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进阶3 与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
分值：34 分
1.(17 分)已知椭圆C：x
2
4 +y2=1.
(1)若椭圆C 的左、右焦点分别为F1，F2，P 为C 的上顶点，求△PF1F2的周长；(6 分)
(2)设过定点M(0，2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A，B，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直
线l 的斜率k 的取值范围.(11 分)
2.(17 分)双曲线C：y
2
a
2 - x
2
b
2=1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂直
于y 轴的直线l 交双曲线于点P(P 在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的周
长为n，|m-n|=4.
(1)若C 的一条渐近线方程为y=√2x，求C 的标准方程；(6 分)
(2)已知动直线l'与C 相切于点T，过点T 且与l'垂直的直线分别交x 轴、y 轴于M，N 两点，Q 为线段MN
上一点，⃗MQ=λ⃗MN，λ∈(0，1).若||QF2|-|QF1||为定值，求λb 的最大值.(11 分)
答案精析
1.解 (1)由题意得a2=4，b2=1，
所以a=2，b=1，c=√a
2-b
2=√3，
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2√3.
(2)显然当直线l 的斜率k 不存在时，直线x=0 不满足题意，设直线l 的方程为y=kx+2(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由{
y =kx +2,
x
2
4 + y
2=1,
得(1+4k2)x2+16kx+12=0，
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0，得k2>3
4 ，
则x1+x2=- 16k
4 k
2+1
，x1x2=
12
4 k
2+1
，
y1y2=(k x1+2)(k x2+2)=k2x1x2+2k(x1+ x2)+4，
因为∠AOB 为锐角，A，O，B 不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以⃗OA·⃗OB>0，
所以x1x2+y1y2>0，
所以x1x2+y1y2=(1+k
2)x1x2+2k(x1+ x2)+4
=12(k
2+1)
4 k
2+1
-16 k·2k
4 k
2+1 +4
=4(4 -k
2)
4 k
2+1
>0，
解得0<k2<4，因为k2>3
4 ，
解得-2<k<-√3
2 或√3
2 <k<2，
所以实数k 的取值范围为(-2，- √3
2 )∪(
√3
2 ，2).
2.解 (1)如图1，依题意，|m-n|=||AB|+|BF2|+|AF2|-(|BP|+|PF1|+|BF1|)|
图1
=||AB|+(|BP|+|PF2|)+|AF1|-(|BP|+|PF1|+|AB|+|AF1|)|
=||PF2|-|PF1||=2a=4，
解得a=2，又双曲线的一条渐近线方程为y=√2x，
则a
b=√2，即b=√2，
所以双曲线C 的标准方程为y
2
4 - x
2
2 =1.
(2)由(1)知a=2，则双曲线C 的方程为y
2
4 - x
2
b
2=1，如图2，
图2
设T(x0，y0)，过T 的直线l'的方程为y-y0=k(x-x0)，
即y=kx+y0-kx0，令m=y0-kx0，显然k≠0，
由{
b
2 y
2- 4 x
2= 4 b
2,
y =kx +m
消去y 得(b2k2-4)x2+2b2mkx+b2m2-4b2=0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ=(2b2mk)2-4(b2k2-4)(b2m2-4b2)=0，
化简得b2k2+m2-4=0，
代入m=y0-kx0得(b2+x0
2)k2-2x0y0k+y0
2-4=0，
由直线l'与双曲线相切，
得k=
x0 y0
b
2+ x0
2 ，
而y0
2
4
- x0
2
b
2=1，于是k=
4 x0
b
2 y0
，过点T 且与l'垂直的直线的斜率为-b
2 y0
4 x0
，
方程为y-y0=-b
2 y0
4 x0
(x-x0)，
令y=0，得x=(b
2+ 4)x0
b
2
，
即M(
(b
2+ 4)x0
b
2
，0)，
令x=0，得y=(b
2+ 4) y0
4
，
即N(0，(b
2+ 4) y0
4
)，
设Q(x，y)，由⃗MQ=λ⃗MN ，λ∈(0，1)，
得{
x = (1- λ)(b
2+ 4)
b
2
x0,
y = λ(b
2+ 4)
4
y0,
即{
x0=
b
2
(1- λ)(b
2+ 4)
x ,
y0=
4
λ(b
2+ 4)
y ,
代入y0
2
4
- x0
2
b
2=1，
得
y
2
λ
2(b
2+ 4)
2
4
-
x
2
(1- λ)
2(b
2+ 4)
2
b
2
=1，
依题意，该双曲线与双曲线y
2
4 - x
2
b
2=1 共焦点，
则λ
2(b
2+ 4)
2
4
+(1- λ)
2(b
2+ 4)
2
b
2
=b2+4，
化简得[(b2+4)λ-4]2=0，
于是λ=
4
b
2+ 4 ∈(0，1)，
λb= 4 b
b
2+ 4
≤
4 b
2√b
2·4
=1，
当且仅当b=2，λ=1
2时取等号，所以λb 的最大值为1.
