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第06讲 第八章 平面解析几何章节综合检测
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
1．（2023秋·吉林·高二校联考阶段练习）直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【详解】令 ，解得 ，故 ；
令 ，解得 ，故 ．
故选：B
2．（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）若圆 与圆 恰有3条公切
线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 与 恰有3条公切线，所以 与 外切，
由 、 且半径分别为2、1，则 ，解得 .
故选：A
3．（2023秋·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，P
是椭圆上一点，则 的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
当且仅当 时， 取到最大值.
故选：D.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线 ： 与椭圆 ： 有公共点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】将直线 的方程与椭圆 的方程联立，得 ，消去 得 ①，
因为直线 与椭圆 有公共点，所以方程①有实数根，则 ，得 .
故选：B．
5．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在
椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为： ，
设 ，设 ，
，
点 在椭圆内部，有 ，
要想该不等式恒成立，只需 ，
而 ，
故选：B
6．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 为 轴正半轴上一点，线
段 的垂直平分线 交 于 两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
【答案】A
【详解】因为线段 的垂直平分线 交 于 两点，
所以结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形 为菱形.
设点 且 则线段 的垂直平分线 方程为 ，
令 与 轴交于点 ,又 ，则在直角三角形 中
继而可得 ，
所以 点坐标为 ，
代入抛物线 ，可得 ，解得 ，
直角三角形 中 ,
所以四边形 的周长为 .
故选：A.
7．（2023秋·浙江舟山·高二舟山中学校考阶段练习）椭圆C： 的长轴长、短轴长和
焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点， 为椭圆C的右
焦点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知 ，即 ，
结合题意不妨设 ，
则 ，
所以 ，
由题意得 ，令 ，则
由二次函数的单调性知当 时，上式取得最大值 ，当 时， ，
故 .
故选：C
8．（2023·全国·高二专题练习）如图所示， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦
点， 的右支上存在一点 满足 ， 与双曲线 左支的交点 满足 ，则双曲
线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】在 中，由正弦定理得， ①，
在 中，由正弦定理得， ②，
因为 ，所以 ，
所以①式与②式相比，得
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，则
由双曲线的定义得 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ，
故选：B
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知圆 ，直线
．则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 时，圆 上恰有四个点到直线 的距离等于1
C．直线 与圆 有一个交点
D．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
【答案】AD
【详解】对于A中，因为直线 ，
可得 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过点点 ，所以A正确；
对于B中，由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
要使得圆 上恰有四个点到直线 的距离等于 ，则圆心到直线的距离，则满足 ，
当 时，直线 ，
可得圆心 到直线 的距离为 ，所以B错误；
对于C中，因为直线 恒过点点 ，设为点 ，
可得 ，所以点 在圆 内部，
所以直线 圆圆 有两个交点，所以C错误；
对于D中，因为圆 ，可得 ，
要使得圆 与圆 恰有三条公切线，可得 ，即 ，解得 ，所以D正确.
故选：AD.
10．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）若方程 所表示的曲线为
C，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆
B．若 ，则C为椭圆
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
【答案】AD
【详解】当 即 时，方程 为 ，
表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；
若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 ，解得 ，故选项C错误；
若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 ，解得 ，故选项D正确.
故选：AD.
11．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知点P在双曲线C： 上， 分
别是双曲线C的左、右焦点，若 的面积为20，则（ ）
A． B．
C．点P到x轴的距离为4 D．
【答案】BC
【详解】由已知得双曲线的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，
则右焦点的横坐标为 ，
由双曲线的定义可知， ，故 错误；
设点 ，则 ，
所以 ，故C正确；
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为 ，
得 ，由双曲线的定义，得 ，
所以 ，故B正确；
由余弦定理,得 ，
所以 ，故D错误．
故选：BC．
12．（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、
右顶点分别为M，N，O为坐标原点．直线 交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲
线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则（ ）
A． 为定值
B．
C．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．存在直线 使
【答案】BC
【详解】双曲线 的渐近线为 ，
对于A：因为 ，
作直线 ， ，且 ，分别交 轴上方渐近线于 ， ，交 轴下方渐近线于 ， ，
有对称性可知： ，
此时 ，
又因为 为定值，所以
即 不是定值，故A错误；
对于B，由题意可知：直线 不与y轴垂直，设直线 的方程为 ，联立得 得， ，所以 ，
联立 ，得 ，联立 ，得 ，
所以 ，则 ，
结合弦长公式可得 ，
即 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，渐近线为 ，
所以P到两渐近线距离为：
，故C正确；
对于D，设 ，则 ，可得 ，
由图可得 ，即 恒成立，
故不存在直线 使 ，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023秋·新疆塔城·高二塔城地区第一高级中学校考阶段练习）代诗人李颀的诗《古从军行》：“白
日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观
望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系
中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为 .
【答案】4
【详解】如图，设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得 ，
则“将军饮马”的最短总路程为 ．
故答案为：4
14．（2023秋·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）无论实数λ取何值，直线
恒过定点 .
【答案】
【详解】由 ，可得 ，
令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，则
的最小值为 ．
【答案】9
【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆 的焦点分别为点 与点 ，
于是点 与点 也是双曲线 的两个焦点，
因此 ，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有 （当且仅当 时取等号），
因此 的最小值为9．故答案为：9
16．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光
线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C： ， 为其左、右焦点．M是C上
的动点，点 ，若 的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点 关于直线l的对
称点 ， ，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．
【答案】
【详解】根据椭圆定义得： ，
所以 ，
因为 的最大值为6， ，所以 ，即 ，
解得 ，所以离心率为 ；
右焦点 关于直线l的对称点 ，
设切点为A，由椭圆的光学性质可得： 三点共线，
所以 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，半径为4的圆，
圆心 到直线 的距离为 ，
则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为 ，最大值为 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以 表示点 到直线 的距离的5倍，
则 ，即 .
故答案为：① # ；② .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过
程或演算步骤.）
17．（2023秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知直线
．
(1)若 ，求 的值；(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 ．
当 时， ，符合题意，
当 时， 与 重合，
故 ．
（2）因为 ，所以 ，
整理得 ，
解得 或 ．
18．（2023秋·四川广安·高二校考阶段练习）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛
区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB
边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为
v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将
被机器人捕获，点M叫成功点．
(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
(2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？
【答案】(1)
(2) 的横坐标范围为 即可逃脱.
【详解】（1）分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则 ， ，
设成功点 ，可得 ，即 ，化简得 ，因为点M需在矩形场地内，
所以 ，故所求轨迹方程为 ．
（2）当线段FP与（1）中圆相切时，则 ，
所以 ，所以 ，
若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是 ．
19．（2023秋·江西九江·高二九江外国语学校校考阶段练习）已知双曲线 的离
心率为2，右焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 ，过点 作直线 与双曲线 相交于 两点，若 ，求直线 的方
程.
【答案】(1)
(2) ， 或 .
【详解】（1）由题知 ，双曲线 的一条斩近线为 ，则 ，
又 ，所以 ，所以双曲线 的方程为 .
（2）由（1）知， ， ，由题易知直线 的斜率存在，
当直线 的斜率为0时，直线 的方程为 ，此时直线 与双曲线 的交点为 和 ，满足 ，符合题意；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
设 ，线段 的中点为 ，联立 ，
整理得 ，所以 ，
即 ，所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又点 在直线 上，所以 ，所以 ，
解得 或 ，满足 ，
所以直线 的方程为 或 .
综上，直线 的方程为 ， 或 .
20．（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分
别为 ． ，且椭圆 上的点 满足 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)斜率为1的直线 与椭圆C交于 两点，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）依题意得： ，
由椭圆定义知 ，又 ，则 ，
在 中， ，
由余弦定理得： ，
即 ，
解得 ，又 ，
故所求椭圆方程为
（2）设 ，代入 ，整理得 ，
设 ， ，由 ，得 ，解得 ，
则 ， ，
．点 到直线 的距离 ，
即有 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 面积的最大值为1.
21．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点
并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得
，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，
在方程 中，令 ，解得 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 ，由 可得： ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）当直线 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 存在斜率时，设为 ，所以直线 的方程设为 ，
于是有 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 ，
化简，得 ，
设 ，于是有 ，因为 ，
所以 ，
代入 中，得 ，
于是有 ，
化简，得 ，代入 中，得
.
22．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 的右焦点为
，过 的直线 交 于 ， 两点.
(1)若直线 垂直于 轴，求线段 的长；
(2)若直线 与 轴不重合， 为坐标原点，求 面积的最大值；
(3)若椭圆 上存在点 使得 ，且 的重心 在 轴上，求此时直线 的方程.
【答案】(1)3
(2)(3) 或 或
【详解】（1）由题意 ，所以 ，
在椭圆方程中令 ，得 ，
解得 ，所以 .
（2）设直线 的方程为： ，
将其与椭圆方程联立得 ，
化简并整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
令 ，则 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
（3）当直线 不与 轴重合时，设直线 ： ， 的中点为点 ，
由（2）可知，将其与椭圆方程联立并整理得 ，
所以 ， ，
因为 的重心 在 轴上，
所以由重心坐标公式得 ，
所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以由等腰三角形三线合一可知 ，
所以直线 ： ，
所以 ，
所以点 ，将其代入椭圆方程化简并整理得 ，
解得 或 ，
所以直线 ： 或 .
当直线 与 轴重合时，点 在椭圆的上、下顶点，满足题意，此时直线 ： .
综上所述：满足题意的直线 的方程为 或 或 .
