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§3.3 导数与函数的极值、最值
课标要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极
小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a 处的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a 附
近的左侧 ，右侧 ，则a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极
小值.
(2)函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b 处的函数值f(b)比它在点x=b 附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b 附
近的左侧 ，右侧 ，则b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极
大值.
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y=f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( )
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.( )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.( )
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x=3 处取得极大值
D.函数f(x)在x=4 处取得极小值
3.函数f(x)=x3-1
2x2-14x 的极小值点为 ，极大值为 .
4.若函数f(x)=x3-ax2+2x-1 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)=0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3，f'(0)=0，但0 不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
题型一 利用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示，则下列结论
中一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(-1)为f(x)的极小值
命题点2 求已知函数的极值
例2 (2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=2ln x-2(a-1)x-ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)=x(x-c)2在x=-2 处取极小值，则c 等于( )
A.-6
B.-2
C.-6 或-2
D.-4
(2)已知函数f(x)=ln x-a
e x(其中a∈R，e 为自然对数的底数)存在极大值，且极大值不小于1，则a 的取值
范围为 .
思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=aex+bx 在x=0 处取得极小值1，则f'(2)等于( )
A.e2-2
B.2-e2
C.e2-1
D.e2
(2)若函数f(x)=eax+2x 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为( )
A.a>-2
B.a>-1
2
C.a<-2
D.a<-1
2
题型二 利用导数求函数的最值
命题点1 不含参函数的最值
例4 函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1 在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为( )
A.-π
2 ，π
2
B.-3 π
2 ，π
2
C.-π
2 ，π
2 +2
D.-3 π
2 ，π
2 +2
命题点2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)=(x-1)ex-1
2ax2(a>0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的
单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=x-√2sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为 .
(2)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)=a
x +ln x 在区间[1，e]上的最小值为3
2，则a 的值为( )
A.1
B.3
2
C.e
2
D.√e
三次函数的性质
三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函
数的有关结论，可以大大简化解题过程.
典例 (多选)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则下列选项正确的是( )
A.三次函数的对称中心是(- b
3a ，f(- b
3a))
B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y＝f'(x)的图象关于直线x＝m 对称
C.若函数y＝f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点
D.若f(x)＝0 的三个根分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－b
2a
答案精析
落实主干知识
1.(1)f'(x)<0 f'(x)>0 (2)f'(x)>0
f'(x)<0 (3)极值点 极值
2.(1)连续不断 (2)①极值 ②端点处的函数值f(a)，f(b)
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.AC 3.7
3 18
4.(-∞，-√6)∪(√6，+∞)
探究核心题型
例1 BC [根据g(x)=xf'(x)的图象，可得当x<-2 时，g(x)=xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当-2<x<0 时，g(x)=xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
当0<x<1 时，g(x)=xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当x>1 时，g(x)=xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x=-2 和x=1 处取得极小值，在x=0 处取得极大值，共3 个极值点，A 错误，C 正确；
f(0)为f(x)的极大值，B 正确；
f(-1)不是f(x)的极小值，D 错误.]
例2 解 函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
求导得f'(x)=2
x -2(a-1)-2ax
=-2( x +1)(ax -1)
x
，
因为a>0，则当x∈(0，1
a)时，
f'(x)>0，
当x∈(
1
a ，+ ∞)时，f'(x)<0，
因此f(x)在(0，1
a)上单调递增，在(
1
a ，+ ∞)上单调递减，
所以当x=1
a时，f(x)取得极大值f (
1
a)=2ln 1
a+1
a-2，无极小值.
例3 (1)A [由函数f(x)=x(x-c)2，
可得f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c)，
因为函数f(x)在x=-2 处取得极小值，
可得f'(-2)=0，
解得c=-2 或c=-6，
当c=-2 时，令f'(x)>0，解得x<-2 或x>-2
3；令f'(x)<0，
解得-2<x<-2
3，
所以函数f(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，- 2
3)上单调递减，在(- 2
3 ，+ ∞)上单调递增，
所以f(x)在x=-2 处取极大值，不符合题意，舍去；
当c=-6 时，令f'(x)>0，可得x<-6 或x>-2；令f'(x)<0，可得-6<x<-2，
所以函数f(x)在(-∞，-6)上单调递增，在(-6，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=-2 处取极小值，符合题意，
综上可得，c=-6.]
(2)(0，1
e]
解析 由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1
x -a
e .
①当a≤0 时，f'(x)=1
x -a
e >0 在(0，+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
②当a>0 时，f'(x)=e -ax
e x ，
由f'(x)=e -ax
e x =0 可得x=e
a.
当0<x<e
a时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，e
a)上单调递增；
当x>e
a时，f'(x)<0，
所以f(x)在(
e
a ，+ ∞)上单调递减，
于是函数f(x)在x=e
a处取得极大值.
由已知，f (
e
a)≥1，
即ln e
a-1≥1，ln e
a≥2=ln e2，
因为函数y=ln x 在(0，+∞)上单调递增，
所以e
a≥e2，即a≤1
e ，又a>0，
所以0<a≤1
e ，
于是a 的取值范围为(0，1
e].
综上所述，a 的取值范围为(0，1
e].
跟踪训练1 (1)C [由f(x)=aex+bx，得f'(x)=aex+b，
因为f(x)在x=0 处取得极小值1，
所以{
f '(0)=ae
0+b=0，
f (0)=ae
0+b·0=1 ⇒
{
a=1，
b=-1 ⇒f'(x)=ex-1，
当x>0 时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0 时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x=0 处取得极小值，故a=1，b=-1 满足题意，
于是有f'(2)=e2-1.]
(2)C [由函数f(x)=eax+2x，可得f'(x)=aeax+2，
若a≥0，f'(x)>0，此时f(x)为增函数，无极值点；
若a<0，令f'(x)=aeax+2=0，
解得x=1
aln(- 2
a)，
当x>1
aln(- 2
a)时，f'(x)>0，
当x<1
aln(- 2
a)时，f'(x)<0，
故x=1
aln(- 2
a)是f(x)=eax+2x 的极值点，
由于函数f(x)=eax+2x 有大于零的极值点，
∴1
aln(- 2
a)>0，即ln(- 2
a)<0，
即0<-2
a<1，解得a<-2.]
例4 D [f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x，x∈[0，2π].
令f'(x)=0，解得x=π
2 或x=3 π
2 .
因为f (
π
2)=cos π
2 +(
π
2 +1)sin π
2 +1=π
2 +2，
f (
3 π
2 )=cos 3 π
2 +(
3 π
2 +1)sin 3 π
2 +1=-3 π
2 ，
又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2，
f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2，
所以f(x)max=f (
π
2)=π
2 +2，
f(x)min=f (
3 π
2 )=-3 π
2 .]
例5 解 函数f(x)=(x-1)ex-1
2ax2，
求导得f'(x)=xex-ax=x(ex-a)，
若x∈[1，2]，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex-a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=e2-2a；
②当1<ln a<2，即e<a<e2时，函数f(x)在[1，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增，
因此函数f(x)的最小值为f(ln a)=a(ln a-1)-1
2a(ln a)2；
③当ln a≤1，即0<a≤e 时，ex-a≥0，
f'(x)≥0，函数f(x)在[1，2]上单调递增，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=-1
2a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2-2a；
当e<a<e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为a(ln a-1)-1
2a(ln a)2；
当0<a≤e 时，f(x)在[1，2]上的最小值为-1
2a.
跟踪训练2 (1)π
解析 由f(x)=x-√2sin x，x∈[0，π]，
可得f'(x)=1-√2cos x，x∈[0，π]，
令f'(x)=0 可得cos x=√2
2 ，
又x∈[0，π]，所以x=π
4 ，
当x∈[0，π
4)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(
π
4 ，π]时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
易知f(0)=0，f(π)=π，
因此f(x)的最大值为π.
(2)D [因为f(x)=a
x +ln x(x>0)，
所以f'(x)=1
x - a
x
2= x -a
x
2 ，
当a≤0 时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)=a+ln 1=3
2，
解得a=3
2，不符合题意，舍去；
当a>0 时，令f'(x)<0，得0<x<a；
令f'(x)>0，得x>a，
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，
①当0<a≤1 时，f(x)在区间[1，e]上单调递增，
所以最小值为f(1)=a≤1，不符合题意，舍去；
②当1<a<e 时，f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，
所以最小值为f(a)=1+ln a=3
2，解得a=√e；
③当a≥e 时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以最小值为f(e)=a
e +ln e=3
2，
解得a=e
2，不符合题意，舍去.
综上所述，a=√e.]
微拓展
典例 ABC [对于A，设f(m-x)+f(m+x)=2n，得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)
+d]=2n，整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m=- b
3a且
n=am3+bm2+cm+d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n=f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对
称中心为(- b
3a ，f(- b
3a))，A 正确；
对于B，由y=f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)+f(2m-x)=2n.求导可得f'(2m-x)=f'(x)，即y=f'(x)的图象关
于直线x=m 对称，B 正确；
对于C，设f'(x)=3ax2+2bx+c=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-2b
3a，x1x2= c
3a.设f(x)的两个取极值的点为
A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
则f(x1)+f(x2)=(ax1
3+bx1
2+cx1+d)+(ax2
3+bx2
2+cx2+d)
=a(x1
3+x2
3)+b(x1
2+x2
2)+c(x1+x2)+2d=a(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+b[(x1+x2)2-2x1x2]+c(x1+x2)+2d
=a(- 2b
3a)(
4 b
2
9a
2 - c
a)+b(
4 b
2
9a
2 - 2c
3a)-2bc
3a +2d= 4 b
3
27a
2-2bc
3a +2d.
2f (- b
3a)=2[a(- b
3a)
3
+ b(- b
3a)
2
+c(- b
3a)+d]
= 4 b
3
27a
2-2bc
3a +2d，
所以f(x1)+f(x2)=2f (- b
3a)，AB 的中点P(
x1+ x2
2
，f ( x1)+ f ( x2)
2
)=(- b
3a ，f(- b
3a))即为对称中心，C 正
确；
对于D，ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.比较系数可得x1+x2+x3=-
b
a，D 错误.]
