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专题1 集合下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：定义新概念
题型二：定义新运算
题型三：定义新性质
题型四：定义新背景
【方法技巧与总结】
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合
的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合
数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相
应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
【典型例题】
题型一：定义新概念
【典例1-1】（2024·高三·浙江·阶段练习）设自然数
，由
个不同正整数
构成集合
，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合
，记
为集合
元素
的个数
(1)已知集合
，集合
，分别求解
．
(2)对于集合
，若
取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求
的最大值（无需证明）．
②已知集合
是极异集合，记
求证：数列
的前
项和
．
【典例1-2】（2024·北京·模拟预测）已知集合
，其中
都是
的子集且
互不相同，记
的元素个数，
的元素个数
.
1
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(1)若
，直接写出所有满足条件的集合
；
(2)若
，且对任意
，都有
，求
的最大值；
(3)若
且对任意
，都有
，求
的最大值.
【变式1-1】（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、
为正整数集
的两个子集，、
至少各有
两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合
：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称集合
为集合
的“
集”.
(1)若集合
，求
的“
集”
；
(2)若三元集
存在“
集”
，且
中恰含有4 个元素，求证：
；
(3)若
存在“
集”，且
，求
的最大值.
题型二：定义新运算
【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）设
是由直线
上所有点构成的集合,即
,在点集
上定义运算“
”：对任意
则
．
(1)若
是直线
上所有点的集合,计算
的值．
(2)对（1）中的点集
,能否确定
（其中
）的值？
(3)对（1）中的点集
,若
,请你写出实数
,
, 可能的值．
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）对于非空集合
，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结
构称为“群”
，简记为
．而判断
是否为一个群，需验证以下三点：
2
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1、（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
2、（结合律）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
3、（恒等元）存在
，使得对任意
，
；
4、（逆的存在性）对任意
，都存在
，使得
．
记群
所含的元素个数为
，则群
也称作“
阶群”．若群
的“×”运算满足交换律，即对任意
，
，我们称
为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群
；
(2)记
为所有模长为1 的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得
在该运算下构成一个群
，
并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群
是否都是阿贝尔群？请说明理由．
【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知数集
及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），
如果对一切
，都有
，那么就说，集合
对运算“*”是封闭的．
(1)设
，判断
对通常的实数的乘法运算是否封闭？
(2)设
，且
，问
对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．
题型三：定义新性质
【典例3-1】（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知数集
具有性
质
：对任意
，
与
两数中至少有一个属于
．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质
；
(2)求证：
；
(3)给定正整数
，求证：
，
，
，
组成等差数列．
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【典例3-2】（2024·高二·北京海淀·期中）给定正整数
，设集合
．对于集合
中的任意元素
和
，记
．设
，且集合
，
对于
中任意元素
，若
则称
具有性质
．
(1)判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质
的集合
，并加以证明．
【变式3-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合
，其中
且
，若对任意的
，都有
，则称集合
具有性质
.
(1)集合
具有性质
，求
的最小值；
(2)已知
具有性质
，求证：
；
(3)已知
具有性质
，求集合
中元素个数的最大值，并说明理由.
题型四：定义新背景
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以
抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．
设
，
，称平面区域
为以
为心，
为半径的球形
邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：
的一个子集是开集当且仅当其
可被表示为若干个球形邻域的并集．
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【典例4-2】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K 在m
（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K 具有对称性，并记m 为K 的一个对称变换．
例如，正三角形R 在
（绕中心O 作120°的旋转）的作用下仍然与R 重合（如图1 图2 所示），所以
是R 的一个对称变换，考虑到变换前后R 的三个顶点间的对应关系，记
；又如，R 在（关
于对称轴
所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图1 图3 所示），所以也是R 的一个对称变换，
类似地，记
．记正三角形R 的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G 对于给定的代数运
算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．
，
；
II．
，
；
Ⅲ．
，
，
；
Ⅳ．
，
，
．
对于一个群G，称Ⅲ中的e 为群G 的单位元，称Ⅳ中的
为a 在群G 中的逆元．一个群G 的一个非空子
集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的代数运算来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S 中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S 中的元素，定义
一种新运算*，规则如下：
，
．
①证明集合S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H 是群G 的一个子群，e，
分别是G，H 的单位元，
，
，
分别是a 在群G，群H 中的
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逆元．猜想e，
之间的关系以及
，
之间的关系，并给出证明；
③写出群S 的所有子群．
【变式4-1】（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系
中，任何一个平面的方程都能表示成
，其中
，
，且
为该平面的法向量.已知集合
，
，
.
(1)设集合
，记
中所有点构成的图形的面积为
，
中所有点构成的图形的
面积为
，求
和
的值；
(2)记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为
，
中所有点构成的几何体的体积为
，求
和
的值：
(3)记集合T 中所有点构成的几何体为W.
①求W 的体积
的值；
②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.
【过关测试】
1．（2024·高三·北京·阶段练习）设k 是正整数，A 是
的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的
任意两个元素x，y，都有
，则称A 具有性质
．
(1)试判断集合
和
是否具有性质
？并说明理由．
(2)若
．证明：A 不可能具有性质
．
(3)若
且A 具有性质
和
．求A 中元素个数的最大值．
2．（2024·北京丰台·一模）已知集合
（
，
），若存在数阵
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满足：
①
；
②
．
则称集合
为“好集合”，并称数阵
为
的一个“好数阵”．
(1)已知数阵
是
的一个“好数阵”，试写出
，
，，
的值；
(2)若集合
为“好集合”，证明：集合
的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断
是否为“好集合”．若是，求出满足条件
的所有“好数阵”；若不是，
说明理由．
3．（2024·北京延庆·一模）已知数列
，记集合
.
(1)若数列
为
，写出集合
；
(2)若
，是否存在
，使得
？若存在，求出一组符合条件的
；若不存在，说明
理由；
(3)若
，把集合
中的元素从小到大排列，得到的新数列为
， 若
，求
的最大
值．
4．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数
，由
元实数集合
定义其随影数集
.
若
，则称集合
为一个
元理想数集，并定义
的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合
是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5 元理想数集
，求证：
；
(3)当
取遍所有2024 元理想数集时，求理数的最小值.
注：由
个实数组成的集合叫做
元实数集合，
分别表示数集
中的最大数与最小数.
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5．（2024·高二·北京·阶段练习）对于集合
，定义函数
．对于两个集合
，定
义集合
．已知集合
．
(1)求
与
的值；
(2)用列举法写出集合
；
(3)用
表示有限集合
所包含元素的个数．已知集合
是正整数集的子集，求
的最小值，并说明理由.
6．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
，
中有
个元素，若
中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：
．
7．（2024·高三·北京·阶段练习）设A 是正整数集的一个非空子集，如果对于任意
，都有
或
，则称A 为自邻集．记集合
的所有子集中的自邻集的个数为
．
(1)直接写出
的所有自邻集；
(2)若n 为偶数且
，求证：
的所有含5 个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若
，求证：
．
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8．（2024·广东·模拟预测）已知集合
中含有三个元素
，同时满足①
；②
；③
为偶数，那么称集合
具有性质
.已知集合
，对于集合
的非空
子集
，若
中存在三个互不相同的元素
，使得
均属于
，则称集合
是集合
的
“期待子集”.
(1)试判断集合
是否具有性质
，并说明理由；
(2)若集合
具有性质
，证明：集合
是集合
的“期待子集”；
(3)证明：集合
具有性质
的充要条件是集合
是集合
的“期待子集”.
9．（2024·高三·全国·竞赛）对集合
，定义其特征函数
，考虑集合
和正实数
，定义
为
和式函数.设
，则
为闭区间列；如果集合
对任意
，有
，则称
是无交集合列，设集合
.
(1)证明：L 和式函数的值域为有限集合；
(2)设
为闭区间列，
是定义在
上的函数.已知存在唯一的正整数
，各项不同的非
零实数
，和无交集合列
使得
，并且
，称
为
和式函数
的典范形式.设
为
的典范数.
（i）设
，证明：
；
（ii）给定正整数
，任取正实数
和闭区间列
，判断
的典范数
最大值的存
在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
10．（2024·高三·全国·竞赛）设M 是由复数组成的集合，对M 的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，
使得A 的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且
中的数对应的点都在圆外，则称A 是一个
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M 的“可分离子集”．
(1)判断
是否是
的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z 满足
，其中
分别表示z 的实部和虚部．证明：
是
的“可分离子集”当且仅当
．
11．（2024·高三·北京·开学考试）由
个正整数构成的有限集
（其中
），记
，特别规定
，若集合M 满足：对任意的正整数
，都存在集合M 的两个子集A，B，使得
成立，则称集合
为“满集”.
(1)分别判断集合
与
是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合
为“满集”，求
的值：
(3)若
为满集，
，求
的最小值.
12．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知
为所有
元有序数组
所组成的集合.其中
（
）.
对于
中的任意元素
，
定义
，
的距离：
若
，
为
的子集，且有
个元素，并且满足任意
，都存在唯一的
，使得
，
则称
为“好
集”.
(1)若
，
，
，
，
，
，求
，
及
的值；
(2)当
时，求证：存在“好
集”，且“好
集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当
时，“好
集”不存在.
13．（2024·高一·浙江杭州·期中）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
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定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是
的子集为元素的一个族
，它满足以下条件：（1）
和
在
中；（2）
的任意子集的元素的并在
中；（3）
的任意有限子集的元素的交在
中.
(1)族
，族
，判断族
与族
是否为集合
的拓扑；
(2)设有限集
为全集
（i）证明：
；
（ii）族
为集合
上的一个拓扑，证明：由族
所有元素的补集构成的族
为集合
上的一个拓扑.
14．（2024·高三·上海·期中）给定自然数i．称非空集合A 为减i 集，若A 满足：
（i）
，
；
（ii）对任意x，
，只要
，就有
．问：
(1)直接判断
是否为减0 集，是否为减1 集；
(2)是否存在减2 集?若存在，求出所有的减2 集；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在减1 集?若存在，求出所有的减1 集；若不存在，请说明理由．
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