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专题01 集合和常用逻辑用语
目录
第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿
第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难
题型01 元素与集合及元素特性
题型02 集合间的基本关系
题型03 集合的基本运算
题型04 充分条件与必要条件
题型05 全称量词与存在量词
题型06 集合新定义
题型07 以集合与常用逻辑用语为载体的创新题
第三部分 分层突破 固本培优，精准提分
A 组·基础保分练
B 组·重难提升练
1．
（集合的概念）（2025·江西·模拟预测）8 月20 日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象
可以构成集合的是（ ）
A．游戏中会变身的妖怪
B．游戏中长的高的妖怪
C．游戏中能力强的妖怪
D．游戏中击败后给奖励多的妖怪
【答案】A
【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可.
【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A 正确；
对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D 错误.
故选：A.
1
2．
（集合的基本运算）（2025·四川广安·模拟预测）设集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
和
两种情况判断得出.
【详解】分两种情况：
当
时，
；当
时，
故
或
故选：B
3．
（集合的基本运算）（（2025·吉林长春·一模）已知集合
{高，考，必，胜}，
{吉，
大，必，胜}，则
（ ）
A．{吉，大，高，考}
B．{必，胜}
C．{金，榜，题，名}
D．{吉，大，高，考，必，胜}
【答案】D
【分析】根据并集的含义即可得到答案.
【详解】根据并集的含义得
{吉，大，高，考，必，胜}.
故选：D.
4．
（集合的基本运算）（2025·广东·二模）对于任意集合
，下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果.
2
【详解】
对于
：如图所知，
为区域①，所以
，故
错误；
对于
：
为区域①和③；
为区域③，
为区域①，则
也
为为区域①和③；两边相等，故
正确；
对于
：
为区域①，
为区域①，不等于区域②（区域②为
），故
错误；
对于
：
为区域①和③；而
为区域③，
为区域①，所以
为空集，所以
错误；
故选：
.
5．
（集合间的关系及基本运算）（2025·广东·模拟预测）已知集合
，
，
则（ ）
A．当
时，集合
含有2 个元素
B．集合
中的元素个数可能为5
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ABD
【分析】根据各选项的条件，可验证AD 正确；通过举例子可判断B 正确；通过举反例可排除C 项.
【详解】对于A，当
时，则
，
，此时
，故A 正确；
对于B，取
，
，则
，
，此时
，故B 正确；
3
对于C，取
，
，此时
，
，
，而有
，故C 错误；
对于D，当
时，
，
，
根据集合元素的互异性，必有
，
若
，则两集合除0 外的元素也应相同，即
，
这需要满足“
且
”（显然不成立）或“
且
”，后者要求
，
与集合B 元素互异性的要求
矛盾，故假设
不成立，因此
，故D 正确，
故选：ABD．
6．
（集合新定义·多选题）（2025·陕西·模拟预测）定义集合运算：
.若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
后可求得
，故可得正确的选项
【详解】由题设可得
，
，
因为
，
，
，
，
故
，
4
故选：D.
7．
（集合新定义）（2025·湖南·二模）给定整数
，有
个实数元素的集合，定义其相伴
数集
，如果
，则称集合为一个
元规范数集．（注：
表示数
集
中的最小数）．对于集合
，则（ ）
A．
是规范数集，
不是规范数集
B．
是规范数集，
是规范数集
C．
不是规范数集，
是规范数集
D．
不是规范数集，
不是规范数集
【答案】C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】集合
中，
，则
，
即
的相伴数集中的最小数不是1，因此
不是规范数集；
集合
，
，
，
即
的相伴数集中的最小数是1，因此
是规范数集.
故选：C
8．
（集合新定义·多选题）（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集
，定义集合
，若
是非空集合，则称集合
中最小的元素为集合
的上确界，记作
.以下说法正确的是（ ）
A．若数集
中有2025 个元素，则
一定存在
B．若数集
中没有最大值，则
不存在
C．若数集A，B 有上确界，则数集
一定也有上确界，为
5
D．若数集A，B 有上确界，则数集
一定也有上确界，为
【答案】AC
【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合
不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D.
【详解】对于
，若数集
中有2025 个元素，则数集
中的元素一定有最大值，
数集
一定有上确界，故A 正确；
对于B，若
，当
时，
，
则数集
中的元素没有最大值，
，都有
，
，
，即数集
中有上确界，故B 错误；
对于C，若数集A，B 有上确界，设
，
，
由上确界的定义可知，对于
，
，都有
，
，
，
即
，故
正确；
对于D，若
，
，则数集A，B 有上确界，且
，
，
此时
，
则
，故D 错误.
故选：AC
9．
（充分条件与必要条件）（24-25 高三上·浙江·模拟预测）“其身正，不令而行；其身不正，
虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令
将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是
“令行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6
【答案】C
【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.
【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正
令行，故“身正”是“令行”的充分条件；
又其身不正，虽令不从，即令行
身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，
综合知“身正”是“令行”的充要条件，
故选：C．
10．
（全称量词与存在量词）（24-25 高三上·河南周口·模拟预测）命题“存在偶数a，使数据
3，4，1，a，5，7 的中位数是偶数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7 的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7 的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7 的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7 的中位数不是偶数
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断即可.
【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7 的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数
据3，4，1，a，5，7 的中位数不是偶数”.
故选：B
11．
（全称量词与存在量词）（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题
“
，都有
”，则命题
的否定为（ ）
A．
，都有
B．
，都有
C．
，使得
D．
，使得
【答案】C
【分析】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题
的否定为“
，使得
”.
7
故选：C.
01 元素与集合及元素特性
1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.
【详解】因为
，
设
,则：有理数部分：
，无理数部分
，
,
,符合条件，所以
，故A 错误；
设
,则有理数部分
，无理数部分:
，
,
,符合条件，故
，故B 错误；
设
,则：有理数部分
，无理数部分：
，故
,故C 正确；
设
,则有理数部分：
(非整数，矛盾)，故
，故D 错误．
故选：C.
2．（2025·江西·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求集合，判断各元素与集合关系，即可得答案.
8
【详解】由题设
，
结合各选项，A、B、D 错，C 对.
故选：C
3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为 ．
【答案】3
【分析】因为
，则
或
，由此可解出
，再代入集合
验证，需要满足集合的互异性，
由此可得答案.
【详解】因为
，所以分为以下两种情况：
①
或
，当
时，集合
满足题意；
当
时，集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
②
，此时集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，
.
故答案为：3.
4．（2025·陕西西安·一模）已知
，
，若集合
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．1 或-1
【答案】C
【分析】由两集合相等及分式的分母不为
可求出
，再利用集合相等和互异性求
，代入计算
即可.
【详解】因为
，
，所以
，故
，
此时集合为
，根据集合相等，必有
，解得
或
．
当
时，不满足集合元素的互异性，
当
时，集合为
，符合条件.
9
所以
．
故选：C.
02 集合间的基本关系
5．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合
，
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
可以取3
【答案】AC
【分析】把
代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若
，则任意实数
均满足
，因此
，A 正确，B 错误；
对于CD，由
，得
，解得
，C 正确，D 错误.
故选：AC.
6．（2025·广西·模拟预测）已知集合
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先证明对任意
，则
，再证明
，但
，由此可得结论.
【详解】对任意
，存在
，使得
，
由于
，令
，则
，所以
，故
，
又
（当
时），但
（由
解得
），所以
是
的真子集，
故选：C
7．（2025·安徽·一模）已知全集为
，集合
，集合
，则下列关系
正确的是（ ）
10
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再根据补集的定义求出
，从而确定包含关系，最后判断各选项即可．
【详解】
，解得
或
，
或
，
，
，
或
，
，
，故A，B，C 错误，D 正确，
故选：D．
8．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合
，
，若
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系直接得到答案.
【详解】因为
，所以
解得
，
即a 的取值范围是
.
故选：D.
9．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，从集合A 的非空子集中任取两个集合
，
，则它们的交集为空集的概率为（ ）
11
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，求出集合
中的元素，计算集合
的所有非空子集的个数，分类讨论其中两
个集合
，
交集为空集的情况数，计算概率即可.
【详解】由
，解得
，所以
，共有
个非空子集，
当
中有一个元素时，
是剩下三个元素的非空子集，则有
种情况，
当
中有两个元素时，
是剩下两个元素的非空子集，则有
种情况，
当
中有三个元素时，
是剩下一个元素的非空子集，则有
种情况，
根据对称性可知，其中有一半是重复的情况，则
，
交集为空实际有
种不同情况，
任取两个集合
，
交集为空集的概率为
.
故选：C.
03 集合的基本运算
10．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式求得
，进而求得
，根据集合的并集运算，即可求得答案.
12
【详解】依题意，
，
，故
.
故选：A.
11．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解出集合
、
后，借助交集定义即可得.
【详解】
，
，故
.
故选：A.
12．（2025·辽宁大连·一模）已知集合
则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】利用对数函数的性质结合题目所给条件计算求出集合
，进而求出
.
【详解】令
，函数图象开口向上，
当
时，
取最小值
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
13
所以
，
所以集合
，
所以
或
.
故选：B.
13．（2025·河南·三模）（多选）已知全集
，集合
，
，
，若
，则（ ）
A．
的取值有个
B．
C．
D．
所有子集的个数为
【答案】BCD
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出
的值，可判断A 选项；利用交集的定义可判
断B 选项；利用并集的定义可判断C 选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，
，且
，
则
或
，且
，
，解得
，故
的取值只有个，故A 错误；
对于B 选项，
，
，所以
，故B 正确；
对于C 选项，
，
，故C 正确；
对于D 选项，
，
所以
，
，则
，
其
的子集的个数为
，故D 正确．
故选：BCD.
14．（2025·江西萍乡·二模）（多选）已知全集
，集合
，且满足：
14
，则下列说法正确的为（ ）
A．
B．
C．集合
可能是
D．
【答案】BCD
【分析】由摩根定律
，
以及交并补混合运算知识即可求
解.
【详解】由题意知
所以
，
对于 A，因为
，且
，所以
，A 选项错误；
对于B，由于
，所以
，B 选项正确；
对于C，已知
，这意味着
既属于A 又属于B，
若
，当
时，
此时满足所有已知条件，故C 选项正确；
对于D，因为
，又
，所以
，D
选项正确；
故选：BCD.
04 充分条件与必要条件
15．（2025·广西柳州·一模）设向量
，
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
15
C．“
”是“
”的充分条件D．“
”是“
”的充分条件
【答案】D
【分析】由向量平行、垂直的坐标表示求得
，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可.
【详解】若
，则
解得：
或
，
若
，则
解得：
或
，
所以“
”是“
”的不必要条件，
“
”是“
”的不必要条件，
“
”是“
”的不充分条件，
“
”是“
”的充分条件，
故选：D
16．（2025·贵州六盘水·模拟预测）“函数
在
上单调递增”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，解题的关键在于分别判断“函数
在
上
单调递增”能否推出“
”以及“
”能否推出“函数
在
上单调递增”.
【详解】求导得到
；
因为函数
在
上单调递增，所以
在
恒成立，所以
在
恒成立，所
以
，所以充分性不成立；
当
时，在
上
恒成立，所以
在
上单调递增，必要性成立.
故选：B
16
17．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、
、
是直线，
是平面，且
，
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.
【详解】解：由
得：
存在
，满足
，
若
，则直线垂直平面
中任意一条直线，
，
，
，
，
，
，
，
是否相交不确定，
不一定成立，
“
，
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B
18．（2025·河北秦皇岛·三模）在平面直角坐标系中，“
”是“
为第四象限角”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分性与必要性的定义证明即可.
【详解】先证必要性，若
是第四象限的角，则
，
所以
，因为
，
所以
，所以
，
所以，“
”是“
为第四象限角”的必要条件，
再证充分性，若
，则可得
不是第二，三象限的角且
不是坐标轴上的角，
所以
，若
，则
与题设矛盾，
所以
，所以
为第四象限角，
所以“
”是“
为第四象限角”的充要条件.
故选：C.
19．（25-26 高三上·广东·阶段练习）记
为数列
的前
项和，设甲：
是等比数列，乙：
17
是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别讨论
是等比数列的条件下，
是否是等比数列，以及
是等比数列的条
件下，
是否是等比数列，即可判断.
【详解】先判断充分性：
若
是等比数列，设其公比为
，首项为
，可得：
，
，
当
时，
，
不是等比数列，
当
时，
，
是等比数列，
综上，当
是等比数列时，
不一定是等比数列，
故充分性不成立；
再判断必要性：
若
是等比数列，
可设
，
此时，若
，
，
若
，
，
18
即
是等比数列，但
不是等比数列，
故必要性不成立；
综上，甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D.
05 全称量词与存在量词
20．（2025 高三·全国·专题练习）已知命题
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可.
【详解】命题
，
的否定为
，
，
故选：D．
21．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由存在量词命题的否定可得答案.
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故选：D.
22．（2025·陕西榆林·一模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
19
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题
的真假，即可求解
【详解】命题
，当
时，
，故为假命题；
命题
，当
或
时，
，故为真命题；
所以，
和
都是真命题，
和
是假命题.
故选：B
23．（2025·江西·三模）已知命题
：
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为真命题，且命题
的否定为：
，
B．
为真命题，且命题
的否定为：
，
C．
为假命题，且命题
的否定为：
，
D．
为假命题，且命题
的否定为：
，
【答案】B
【分析】先判断命题
的真假，再根据全称命题的否定规则写出命题
的否定，最后根据判断结果选择正
确选项.
【详解】因为
.
所以对于任意的
，
都成立，所以命题
为真命题.
命题
是全称命题，所以它的否定为
.
20
命题
为真命题，且命题
的否定为
.
故选：B.
24．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“
，
”为假命题，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不
等式求解实数
的取值范围.
【详解】已知命题“
”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“
”为真命题.
由
，
，移项可得
，
因为
，两边同时除以
，得到
在
上恒成立.
在
中，因为
，所以2x 和
都是正实数，则
，
当且仅当
，即
时等号成立.
因为
在
上恒成立，所以
要小于等于
的最小值
，
即
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
21
06 集合新定义
25．（2025·河南·一模）集合
，集合
，对任意
，有
，则集
合M 中元素个数的最大值是 .
【答案】51
【分析】由题意，要使
中元素的个数最大，则
，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与
集合
的关系，确定
的元素个数及集合
的可能情况，即可得.
【详解】要使
中元素的个数最大，且
，有
，必有
，
此时其余元素分组为
、
、
、
，共有50 组，
注意每组的两个元素必不能同时出现在集合
（因为它们的和为
），
所以，要使
中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50 组中共取50 个元素，
由抽屉原理知，不可能从50 组中取51 个元素，否则必有两个元素的和为
，不满足
，
综上，
中元素的个数最大为51 个，
如
、
均符合，元素个数为
.
故答案为：51
26．（2025·上海崇明·二模）已知集合M 中的任一个元素都是整数，当存在整数
且
时，称M 为“间断整数集”．集合
的所有子集中，是“间断整数集”的个数为
．
【答案】968
【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分
类加法计数原理求值即可.
【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2 个元素，至多有9 个元素，
按子集中元素的个数分类，
①当元素个数为2 时，不满足定义的子集有：
，共9 个；
22
此时满足定义的子集有
个，
②当元素个数为3 时，不满足定义的子集有：
，共8 个；
此时满足定义的子集有
个，
③当元素个数为4 时，不满足定义的子集有：
，共7 个；
此时满足定义的子集有
个，
④当元素个数为5 时，不满足定义的子集有：
，共6 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑤当元素个数为6 时，不满足定义的子集有：
，共5 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑥当元素个数为7 时，不满足定义的子集有：
，共4 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑦当元素个数为8 时，不满足定义的子集有：
，共3 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑧当元素个数为9 时，不满足定义的子集有：
，共2 个；
23
此时满足定义的子集有
个，
综上所述，满足题意的子集共有
个.
故答案为：968.
27．（2025·四川·三模）（多选）已知集合
，则称集合
为
分集．下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
是唯一的
分集B．对任意
，总存在至少一个
分集
C．若是
分集，则
D．若是
分集，则
【答案】AD
【分析】根据
分集的定义，利用基本不等式、求解一元二次不等式及利用不等式求取值范围等逐一判
断即可.
【详解】由
得
，当且仅当
时等号成立.
即
对于A， 当
时，则
，又
，故
，故A 正确；
对于B，
时，
，不符合
，故B 不正确；
对于C， 当
时，
，所以
，故C 不正确；
对于D，当
时，
，
又
，所以
，解得
，
.故D 正确.
24
故选：AD.
28．（2025·江苏南通·二模）（多选）设有限集合
，其中
，
，非空集合
，
，若存在集合
，使得
，
中的所有元素之和相等，则称集合
是“可拆等和
集”，则（ ）
A．集合
不是“可拆等和集”
B．若集合
是“可拆等和集”，则
的取值共有6 个
C．存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是“可拆等和集”
D．若
，
，数列
是等差数列且公差
，则集合
是“可拆等和集”
【答案】ABD
【分析】根据已知可知元素构成一个等比数列，计算可得
.然后根据
分类，即
可判断A 项；列举法即可判断B 项；将
中所有元素同时除以
后可得
，然后根据等
比数列前
项和公式计算，然后根据
分类，即可判断C 项；根据等差数列的性质，可推得
，
，共有
组（剩余元素为
），从中剔除
之后，从剩余的数据中选出
组分配到
中.结合公差
，可得出
，也可分
为两组，即可判断D 项.
【详解】对于A 项，
构成了一个以1 为首项，2 为公比的等比数列，
且
.
所以，当
时，
中所有元素之和也小于
，不满足要求；
当
含有
以及
之外的其余元素时，也不满足要求.
25
综上，集合
不是“可拆等和集”，故A 正确；
对于B 项，若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
，
此时因集合
已含有元素2，故舍去；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
.
综上可知：
可取
，
，
，
，
，共6 个值，故B 正确；
对于C 项，将
中所有元素同时除以
后可得
，
根据等比数列前
项和公式，可得
.
因为
，所以
，
，所以有
.
所以，当
时，
中所有元素之和也小于
，
不满足要求，显然同时乘以
后仍然不满足；
当
含有
以及
之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以
后仍然不满足.
综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是“可拆等和集”，故C 错
误；
26
对于D 项，易知集合
中的元素个数为
，
，
根据等差数列的性质可知，
，
，
共有
组（剩余元素为
），从中剔除
之后，剩余
组.
从这
组相同的数据中任意选出
组，将对应的元素分到集合
中；
又
，则
，
而
，
不妨将
这两个元素也分到集合
中，则可满足
中的元素之和相等.故D 正确.
故选：ABD.
29．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定
，若集合
，且存在
，满
足
，则称P 为“广义等差集合”．记P 的元素个数为
，则（ ）
A．
是“广义等差集合”
B．
是“广义等差集合”
C．若P 不是“广义等差集合”，当
时，
的最大值为4
D．若P 不是“广义等差集合”，若
的最大值为4，则n 可以是13
【答案】ABC
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据
时，设
，利用裂项相消得
矛盾求解C.
【详解】对于A, 取
，则符合“广义等差集合”的定义，故A 正确，
对于B，取
故B 正确，
27
对于C，当
时，
，如
时，设
，
由题意可知
两两不相同，则
矛盾，故
，当
时，取
,满足P 不是“广义等差集合”，故
的最大值为4，故C 正确，
对于D,当
时，取
，这与
矛盾，故D 错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程
中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本
的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
07 以集合与逻辑用语为载体的创新题
30．有
人参加篮球乒乓球羽毛球训练，参加篮球训练的有
､
､
人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛
球训练的有
人，其中只参加
种球类训练的有
人，则种球类训练都参加的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加
种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解.
【详解】设参加种、
种、种球类训练的人数分别为
、
、
.
由题意得总人数
，且
，
则
.
参加各项目的人数总和为
，
28
该总和中，参加种、
种、种训练的人数分别被计算了次、
次、次，
故
，
将
代入可得
，即
，
联立方程组
，
解得
，即种球类训练都参加的人数为
人，
故选：A.
31．满足
的实数对
，
构成的点
共有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数个
【答案】C
【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.
【详解】由
，又
，
则
，所以
在
单调递增，
故值域为
，
即
是
的两根，解得
，
当
时，点
为
，
当
时，点
为
，
当
时，点
为
.
故选：C
32．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可
以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球
不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球
西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦
29
月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据已知及充分条件与必要条件的定义分别判断即可得结论.
【详解】充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不
成立；
必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立，
故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件．
故选：B.
33．记
的三边长分别为
．已知命题
：若
，则
为等腰三角形，则
（ ）
A．
为假命题；
：若
，则
为等腰三角形
B．
为假命题；
：若
，则
不是等腰三角形
C．
为真命题；
：若
，则
为等腰三角形
D．
为真命题；
：若
，则
不是等腰三角形
【答案】D
【分析】根据命题的否定及真假命题的判断．
【详解】因为
，即
，则
，
又
，所以
，
为等腰三角形，故命题
为真命题；
命题
的否定
：若
，则
不是等腰三角形．
故选：D.
34．已知
，
均为整数，且
，
，则集合
的真子集
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
30
【答案】C
【分析】解方程得
或
，然后分别求出各个线段上的整数点，最后利用真子集个数结论求解
即可.
【详解】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数，
即
，则
或
.
对于
，由整数
知
且
为偶数，
则有
个满足条件的
；
对于
，由整数
知
且
为3 的倍数，
则有
个满足条件的
，
又因为
被重复统计，故集合的元素个数是
，
故集合的真子集的个数是
.
故选：C.
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出集合
中不等式的解集，然后根据交集的概念求出结果即可.
【详解】因为集合
，
31
所以
.
故选：B.
2．（2025·浙江金华·一模）已知集合
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用集合的补运算求集合即可.
【详解】由
，
，则
.
故选：D
3．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合
，且
，则实数
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据题意可对
和
分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果.
【详解】由
可知
或
；
当
时，即
，此时
，不能满足题意；
当
时，解得
或
（舍），
时，
，满足题意，
故
.
故选：D
4．（2025·河南开封·二模）（多选）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/
【详解】
，
对A，若
，则
，则根据
有
，显然矛盾，故A 错误；
32
对B，假设
，则
，根据
有
，显然矛盾，则
，故B 正确；
对C，由A 知，
，则
，故C 正确；
对D，显然
，必有
，故D 错误；
故选：BC.
5．（2025·山东·模拟预测）已知全集
，集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求集合
，根据集合的运算逐一验证即可.
【详解】由题意有
，
所以
，所以
，故A 错误；
，故B 错误；
因为
，
所以
，故C 错误；
因为
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
6．（2025·甘肃白银·三模）已知全集
，集合
，
，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
33
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由图可知图中阴影部分表示的集合是
，求出函数的定义域得集合A，解绝对值不等式得
集合
，再求
可得答案．
【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合是
，
，
则
，所以
．
故选：A
7．（2025·湖北黄冈·一模）已知命题
，则（ ）
A．
是假命题，
B．
是假命题，
C．
是真命题，
D．
是真命题，
【答案】D
【分析】利用导数判断命题
的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出
，可判断各选
项的准确性.
【详解】设
，则
.
由
；由
.
34
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
的最小值为
.
所以
对
恒成立.
所以
成立，即命题
为真命题.
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以
.
故选：D
8．（2025·山东·一模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性.
【详解】若
，满足
，但不能得到
，故充分性不成立，
若
，由于
，故
，故必要性成立，
故“
”是“
”的必要而不充分条件，
故选：C
9．（2025·安徽·模拟预测）“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
为偶函数”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据对称和偶函数定义判断.
【详解】若函数
的图象关于直线
对称，则
，
35
令
，则
，所以
，
是偶函数，
所以函数
是偶函数，
所以“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
是偶函数”的充分条件；
若函数
是偶函数，令
，则
是偶函数，
所以
，又
，所以
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，
所以“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
是偶函数”的必要条件.
综上可知，“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
是偶函数”的充要条件，
故选：C.
10．（2025·江西·二模）“椭圆
的焦点在 y 轴”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点位置求出参数范围，再结合充分不必要条件的概念求解即可.
【详解】若椭圆
的焦点在y 轴，则
，解得
.
对于A，由
能推出
，反之不成立，符合题意；
对于B，由
不能推出
，不符合题意；
对于C，显然为充要条件，不符合题意；
对于D，由
不能推出
，不符合题意；
故选：A
11．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合
，
则
（ ）
36
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解出集合
与
，然后根据集合的运算得出结果.
【详解】因为
，所以
或
，
又
，所以
，
所以
或
，则
.
故选：B．
12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解一元二次不等式求解集合
，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
.
故选：C.
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数值域求出集合
，解绝对值不等式求出集合
，由交集定义求得结果.
37
【详解】因为
，所以
，
进而
，即
，
因为
，所以
，即
，
由集合的交集定义可得
，
故选：C.
14．（2025·江西萍乡·三模）已知集合
，
，
，若
集合C 有3 个真子集，则实数m 的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合
有3 个真子集可得
中有两个不同的元素，故求出
的范围后可得正确的选项.
【详解】因为
有3 个真子集，所以
中有2 个元素，故
中有两个元素，
故
且
，则
，
解得
且
.
故选：C.
15．（2025·陕西榆林·一模）已知命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意命题是假命题，则命题的否定是真命题，再利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为“
，使
”是假命题，
所以“
，都有
”是真命题．
38
即
，所以
，
故选:
.
16．（2025·北京门头沟·一模）“
”是“直线
与双曲线
只有一个公共点”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到
的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.
【详解】法一：由题意，联立方程
可得
，
当
时，即
时，方程有一解，即只有一个公共点；
当
时，
，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线
与双曲线
只有一个公共点时，
.
所以“
”是“直线
与双曲线
只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线
过定点
，双曲线的右顶点为
，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线
平行时，直线与双曲线只有 交点.
39
所以“
”是“直线
与双曲线
只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
17．（2025 高三·全国·专题练习）“存在
，使得
”是“
为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可.
【详解】必要性：若
为等差数列，设其公差为
，则
，
故存在
，使得
，故满足必要性；
充分性：若存在
，使得
，
则
，两式相减可得
，
所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列
不一定是等差数列，
如
时，数列
，故不满足充分性.
所以“存在
，使得
”是“
为等差数列”的必要不充分条件，
故选：B
18．（2025·广东深圳·二模）在四边形
中，若
，则“
”是“四边形
是
正方形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据
，
判断出四边形
的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断
即可.
40
【详解】在四边形
中，若
，则四边形
为平行四边形，
若
，则平行四边形
为菱形，但不一定为正方形，
四边形
是正方形时，必有
，即有
，
故“
”是“四边形
是正方形”的必要不充分条件.
故选：B.
19．（2025·湖北黄冈·二模）设
，“曲线
为椭圆”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据
判断必要性是否成立，进而确定“曲线
为椭圆”与“
”之间的条件关系.
【详解】若曲线
为椭圆，则椭圆的标准方程为
（
）.
因为椭圆中分母须大于
，所以
且
，又因为
，那么
且
，所以由“曲线
为椭圆”可以推出“
”，充分性成立；
当
时，比如
，
，此时曲线方程为
，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“
”不能推出“曲线
为椭圆”，必要性不成立；
所以“曲线
为椭圆”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
20．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）若非空集合
，
满足条件：
①
；②若
，
，则
.
41
则称
为集合
的划分.
下列命题正确的是（ ）
A．若
为集合
的划分，则
B．若
为集合
的划分，则
C．若
，
，则
为
的划分
D．若
存在
划分，
，则
【答案】AD
【分析】根据题意中集合的划分定义对每个选项逐一分析判断即可.
【详解】对于选项AB：
在集合划分定义中并未要求
，但若存在
，
则
矛盾，故
必然成立.
对于选项C：
集合
为
，而集合
为
，此时
，
不符合集合划分的定义，所以选项C 错误.
对于选项D：
若
，则
，无法划分；
若
，则
，无法划分；
所以D 正确.
故选：AD.
42
43
