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2025 二轮复习专项训练9
导数与不等式证明
[考情分析] 导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单
调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、单变量函数不等式的证明
用导数证明不等式一般有以下方法
(1)构造函数法．
(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．
(3)分成两个函数进行研究．
(4)利用图象的特点证明不等式．
(5)利用放缩法证明不等式．
二、双变量函数不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系
式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的
单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等
式中，即可证得结果．
一、单选题
1．（2023·福建·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三下·安徽安庆·阶段练习）已知
，
都是正整数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·广东·模拟预测）记函数
在区间
的极值点分别为
，
，函数
的极值点分别为
，
，则（ ）
A．
B．
1
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C．
D．
4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数
，
，满足对
均有
，则
的取值不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．9
三、填空题
5．（2022·河南·模拟预测）已知
的定义域为R，若函数满足
，则称
为
的一个不动点，有下列结论：①
的不动点是3；②
存在不动点；
③若函数
为奇函数，则其存在奇数个不动点；若
为偶函数，则其存在偶数个不动
点；④若
为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若
存在不动点，则
也
存在不动点，以上结论正确的序号是 .
6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数
，
，若
，
则
的最小值为 .
四、解答题
7．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
.
8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点
，且
，求
的取
值范围．
【基础保分训练】
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一、单选题
1．（2021·全国·模拟预测）已知
且
且
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知
，
，且
则以下
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的
，
，且
，都有
，则m 的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．1
三、填空题
6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0 时，函数f(x)满足
，写出一个满足条件的
3
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函数解析式f(x)= ．
7．（20-21 高二·全国·课后作业）已知
，
，
，
，使得
成立，则实数
的取值范围是 ．
四、解答题
8．（2024·北京石景山·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值与最小值；
(3)当
时，求证：
．
9．（2022·广东广州·一模）已知函数
，
为
的导数.
(1)证明：当
时，
；
(2)设
，证明：
有且仅有2 个零点.
10．（2025·全国·模拟预测）设函数
(1)分析
的单调性和极值；
(2)设
，若对任意的
，都有
成立，求实数m 的取值范围；
(3)若
，且满足
时，证明：
.
11．（2023·河南郑州·三模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，且
，求证：
．
【能力提升训练】
一、单选题
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1．（2022·江苏·二模）已知实数
，且
，为自然对数
的底数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·福建福州·模拟预测）
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数
，
，若存在
，
，使得
成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知a，
，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河北沧州·一模）已知函数
与函数
的图象相交于
两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数
，则（ ）
A．
5
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B．函数
有最大值
C．若
，则
D．若
，且
，则
三、填空题
7．（2023·浙江温州·二模）已知函数
，则
的最小值是
；若关于
的方程
有个实数解，则实数
的取值范围是 .
8．（2024·北京西城·三模）已知函数
，下面命题正确的是 .
①存在
，使得
；
②存在
，使得
；
③存在常数
，使得
恒成立；
④存在
，使得直线
与曲线
有无穷多个公共点.
9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数
，若存在
，使得
，则
的最小值为 .
四、解答题
10．（2021·浙江·高考真题）设a，b 为实数，且
，函数
（1）求函数
的单调区间；
（2）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
（3）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，满足
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.
(注：
是自然对数的底数)
11．（2023·山东潍坊·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
.
12．（2024·广东佛山·二模）已知
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.
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