文档文本内容
第 02 讲 排列与组合
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：排列问题......................................................................................3
高频考点二：组合问题......................................................................................4
高频考点三：排列组合综合问题(相邻与相间问题）.......................................4
高频考点四：排列组合综合问题(分组与分配问题）.......................................5
高频考点五：相同元素分配问题............................................................................8
第四部分：新定义题...............................................................................................9
第一部分：基础知识
知识点一：排列与组合的概念
名称 定义
按照一定的顺序排成一列，叫做
排列 从 个元素中取出 个元素的一
从 个不同元素中取出 （ 个排列
）个元素 作为一组，叫做从 个元素中取
组合 出 个元素的一个组合
知识点二：排列数与组合数
（1）排列数：
从 个不同元素中取出取出 （ ）个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个元素中取出 个元素
的一个排列数，用符号 表示（2）组合数：
从 个不同元素中取出 （ ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个元素中取出 个元素的一
个组合数，用符号 表示
知识点三：排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4） ；
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅱ卷））在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有
一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最
大值是 ．
2．（2024·上海·高考真题）设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素
之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：排列问题
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）从2，3，5，7，11，13中取2个不同的数，其商的个数是（ ）
A．18 B．21 C．30 D．36
例题2．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它
具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子
与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120种 B．24种 C．36种 D．12种
例题3．（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和
最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时
间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，
并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？
练透核心考点
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、
独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方
少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）
安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东德州·开学考试）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞
蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（
）
A．48 B．36 C．24 D．12
3．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有 个节目，且
小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（ ）
A． B． C． D．高频考点二：组合问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·河北·阶段练习）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，
每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．1560 C．2640 D．4560
例题2．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现
准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙
班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种
例题3．（24-25高二下·全国·课后作业）小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种．
(1)若不买苹果，共有多少种买法？
(2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？
(3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？
练透核心考点
1．（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名
男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有
（ ）
A．80种 B．90种 C．100种 D．120种
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知自然界氧的同位素有 ，氢的同位素有 （自然界
中存在极微 ，可忽略不计），水由氧元素和氢元素组成，化学式为 ，则自然界中水分子共有
种．
3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为加强学生的美感教育，开设了音乐、美术、舞蹈、戏曲四门选
修课程．甲、乙两位同学各自准备从中选择两门进行学习，且甲不会选择舞蹈课程，则甲、乙两位同学选
择的两门课程中仅有一门相同的情况共有 种．
高频考点三：排列组合综合问题(相邻与相间问题）
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村
晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
例题2．（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不
相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．96种 D．72种
例题3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”
火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物
互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答）
例题4．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序．
(1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序?
(2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序?
(3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序?
练透核心考点
1．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中
庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同
一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数
为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
2．（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加 米接力
赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
3．（24-25高三上·山东济南·开学考试）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个
偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ）
A．60 B．108 C．132 D．144
4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则1，2相邻，而
3，4不相邻的数有 .
高频考点四：排列组合综合问题(分组与分配问题）
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）某地区计划安排5名工作人员到3个乡镇进行农村人居环境调
查，每个乡镇至少1名工作人员，其中甲、乙两人去同一乡镇，则不同的安排方案有（ ）A．30种 B．36种 C．40种 D．46种
例题2．（2024高三·全国·专题练习）现在4本不同的书，按以下方式进行分配．
(1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法；
(2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法；
(3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法；
(4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法．
例题3．（24-25高三·上海·课堂例题）4件不同的礼品，按以下各种情况，各有几种分法？
(1)平均分成两堆；
(2)平分给两人；
(3)分成两堆，一堆3件，一堆1件；
(4)分给两人，一人3件，一人1件．
例题4．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现有6名孩子和3个不同的房间，并让孩子都进入房间．
(1)若每个房间进2个小孩，共有多少种不同的方法？
(2)恰有一个房间没有孩子，共有多少种安排方法？
例题5．（23-24高二下·全国·单元测试）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法?
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.
练透核心考点
1．（2025·安徽·模拟预测）甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所
学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有 种．
2．（24-25高二上·全国·课堂例题）6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本（平均分组）；
(2)一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）；
(3)一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）．
3．（23-24高二下·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学
(1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
(2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？
(3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？
4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？
(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？
(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？
5．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）有6本不同的书（以下各题用数字作答）
(1)分成三份，一份 本，一份 本，一份 本，有多少种分法
(2)分成三份，每份 本，有多少种分法
(3)分给甲、乙、丙三人，每人 本，有多少种分法高频考点五：相同元素分配问题
典型例题
例题1．（23-24高二下·安徽马鞍山·期中）高二年级将10个优秀团员的名额分配给3个班级，一共有
种分法.
例题2．（23-24高二下·湖北·阶段练习）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为
（请用数字作答）．
例题3．（23-24高二下·安徽合肥·期末）在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如
“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各
个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223， ，就是一个“英雄
数”），则所有的“英雄数”有 个（用数字回答）
例题4．（23-24高二下·浙江·期中）（1）求方程 的正整数解的个数；
（2）求方程 的正整数解的个数.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川内江·期中）学校将 个三好学生名额分配给 个班，每个班至少一个名额，则分配
方案共有 种.
2．（24-25高二上·上海·假期作业）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方
案？
3．（24-25高二上·上海·假期作业）5名学生分12本相同的书，每人至少2本，有多少种不同的分法？
4．（24-25高二上·上海·假期作业）6本相同的书分给4名同学，每人至少一本，有多少种不同的分法？第四部分：新定义题
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设平面内一圆 ，圆上有 个点，将这 个点两两连线，已知任意
三条连线都不共点，设所有连线将圆 分为了 个区域．
(1)在答题卡提供的圆上画出 的情形，并直接写出 ．
(2)现希望求圆 内所有弦交点的个数 ，数学小组 位同学发表了以下观点．
小明：由于两条弦会交于一点，因此我用 计算；
小红：我觉得不对， 时显然不成立．
小红这么说的理由除了举反例，还可以怎么说明？从交点的形成方式的角度请给出你的计算方法．
(3)数学小组同学发现，对于平面内任意无相交线的节点图，若其有 个顶点， 条连线并切割出了 个区
域，则一定有 ，如当平面内仅有一个点时， ， ，显然满足公式．利用本题给出的所
有信息，求 ．你能解释为什么 取到某些值时， 是 的 次幂吗？
