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§8.8 抛物线
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.(2025·德州模拟)抛物线x=-2y2的焦点坐标为( )
A.(0，- 1
2)
B.(- 1
2 ，0)
C.(- 1
8 ，0)
D.(0，- 1
8)
2.(2024·重庆模拟)已知点P(x，y)满足√( x -1)
2+ y
2=|x+1|，则点P 的轨迹为( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
3.已知抛物线C：y2=8x 的焦点为F，准线为l，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若⃗FP=4⃗FQ
，则|QF|等于( )
A.7
2
B.5
2
C.3
D.2
4.(2024·海口模拟)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线x=1 与抛物线E 交于A，B 两点，直线x=4
与E 交于C，D 两点，若A，B，C，D 四点构成的梯形的面积为18，则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|等于( )
A.14
B.12
C.16
D.18
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px 的焦点，M 是C 上的点，O 为坐标原点.则( )
A.p＝4
B.|MF|≥|OF|
C.以M 为圆心且过F 的圆与C 的准线相切
D.当∠OFM＝120°时，△OFM 的面积为2√3
6.(2024·茂名模拟)过抛物线C：y2=4x 的焦点F 作直线l 交C 于A，B 两点，则( )
A.|AB|的最小值为4
B.以AB 为直径的圆与C 的准线相切
C.若|AB|=5，则线段AB 中点的横坐标为2
D.
1
| AF | +
1
|BF | =1
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2025·成都模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x
2
16+ y
2
4 =1 的一个顶点，则p 的值为 .
8.已知抛物线C：y2=2x，焦点为F，准线为l，过抛物线C 上一点P 作PQ⊥l 于点Q，若∠FPQ=2π
3 ，则|
PF|= .
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知动点M 与点F(2，0)的距离与其到直线x=-2 的距离相等.
(1)求动点M 的轨迹方程；(5 分)
(2)求点M 与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M 的坐标.(8 分)
10.(15 分)已知动圆过定点(4，0)，且在y 轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(6 分)
(2)已知P 为轨迹C 上的一动点，求点P 到直线y=x+4 和y 轴的距离之和的最小值.(9 分)
每小题5 分，共10 分
11.已知抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A，B，C 的横坐标成等差数列，P 为抛物线的焦点，则( )
A.A，B，C 的纵坐标成等差数列
B.A，B，C 到x 轴的距离成等差数列
C.A，B，C 到原点的距离成等差数列
D.A，B，C 到点P 的距离成等差数列
12.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 的直线分别交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|
=3，则抛物线的方程为 .
答案精析
1.C [由抛物线方程x＝－2y2，
可知抛物线标准方程为y2＝－1
2x，
则p＝1
4 ，故焦点坐标为
(- 1
8 ，0).]
2.C [√( x -1)
2+ y
2表示点P(x，y)到点(1，0)的距离；|x+1|表示点P(x，y)到直线x＝－1 的距离.因为
√( x -1)
2+ y
2＝|x+1|，所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1 的距离，所以点P 的轨
迹为抛物线.]
3.C [过点Q 作QQ'⊥l 于点Q'，
如图.
∵⃗FP＝4⃗FQ，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F 到准线l 的距离为4，
∴|QF|＝|QQ'|＝3
4 ×4＝3.]
4.A [将x＝1 代入y2＝2px，
得y＝±√2 p，
将x＝4 代入y2＝2px，
得y＝±2√2 p，所以|AB|+|CD|
＝2√2 p+4√2 p＝6√2 p，
因为A，B，C，D 四点构成的梯形的面积为18，
所以1
2(|AB|+|CD|)×(4－1)＝9√2 p＝18，解得p＝2，
则E 的准线方程为x＝－1，
故由抛物线定义知|FA|+|FB|+|FC|+|FD|＝(1+1)+(1+1)+(4+1)+(4+1)＝14.]
5.ABC [由题意得p
2 ＝2，则p＝4，A 正确；设M(x0，y0)，则|MF|＝x0+ p
2 ，|OF|＝p
2 ，又因为x0≥0，所以|
MF|≥|OF|，B 正确；
由抛物线的定义知M 到F 的距离与M 到C 的准线的距离相等，故以M 为圆心且过F 的圆与C 的准线相切，
C 正确；
当∠OFM＝120°时，设M 在第一象限，则x0>2，y0>0，
故kMF＝
y0
x0-2＝tan 60°＝√3，
即x0＝y0
√3+2，又y0
2＝8x0，
所以√3 y0
2－8y0－16√3＝0，
解得y0＝4√3或y0＝－4√3
3
(舍去)，
所以S△OFM＝1
2|OF|×|y0|＝1
2×2×4√3＝4√3，D 错误.]
6.ABD [结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得|AB|≥2p＝4，故选项A 正确；
设AB 的中点为M，且A，B，M 在准线上的投影分别为A'，B'，M'，
由抛物线的定义可知|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，
易知四边形ABB'A'为直角梯形，
所以|MM'|＝| AA
'|+|BB
'|
2
＝| AF |+|BF |
2
＝| AB|
2
，
故以AB 为直径的圆与C 的准线相切，故选项B 正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA'|+|BB'|＝x1+ p
2 +x2+ p
2
＝x1+x2+p＝5，
所以x1+x2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x1+ x2
2
＝3
2，故选项C 错误；
由抛物线的焦点弦的性质知，
1
| AF | +
1
|BF | ＝2
p＝1，故选项D 正确.]
7.8
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(
p
2 ，0)，且椭圆x
2
16 + y
2
4 ＝1 的右顶点为(4，0)，
由题意可得p
2 ＝4，解得p＝8.
8.2
3
解析 如图，
设|PF|＝t，
∴|PQ|＝t，
则△QPF 为等腰三角形，且∠QPF＝2π
3 ，∴∠PQF＝π
6 ，
由余弦定理得|QF|＝√3t，
在Rt△QMF 中，
∠MQF＝π
3 ，|MF|＝p＝1，
∴|MF|＝|QF|sin∠MQF
＝√3t×√3
2 ＝1，
解得t＝2
3，∴|PF|＝2
3.
9.解 (1)由题意知动点M 到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2 的距离相等，所以动点M 的轨迹为以F(2，
0)为焦点，以直线x＝－2 为准线的抛物线，因此动点M 的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设M(
m
2
8 ，m)，
由两点间的距离公式得
|MA|＝√(
m
2
8 -6)
2
+m
2
＝√
m
4
64 - m
2
2 +36＝√
1
64 (m
2-16)
2+32，
当m2＝16，即m＝±4 时，
|MA|min＝4√2，
即当M 的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M 与点A 的距离最小，最小值为4√2.
10.解 (1)设圆心C 的坐标为(x，y)，
则半径r＝√( x - 4)
2+ y
2，
又动圆在y 轴上截得的弦长为8，
所以42+x2＝(x－4)2+y2，
化简得y2＝8x，
即动圆圆心C 的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C 的焦点为F(2，0)，点P 到直线y＝x+4 的距离为|PP1|，到y 轴的距离为|PP2|，点F 到直
线
y＝x+4 的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，
可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|+|PP2|
＝|PP1|+|PF|－2，
由图可知|PP1|+|PF|的最小值为点F 到直线y＝x+4 的距离，
所以(|PP1|+|PF|)min
＝|FF1|＝
6
√1+1＝3√2，
所以|PP1|+|PP2|的最小值为
3√2－2.
即点P 到直线y＝x+4 和y 轴的距离之和的最小值为3√2－2.
11.D [设点A，B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
P(
p
2 ，0)，准线方程为x＝－p
2 ，
因为抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C 的横坐标成等差数列，所以有2x2＝x1+x3，于是有
2[x2-(- p
2)]＝
[x1-(- p
2)]+[x3-(- p
2)]，
根据抛物线定义可得2|BP|＝
|AP|+|CP|，显然选项D 正确；
当三点A，B，C 的坐标分别为(0，0)，(2，2√p)，(4，2√2 p)时，因为p>0，所以2×2√p＝0+2√2 p不成
立，因此选项A 不正确；
因为A，B，C 到x 轴的距离分别为0，2√p，2√2 p，p>0，所以2×2√p＝0+2√2 p不成立，因此选项B 不
正确；
因为|AO|＝0，|BO|＝√4 + 4 p，
|CO|＝√16+8 p，p>0，
所以2×√4 + 4 p＝0+√16+8 p不成立，因此选项C 不正确.]
12.y2＝3x
解析 如图，分别过点A，B 作准线的垂线，交准线于点E，D，准线与x 轴交于点G，
设|BF|＝a，
则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，
故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE 中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝3+3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴1
p ＝2
3，∴p＝3
2，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
