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§2.2 函数的单调性与最值
课标要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调
性的简单应用.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1<x2时，都有 ，那
么就称函数f(x)在区间I 上单调递增，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时，我们就称它是增函数
当x1<x2时，都有 ，那么就
称函数f(x)在区间I 上单调递减，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递
减时，我们就称它是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是 的
自左向右看图象是 的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I 上 或 ，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性，区间I 叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D，都有 ；
(2)∃x0∈D，使得
(1)∀x∈D，都有 ；
(2)∃x0∈D，使得
结论
M 是函数y=f(x)的最大值
M 是函数y=f(x)的最小值
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(-3)<f(2)，则f(x)在[-3，2]上单调递增.( )
(2)若函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(-2，3).( )
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值.( )
(4)函数y=1
x 的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞).( )
2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是( )
A.y=-x+1
B.y=(x-1)2
C.y=|ln x|
D.y=x
3.函数y=- 1
x +1在区间[1，2]上的最大值为( )
A.-1
3
B.-1
2
C.-1
D.不存在
4.函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)>f (
1
3)的x 的取值范围是 .
1.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则
①
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I 上单调递增.
②
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I 上单调递减.
(2)y=x+1
x 的单调递增区间为(-∞，-1]和[1，+∞)，单调递减区间为(-1，0)和(0，1).
(3)在区间I 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
2.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.函数y=e-x- 1
x
2在(-∞，0)上单调递减
B.若f(x)，g(x)都是R 上的增函数，则h(x)=f(x)+g(x)也是R 上的增函数
C.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]
D.函数f(x)=2
- x
2+2 x +3的单调递增区间为[1，+∞)
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)= ax
x -1(a≠0)在(-1，1)上的单调性.
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A.f(x)=|x|
B.f(x)=x
- 1
3
C.f(x)=-x2+2x
D.f(x)=ex
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)=log1
2(2x2-3x-2)的单调递增区间为 .
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0，则( )
A.f(-2)<f(3)<f(4)
B.f(-2)>f(3)>f(4)
C.f(3)<f(4)<f(-2)
D.f(4)<f(-2)<f(3)
命题点2 求函数的最值
例4 函数y= 1
x -1-1+x(x≥3)的最小值为 .
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的
形式.
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3 的值域为[2，6)
B.函数y＝2 x＋1
x -3 的值域为R
C.函数y＝2x－√x -1的值域为[
15
8 ，＋∞)
D.函数y＝√x＋1＋√x -1的值域为[√2，＋∞)
命题点3 解函数不等式
例5 (2025·湖州模拟)已知函数f(x)=ex-e-x，则使f(|x|)<f(-3x2+4)成立的实数x 的取值范围是( )
A.(-1，0)
B.(-1，+∞)
C.(-1，1)
D.(1，+∞)
命题点4 求参数的值(范围)
例6 (2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)={
- x
2-2ax -a，x<0，
e
x+ ln( x +1)，x ≥0 在R 上单调递增，则a 的取值范围是(
)
A.(-∞，0]
B.[-1，0]
C.[-1，1]
D.[0，+∞)
思维升华 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象
的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
跟踪训练2 (1)若函数f(x)= x +a-3
x -1
在(a，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为 .
(2)(多选)函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结
论正确的是( )
A.函数f(x)是减函数
B.f(-5)<f(0)<f(1)
C.f(0)=0
D.不等式f(2x-1)<f(3-x)的解集为(-∞，4
3)
答案精析
落实主干知识
1.(1)f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2)
上升 下降 (2)单调递增 单调递减
2.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M
f(x0)=M
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.D 3.A 4.[
1
2 ，2
3)
探究核心题型
例1 ABC [在(-∞，0)上函数y=e-x与y=- 1
x
2都单调递减，
所以y=e-x- 1
x
2在(-∞，0)上单调递减，故A 正确；
两增函数的和为增函数，故B 正确；
作出函数y=2|x+1|的图象，如图所示，
由图象可知，函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]，故C 正确；
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(-∞，1]，故D 错误.]
例2 解 方法一 定义法
设-1<x1<x2<1，
因为f(x)=a· x -1+1
x -1 =a(1+
1
x -1)，
所以f(x1)-f(x2)=a(1+
1
x1-1)-
a(1+
1
x2-1)=
a( x2- x1)
( x1-1)( x2-1)，
由于-1<x1<x2<1，
所以x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0，
故当a>0 时，f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递减；
当a<0 时，f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递增.
方法二 导数法
f'(x)=(ax)
'( x -1)-ax( x -1)
'
( x -1)
2
=a( x -1)-ax
( x -1)
2
=-
a
( x -1)
2.
故当a>0 时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1，1)上单调递减；
当a<0 时，f'(x)>0，函数f(x)在(-1，1)上单调递增.
跟踪训练1 (1)B [对任意x1，x2∈(0，+∞)，
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，
f(x)=|x|在(0，+∞)上单调递增，故A 错误；
f(x)=x
- 1
3在(0，+∞)上单调递减，故B 正确；
f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1 在(0，+∞)上不单调，故C 错误；
f(x)=ex在(0，+∞)上单调递增，故D 错误.]
(2)(-∞，- 1
2)
解析 令2x2-3x-2>0，
解得x>2 或x<-1
2，
则f(x)的定义域为(-∞，- 1
2)∪(2，+∞)，
由y=log1
2x 在(0，+∞)上单调递减，y=2x2-3x-2 在(-∞，- 1
2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，f(x)的单调递增区间为(-∞，- 1
2).
例3 A [因为对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，
有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0，
所以f(x)在(-∞，0]上单调递减，
又f(x)为偶函数，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
则f(2)<f(3)<f(4)，
又f(-2)=f(2)，
所以f(-2)<f(3)<f(4).]
例4 5
2
解析 设t=x-1，t≥2，
则y= 1
x -1-1+x=t+1
t (t≥2)，
又函数y=t+1
t 在[2，+∞)上单调递增，
所以当t=2，即x=3 时，
函数有最小值2+1
2=5
2.
微拓展
典例 ACD [对于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
对于B，(分离常数法)y=2 x +1
x -3 =2( x -3)+7
x -3
=2+ 7
x -3，显然7
x -3≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞).
对于C，(换元法)设t=√x -1，则x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2(t - 1
4)
2
+15
8 ，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为[
15
8 ，+∞).
对于D，函数的定义域为[1，+∞)，
∵y=√x +1与y=√x -1在[1，+∞)上均单调递增，∴y=√x +1+√x -1在[1，+∞)上为增函数，
∴当x=1 时，ymin=√2，即函数的值域为[√2，+∞).]
例5 C [函数y=ex为增函数，函数y=e-x为减函数，
所以函数f(x)=ex-e-x为增函数，
所以f(|x|)<f(-3x2+4)⇔|x|<-3x2+4，
即3|x|2+|x|-4<0，
(|x|-1)(3|x|+4)<0，
得0≤|x|<1，
解得-1<x<1，
所以实数x 的取值范围为(-1，1).]
例6 B [因为f(x)在R 上单调递增，
且x≥0 时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足{
--2a
2×(-1) ≥0，
-a≤e
0+ ln1，
解得-1≤a≤0，
即a 的取值范围是[-1，0].]
跟踪训练2 (1)[1，2)
解析 f(x)= x +a-3
x -1
= x -1+a-2
x -1
=1+a-2
x -1，
∵f(x)在(a，+∞)上单调递增，
∴{
a-2<0，
a≥1
⇒1≤a<2.
(2)BD [由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，
得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，
因此f(x)是增函数，A 错误；
由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1)，B 正确；
不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R 上为增函数，f(0)=1，C 错误；
由f(2x-1)<f(3-x)，得2x-1<3-x，解得x<4
3 ，D 正确.]
