明事件 ， 相互独立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·河南郑州·高二校考阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率
分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：
9，现任取一个零件，记事件 “零件为第i台车床加工”（ ，2，3），事件 “零件为次品”，
则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）有 台车床加工同一型号的零件，第 台加工的
次品率为 ，第 ， 台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起，第 ， ， 台车床加工的
零件数分别占总数的 ， ， .随机取一个零件，记 “零件为次品”， “零件为第 台车
床加工” ，则下列结论：
①
②
③
④
其中正确的序号为 .
5．（2023·福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技
体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外
活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取 局 胜制，每局都是单打模式，每队有 名队
员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手 对乙队每名队员的胜率均为 ，甲队
其余 名队员对乙队每名队员的胜率均为 .（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终 获胜且种子选手 上场的概率；
(2)已知甲队 获得最终胜利，求种子选手 上场的概率.
