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第二课时 定点、定线与定值
题型一 定点问题
例1 (2024·惠州调研节选)已知椭圆C：＋＝1，如图，椭圆C 的左、右顶点分别
为A，B，点M，N 是椭圆上异于A，B 的不同两点，直线BN 的斜率为k(k≠0)，
直线AM 的斜率为3k，
求证：直线MN 过定点.
证明 由于直线BN 的斜率为k(k≠0)，B(2，0)，
故直线BN 的方程为y＝k(x－2)，
联立得
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以xBxN＝，
所以xN＝，从而yN＝－，
即N.
由于直线AM 的斜率为3k，A(－2，0)，
故直线AM 的方程为y＝3k(x＋2)，
联立得
整理可得(36k2＋3)x2＋144k2x＋144k2－12＝0，
即(12k2＋1)x2＋48k2x＋48k2－4＝0，
所以xAxM＝，
所以xM＝，从而yM＝，
即M.
法一 当xM≠xN，即k≠±时，
kMN＝＝，
所以直线MN 的方程为
y－＝，
整理得y＝(x＋1)，
故直线MN 过定点P(－1，0).
当xM＝xN，即k＝±，直线MN 的方程为x＝－1，也过点P(－1，0).
综上可得，直线MN 过定点P(－1，0).
法二 当xM＝xN时，即k＝±时，
直线MN 的方程为x＝－1，过点P(－1，0).
当k≠±时，
kPM＝＝＝，
kPN＝＝＝，
故kPM＝kPN，所以直线MN 过定点P(－1，0).
综上可得，直线MN 过定点P(－1，0).
感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化
的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，
利用点在曲线f(x，y)＝0 上，即f(x1，y1)＝0 消参.
(2)特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特
殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0 或k 不存在.
训练1 (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－2，0)
在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C 于P，Q 两点，直线AP，AQ 与y 轴的交点分别为
M，N，证明：线段MN 的中点为定点.
(1)解 因为点A(－2，0)在C 上，
所以＝1，得b2＝4.
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，
又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)证明 由题意知，直线PQ 的斜率存在且不为0，
设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由
得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，
则yM＋yN＝2
＝2
＝2
＝2
＝2×＝6，
所以MN 的中点的纵坐标为＝3，
所以MN 的中点为定点(0，3).
题型二 定线问题
例2 (2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离
心率为.
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C 的左支交于M，N
两点，M 在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P 在定直线上.
(1)解 设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0).
由题意可得解得
所以双曲线C 的方程为－＝1.
(2)证明 设直线MN 的方程为x＝my－4，
M(x1，y1)，N(x2，y2).
易知A1(－2，0)，A2(2，0).
联立直线MN 与双曲线C 的方程，
得
消去x 并整理，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
且4m2－1≠0，Δ＝(－32m)2－4×48×(4m2－1)
＝256m2＋192>0.
直线MA1的方程为y＝(x＋2)，
直线NA2的方程为y＝(x－2).
联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y，得
＝＝
＝
＝＝－，
所以x＝－1，即点P 在定直线x＝－1 上.
感悟提升 1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，
消去参数，从而得到轨迹方程.
2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数.
3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直
线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”.
训练2 (2024·郑州调研节选)已知椭圆C：＋＝1.A1，A2分别为椭圆C 的左、右顶
点.直线l：x＝my＋1 与椭圆C 交于P，Q 两点，直线A1P 与A2Q 交于点S.当直线
l 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说
明理由.
解 当l⊥x 轴时，
不妨令P，Q，
又A1(－3，0)，A2(3，0)，lA1P：y＝(x＋3)，
lA2Q：y＝(x－3)，联立解得S(9，4).
当l 过椭圆的上顶点时，
y＝－x，P(0，)，Q，
lA1P：y＝(x＋3)，lA2Q：y＝(x－3)，
联立解得S(9，4).
若定直线存在，则方程应是x＝9.
下面给予证明.
把x＝my＋1 代入椭圆方程，整理得
(2m2＋3)y2＋4my－16＝0，Δ＞0 成立，
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
lA1P：y＝(x＋3)，lA2Q：y＝(x－3)，
当x＝9 时，纵坐标y 应相等，
则＝，需＝，
需2y1(my2－2)＝y2(my1＋4)，
需my1y2＝4(y1＋y2)，
∴m·＝4×恒成立.
综上，定直线方程为x＝9.
题型三 定值问题
例3 (2024·合肥质检节选)已知椭圆E：＋y2＝1，且椭圆E 的上、下顶点分别为
A，B，右顶点为D，直线l 过点D 且垂直于x 轴.如图，若点Q 在椭圆E 上(且在
第一象限)，直线AQ 与l 交于点N，直线BQ 与x 轴交于点M，试问：|OM|＋2|
DN|是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
解 设Q(x0，y0)，
由点Q 在椭圆E 上(且在第一象限)可知
＋y＝1(x0>0，y0>0)，
因为D(2，0)，所以直线l：x＝2，
由已知得直线AQ，BQ 的斜率存在，
则直线AQ：y＝x＋1，
令x＝2 得yN＝＋1，
直线BQ：y＝x－1，
令y＝0 得xM＝.
因为点Q 在第一象限，
所以|DN|＝＋1，|OM|＝，
则|OM|＋2|DN|＝＋＋2
＝＋2，
又＋y＝1，即x＋4y－4＝0，
所以|OM|＋2|DN|＝2.
所以|OM|＋2|DN|为定值，该定值为2.
感悟提升 圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，
化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再
利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行
化简、变形即可求得．
训练3 (2024·石家庄调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，
F2，过点F1的直线l 交椭圆于A，B 两点，交y 轴于点M，若|F1F2|＝2，△ABF2
的周长为8.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)MA＝λF1A，MB＝μF1B，试分析λ＋μ 是否为定值，若是，求出这个定值；否
则，说明理由.
解 (1)因为△ABF2的周长为8，
所以4a＝8，解得a＝2，
由|F1F2|＝2，得2＝2＝2，
所以b2＝3，
因此椭圆C 的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y＝k(x＋1)，
由
整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
设M(0，k)，又F1(－1，0)，
所以MA＝(x1，y1－k)，F1A＝(x1＋1，y1)，
则λ＝.
同理可得MB＝(x2，y2－k)，F1B＝(x2＋1，y2)，
则μ＝.
所以λ＋μ＝＋＝
＝＝
＝＝＝，
所以λ＋μ 为定值.
【A 级 基础巩固】
1.已知双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，).
(1)求C 的方程；
(2)设Q(1，0)，直线x＝t 不经过P 点且与C 相交于A，B 两点，若直线BQ 与C
交于另一点D，求证：直线AD 过x 轴上的一定点.
(1)解 因为渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线C 的方程为－＝λ(λ≠0)，
将点P(3，)代入得－＝λ，解得λ＝，
所以双曲线C 的方程为－y2＝1.
(2)证明 显然直线BQ 的斜率不为零，
设直线BQ 的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)，
D(x2，y2)，A(x1，－y1)，联立
消x 整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0.
依题意得m2－3≠0 且Δ＝4m2＋8(m2－3)＞0，
即m2＞2 且m2≠3，
y1＋y2＝－，y1y2＝－，
直线AD 的方程为y＋y1＝(x－x1)，
令y＝0，得x＝＋x1＝
＝＝
＝＝＝3.
所以直线AD 过x 轴上的定点(3，0).
2.(2024·辽宁名校联考节选)如图，已知双曲线C：－y2＝1 的左、右顶点分别为
A，B，P 是C 上异于左、右顶点的任意一点，记PA，PB 的斜率分别为k1，k2.若
点M 满足MA⊥PA，MB⊥PB，记△MAB，△PAB 的面积分别为S1，S2，试判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解 由题意得A(－，0)，B(，0)，
设P(x0，y0)(y0≠0)，则－y＝1，
k1＝，k2＝，
所以直线MA 的方程为y＝－·(x＋)，
直线MB 的方程为y＝－(x－)，
由
解得y＝，即点M 的纵坐标为yM＝，
所以＝＝＝2，
即为定值2.
3. (2024·武汉调研节选)已知椭圆E：＋y2＝1，设过点P(－1，－1)的动直线l 与
椭圆E 交于M，N 两点，T 为y 轴上的一点，设直线MT 和NT 的斜率分别为k1和
k2，若＋为定值，求点T 的坐标.
解 设点T 的坐标为(0，t).
当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为y＝k(x＋1)－1，与＋y2＝1 联立，消去y，
得(4k2＋1)x2＋8k(k－1)x＋4k(k－2)＝0.
因为动直线l 与椭圆E 有两个交点，
所以Δ＝48k2＋32k>0，得k>0，或k<－.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
＋＝＋
＝＋
＝
＝
＝.
＋为定值，即＋的值与k 无关，
则(t＋1)2＝0，得t＝－1，
此时T(0，－1)，＋＝－8.
若T(0，－1)，当直线l 的斜率不存在时也满足＋＝－8，
故点T 的坐标为(0，－1).
【B 级 能力提升】
4.(2024·福州质检)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，过点(－2，0)的两条直线l1，l2
分别交E 于A，B 两点和C，D 两点.当l1的斜率为时，|AB|＝.
(1)求E 的标准方程；
(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上.
解 (1)当l1的斜率为时，
得l1的方程为y＝(x＋2).
由消元并整理得，
y2－3py＋4p＝0，
由弦长公式及根与系数的关系得，
|AB|＝×＝，
即＝2，
解得p＝2 或p＝－(舍去)，
从而E 的标准方程为y2＝4x.
(2)设A，B，
得kAB＝＝，
则直线AB 的方程为y＝＋y1，
即4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
又直线AB 过点(－2，0)，
所以将该点坐标代入直线AB 的方程，得y1y2＝8.
设C，D，
同理可得y3y4＝8，
直线AD 的方程为4x－(y1＋y4)y＋y1y4＝0，
直线BC 的方程为4x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0.
因为(－2，0)在抛物线E 的对称轴上，
所以由对称性可知，交点G 必在垂直于x 轴的直线上，
所以只需证G 的横坐标为定值即可.
因为直线AD 与BC 相交，
由消去y，
解得x＝
＝
＝＝2，
所以点G 的横坐标为2，即直线AD 与BC 的交点G 在定直线x＝2 上.
