文档文本内容
专题 01 集合和常用逻辑用语
目录
第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿
第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难
题型01元素与集合及元素特性
题型02集合间的基本关系
题型03集合的基本运算
题型04充分条件与必要条件
题型05全称量词与存在量词
题型06集合新定义
题型07以集合与常用逻辑用语为载体的创新题
第三部分 分层突破 固本培优，精准提分
A组·基础保分练
B组·重难提升练
1． （集合的概念）（2025·江西·模拟预测）8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象
可以构成集合的是（ ）
A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪
C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪
【答案】A
【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可.
【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确；
对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误.
故选：A.2． （集合的基本运算）（2025·四川广安·模拟预测）设集合 ，
，则 等于（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】根据 和 两种情况判断得出.
【详解】分两种情况：
当 时， ；当 时，
故 或
故选：B
3． （集合的基本运算）（（2025·吉林长春·一模）已知集合 {高，考，必，胜}， {吉，
大，必，胜}，则 （ ）
A．{吉，大，高，考} B．{必，胜}
C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜}
【答案】D
【分析】根据并集的含义即可得到答案.
【详解】根据并集的含义得 {吉，大，高，考，必，胜}.
故选：D.
4． （集合的基本运算）（2025·广东·二模）对于任意集合 ，下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果.【详解】
对于 ：如图所知， 为区域①，所以 ，故 错误；
对于 ： 为区域①和③； 为区域③， 为区域①，则 也
为为区域①和③；两边相等，故 正确；
对于 ： 为区域①， 为区域①，不等于区域②（区域②为 ），故 错误；
对于 ： 为区域①和③；而 为区域③， 为区域①，所以
为空集，所以 错误；
故选： .
5． （集合间的关系及基本运算）（2025·广东·模拟预测）已知集合 ， ，
则（ ）
A．当 时，集合 含有2个元素
B．集合 中的元素个数可能为5
C．当 时，
D．当 时，
【答案】ABD
【分析】根据各选项的条件，可验证AD正确；通过举例子可判断B正确；通过举反例可排除C项.
【详解】对于A，当 时，则 ， ，此时 ，故A正确；
对于B，取 ， ，则 ， ，此时 ，故B正确；对于C，取 ， ，此时 ， ， ，而有 ，故C错误；
对于D，当 时， ， ，
根据集合元素的互异性，必有 ，
若 ，则两集合除0外的元素也应相同，即 ，
这需要满足“ 且 ”（显然不成立）或“ 且 ”，后者要求 ，
与集合B元素互异性的要求 矛盾，故假设 不成立，因此 ，故D正确，
故选：ABD．
6． （集合新定义·多选题）（2025·陕西·模拟预测）定义集合运算：
.若集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出 后可求得 ，故可得正确的选项
【详解】由题设可得 ， ，
因为 ， ， ， ，
故 ，故选：D.
7． （集合新定义）（2025·湖南·二模）给定整数 ，有 个实数元素的集合 ，定义其相伴
数集 ，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集．（注： 表示数
集 中的最小数）．对于集合 ，则（ ）
A． 是规范数集， 不是规范数集 B． 是规范数集， 是规范数集
C． 不是规范数集， 是规范数集 D． 不是规范数集， 不是规范数集
【答案】C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】集合 中， ，则 ，
即 的相伴数集中的最小数不是1，因此 不是规范数集；
集合 ， ，
，
即 的相伴数集中的最小数是1，因此 是规范数集.
故选：C
8． （集合新定义·多选题）（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集 ，定义集合
，若 是非空集合，则称集合 中最小的元素为集合 的上确界，记作
.以下说法正确的是（ ）
A．若数集 中有2025个元素，则 一定存在
B．若数集 中没有最大值，则 不存在
C．若数集A，B有上确界，则数集 一定也有上确界，为D．若数集A，B有上确界，则数集 一定也有上确界，为
【答案】AC
【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合
不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D.
【详解】对于 ，若数集 中有2025个元素，则数集 中的元素一定有最大值，
数集 一定有上确界，故A正确；
对于B，若 ，当 时， ，
则数集 中的元素没有最大值，
，都有 ， ，
，即数集 中有上确界，故B错误；
对于C，若数集A，B有上确界，设 ， ，
由上确界的定义可知，对于 ， ，都有 ， ， ，
即 ，故 正确；
对于D，若 ， ，则数集A，B有上确界，且 ， ，
此时 ，
则 ，故D错误.
故选：AC
9． （充分条件与必要条件）（24-25高三上·浙江·模拟预测）“其身正，不令而行；其身不正，
虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令
将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是
“令行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C
【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.
【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正 令行，故“身正”是“令行”的充分条件；
又其身不正，虽令不从，即令行 身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，
综合知“身正”是“令行”的充要条件，
故选：C．
10． （全称量词与存在量词）（24-25高三上·河南周口·模拟预测）命题“存在偶数a，使数据
3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断即可.
【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数
据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数”.
故选：B
11． （全称量词与存在量词）（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题 “ ，都有
”，则命题 的否定为（ ）
A． ，都有 B． ，都有
C． ，使得 D． ，使得
【答案】C
【分析】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题 的否定为“ ，使得 ”.故选：C.
01元素与集合及元素特性
1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.
【详解】因为 ，
设 ,则：有理数部分： ，无理数部分 ，
, ,符合条件，所以 ，故A错误；
设 ,则有理数部分 ，无理数部分: ，
, ,符合条件，故 ，故B错误；
设 ,则：有理数部分 ，无理数部分： ，故 ,故C正确；
设 ,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故 ，故D错误．
故选：C.
2．（2025·江西·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求集合，判断各元素与集合关系，即可得答案.【详解】由题设 ，
结合各选项，A、B、D错，C对.
故选：C
3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合 ，且 ，则实数 的值为 ．
【答案】3
【分析】因为 ，则 或 ，由此可解出 ，再代入集合 验证，需要满足集合的互异性，
由此可得答案.
【详解】因为 ，所以分为以下两种情况：
① 或 ，当 时，集合 满足题意；
当 时，集合 ，违反了集合的互异性，故舍去；
② ，此时集合 ，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述， .
故答案为：3.
4．（2025·陕西西安·一模）已知 ， ，若集合 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．1或-1
【答案】C
【分析】由两集合相等及分式的分母不为 可求出 ，再利用集合相等和互异性求 ，代入计算
即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，故 ，
此时集合为 ，根据集合相等，必有 ，解得 或 ．
当 时，不满足集合元素的互异性，
当 时，集合为 ，符合条件.所以 ．
故选：C.
02集合间的基本关系
5．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 可以取3
【答案】AC
【分析】把 代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若 ，则任意实数 均满足 ，因此 ，A正确，B错误；
对于CD，由 ，得 ，解得 ，C正确，D错误.
故选：AC.
6．（2025·广西·模拟预测）已知集合 ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明对任意 ，则 ，再证明 ，但 ，由此可得结论.
【详解】对任意 ，存在 ，使得 ，
由于 ，令 ，则 ，所以 ，故 ，
又 （当 时），但 （由 解得 ），所以 是 的真子集，
故选：C
7．（2025·安徽·一模）已知全集为 ，集合 ，集合 ，则下列关系
正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合 ，再根据补集的定义求出 ，从而确定包含关系，最后判断各选项即可．
【详解】 ，解得 或 ，
或 ，
，
，
或 ，
， ，故A，B，C错误，D正确，
故选：D．
8．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系直接得到答案.
【详解】因为 ，所以 解得 ，
即a的取值范围是 .
故选：D.
9．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合 ，从集合A的非空子集中任取两个集合 ，
，则它们的交集为空集的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，求出集合 中的元素，计算集合 的所有非空子集的个数，分类讨论其中两
个集合 ， 交集为空集的情况数，计算概率即可.
【详解】由 ，解得 ，所以 ，共有 个非空子集，
当 中有一个元素时， 是剩下三个元素的非空子集，则有 种情况，
当 中有两个元素时， 是剩下两个元素的非空子集，则有 种情况，
当 中有三个元素时， 是剩下一个元素的非空子集，则有 种情况，
根据对称性可知，其中有一半是重复的情况，则 ， 交集为空实际有 种不同情况，
任取两个集合 ， 交集为空集的概率为 .
故选：C.
03集合的基本运算
10．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求得 ，进而求得 ，根据集合的并集运算，即可求得答案.【详解】依题意， ， ，故 .
故选：A.
11．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解出集合 、 后，借助交集定义即可得.
【详解】 ，
，故 .
故选：A.
12．（2025·辽宁大连·一模）已知集合 则 （ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数函数的性质结合题目所给条件计算求出集合 ，进而求出 .
【详解】令 ，函数图象开口向上，
当 时， 取最小值 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以所以 ，
所以集合 ，
所以 或 .
故选：B.
13．（2025·河南·三模）（多选）已知全集 ，集合 ， ，
，若 ，则（ ）
A． 的取值有 个 B．
C． D． 所有子集的个数为
【答案】BCD
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出 的值，可判断A选项；利用交集的定义可判
断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 ， ，且 ，
则 或 ，且 ， ，解得 ，故 的取值只有 个，故A错误；
对于B选项， ， ，所以 ，故B正确；
对于C选项， ， ，故C正确；
对于D选项， ，
所以 ， ，则 ，
其 的子集的个数为 ，故D正确．
故选：BCD.
14．（2025·江西萍乡·二模）（多选）已知全集 ，集合 ，且满足：，则下列说法正确的为（ ）
A． B．
C．集合 可能是 D．
【答案】BCD
【分析】由摩根定律 ， 以及交并补混合运算知识即可求
解.
【详解】由题意知
所以 ，
对于 A，因为 ，且 ，所以 ，A 选项错误；
对于B，由于 ，所以 ，B 选项正确；
对于C，已知 ，这意味着 既属于A又属于B，
若 ，当 时，
此时满足所有已知条件，故C选项正确；
对于D，因为 ，又 ，所以 ，D
选项正确；
故选：BCD.
04充分条件与必要条件
15．（2025·广西柳州·一模）设向量 ， ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】D
【分析】由向量平行、垂直的坐标表示求得 ，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可.
【详解】若 ，则 解得： 或 ，
若 ，则 解得： 或 ，
所以“ ”是“ ”的不必要条件，
“ ”是“ ”的不必要条件，
“ ”是“ ”的不充分条件，
“ ”是“ ”的充分条件，
故选：D
16．（2025·贵州六盘水·模拟预测）“函数 在 上单调递增”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，解题的关键在于分别判断“函数 在 上
单调递增”能否推出“ ”以及“ ”能否推出“函数 在 上单调递增”.
【详解】求导得到 ；
因为函数 在 上单调递增，所以 在 恒成立，所以 在 恒成立，所
以 ，所以充分性不成立；
当 时，在 上 恒成立，所以 在 上单调递增，必要性成立.
故选：B17．（2025·山东临沂·模拟预测）已知 、 、 是直线， 是平面，且 ， ，则“ ，
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.
【详解】解：由 得：
存在 ，满足 ，
若 ，则直线 垂直平面 中任意一条直线，
， ， ， ，
， ， ， 是否相交不确定， 不一定成立，
“ ， ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B
18．（2025·河北秦皇岛·三模）在平面直角坐标系中，“ ”是“ 为第四象限角”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分性与必要性的定义证明即可.
【详解】先证必要性，若 是第四象限的角，则 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以，“ ”是“ 为第四象限角”的必要条件，
再证充分性，若 ，则可得 不是第二，三象限的角且 不是坐标轴上的角，
所以 ，若 ，则 与题设矛盾，
所以 ，所以 为第四象限角，
所以“ ”是“ 为第四象限角”的充要条件.
故选：C.
19．（25-26高三上·广东·阶段练习）记 为数列 的前 项和，设甲： 是等比数列，乙：是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别讨论 是等比数列的条件下， 是否是等比数列，以及 是等比数列的条
件下， 是否是等比数列，即可判断.
【详解】先判断充分性：
若 是等比数列，设其公比为 ，首项为 ，可得：
，
，
当 时， ， 不是等比数列，
当 时， ， 是等比数列，
综上，当 是等比数列时， 不一定是等比数列，
故充分性不成立；
再判断必要性：
若 是等比数列，
可设 ，
此时，若 ， ，
若 ， ，即 是等比数列，但 不是等比数列，
故必要性不成立；
综上，甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D.
05全称量词与存在量词
20．（2025高三·全国·专题练习）已知命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可.
【详解】命题 ， 的否定为 ， ，
故选：D．
21．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由存在量词命题的否定可得答案.
【详解】命题“ ”的否定是“ ”.
故选：D.
22．（2025·陕西榆林·一模）已知命题 ；命题 ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【分析】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题 的真假，即可求解
【详解】命题 ，当 时， ，故为假命题；
命题 ，当 或 时， ，故为真命题；
所以， 和 都是真命题， 和 是假命题.
故选：B
23．（2025·江西·三模）已知命题 ： ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为真命题，且命题 的否定为： ，
B． 为真命题，且命题 的否定为： ，
C． 为假命题，且命题 的否定为： ，
D． 为假命题，且命题 的否定为： ，
【答案】B
【分析】先判断命题 的真假，再根据全称命题的否定规则写出命题 的否定，最后根据判断结果选择正
确选项.
【详解】因为 .
所以对于任意的 ， 都成立，所以命题 为真命题.
命题 是全称命题，所以它的否定为 .命题 为真命题，且命题 的否定为 .
故选：B.
24．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不
等式求解实数 的取值范围.
【详解】已知命题“ ”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“ ”为真命题.
由 ， ，移项可得 ，
因为 ，两边同时除以 ，得到 在 上恒成立.
在 中，因为 ，所以2x和 都是正实数，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
因为 在 上恒成立，所以 要小于等于 的最小值 ，
即 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.06集合新定义
25．（2025·河南·一模）集合 ，集合 ，对任意 ，有 ，则集
合M中元素个数的最大值是 .
【答案】51
【分析】由题意，要使 中元素的个数最大，则 ，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与
集合 的关系，确定 的元素个数及集合 的可能情况，即可得.
【详解】要使 中元素的个数最大，且 ，有 ，必有 ，
此时其余元素分组为 、 、 、 ，共有50组，
注意每组的两个元素必不能同时出现在集合 （因为它们的和为 ），
所以，要使 中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50组中共取50个元素，
由抽屉原理知，不可能从50组中取51个元素，否则必有两个元素的和为 ，不满足 ，
综上， 中元素的个数最大为51个，
如 、 均符合，元素个数为 .
故答案为：51
26．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数 且
时，称M为“间断整数集”．集合 的所有子集中，是“间断整数集”的个数为
．
【答案】968
【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分
类加法计数原理求值即可.
【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素，
按子集中元素的个数分类，
①当元素个数为2时，不满足定义的子集有：
，共9个；此时满足定义的子集有 个，
②当元素个数为3时，不满足定义的子集有：
，共8个；
此时满足定义的子集有 个，
③当元素个数为4时，不满足定义的子集有：
，共7个；
此时满足定义的子集有 个，
④当元素个数为5时，不满足定义的子集有：
，共6个；
此时满足定义的子集有 个，
⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有：
，共5个；
此时满足定义的子集有 个，
⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有：
，共4个；
此时满足定义的子集有 个，
⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有：
，共3个；
此时满足定义的子集有 个，
⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有：
，共2个；此时满足定义的子集有 个，
综上所述，满足题意的子集共有 个.
故答案为：968.
27．（2025·四川·三模）（多选）已知集合 ，则称集合
为 分集．下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 是唯一的 分集 B．对任意 ，总存在至少一个 分集
C．若 是 分集，则 D．若 是 分集，则
【答案】AD
【分析】根据 分集的定义，利用基本不等式、求解一元二次不等式及利用不等式求取值范围等逐一判
断即可.
【详解】由 得 ，当且仅当 时等号成立.
即
对于A， 当 时，则 ，又 ，故
，故A正确；
对于B， 时， ，不符合 ，故B不正确；
对于C， 当 时， ，所以 ，故C不正确；
对于D，当 时， ，
又 ，所以 ，解得 ，
.故D正确.故选：AD.
28．（2025·江苏南通·二模）（多选）设有限集合 ，其中 ， ，非空集合
， ，若存在集合 ，使得 ， 中的所有元素之和相等，则称集合 是“可拆等和
集”，则（ ）
A．集合 不是“可拆等和集”
B．若集合 是“可拆等和集”，则 的取值共有6个
C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列 ，使得集合 是“可拆等和集”
D．若 ， ，数列 是等差数列且公差 ，则集合 是“可拆等和集”
【答案】ABD
【分析】根据已知可知元素构成一个等比数列，计算可得 .然后根据 分类，即
可判断A项；列举法即可判断B项；将 中所有元素同时除以 后可得 ，然后根据等
比数列前 项和公式计算，然后根据 分类，即可判断C项；根据等差数列的性质，可推得
， ，共有 组（剩余元素为 ），从中剔除
之后，从剩余的数据中选出 组分配到 中.结合公差 ，可得出 ，也可分
为两组，即可判断D项.
【详解】对于A项， 构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列，
且 .
所以，当 时， 中所有元素之和也小于 ，不满足要求；
当 含有 以及 之外的其余元素时，也不满足要求.综上，集合 不是“可拆等和集”，故A正确；
对于B项，若 ，则由“可拆等和集”的定义，有 ，解得 ；
若 ，则由“可拆等和集”的定义，有 ，解得 ；
若 ，则由“可拆等和集”的定义，有 ，解得 ；
若 ，则由“可拆等和集”的定义，有 ，解得 ；
若 ，则由“可拆等和集”的定义，有 ，解得 ，
此时因集合 已含有元素2，故舍去；
若 ，则由“可拆等和集”的定义，有 ，解得
若 ，则由“可拆等和集”的定义，有 .
综上可知： 可取 ， ， ， ， ， 共6个值，故B正确；
对于C项，将 中所有元素同时除以 后可得 ，
根据等比数列前 项和公式，可得 .
因为 ，所以 ， ，所以有 .
所以，当 时， 中所有元素之和也小于 ，
不满足要求，显然同时乘以 后仍然不满足；
当 含有 以及 之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以 后仍然不满足.
综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列 ，使得集合 是“可拆等和集”，故C错
误；对于D项，易知集合 中的元素个数为 ， ，
根据等差数列的性质可知， ， ，
共有 组（剩余元素为 ），从中剔除 之后，剩余 组.
从这 组相同的数据中任意选出 组，将对应的元素分到集合 中；
又 ，则 ，
而 ，
不妨将 这两个元素也分到集合 中，则可满足 中的元素之和相等.故D正确.
故选：ABD.
29．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定 ，若集合 ，且存在 ，满
足 ，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为 ，则（ ）
A． 是“广义等差集合”
B． 是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当 时， 的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若 的最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据 时，设
，利用裂项相消得 矛盾求解C.
【详解】对于A, 取 ，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取 故B正确，对于C，当 时， ，如 时，设 ，
由题意可知 两两不相同，则
矛盾，故 ，当 时，取
,满足P不是“广义等差集合”，故 的最大值为4，故C正确，
对于D,当 时，取 ，这与 矛盾，故D错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程
中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本
的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
07以集合与逻辑用语为载体的创新题
30．有 人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有 人，参加乒乓球训练的有 人，参加羽毛
球训练的有 人，其中只参加 种球类训练的有 人，则 种球类训练都参加的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加 种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解.
【详解】设参加 种、 种、 种球类训练的人数分别为 、 、 .
由题意得总人数 ，且 ，
则 .
参加各项目的人数总和为 ，该总和中，参加 种、 种、 种训练的人数分别被计算了 次、 次、 次，
故 ，
将 代入可得 ，即 ，
联立方程组 ，
解得 ，即 种球类训练都参加的人数为 人，
故选：A.
31．满足 的实数对 ， 构成的点 共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.
【详解】由 ，又 ，
则 ，所以 在 单调递增，
故值域为 ，
即 是 的两根，解得 ，
当 时，点 为 ，
当 时，点 为 ，
当 时，点 为 .
故选：C
32．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可
以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球
不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球
西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据已知及充分条件与必要条件的定义分别判断即可得结论.
【详解】充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不
成立；
必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立，
故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件．
故选：B.
33．记 的三边长分别为 ．已知命题 ：若 ，则 为等腰三角形，则
（ ）
A． 为假命题； ：若 ，则 为等腰三角形
B． 为假命题； ：若 ，则 不是等腰三角形
C． 为真命题； ：若 ，则 为等腰三角形
D． 为真命题； ：若 ，则 不是等腰三角形
【答案】D
【分析】根据命题的否定及真假命题的判断．
【详解】因为 ，即 ，则 ，
又 ，所以 ， 为等腰三角形，故命题 为真命题；
命题 的否定 ：若 ，则 不是等腰三角形．
故选：D.
34．已知 ， 均为整数，且 ， ，则集合 的真子集
的个数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】解方程得 或 ，然后分别求出各个线段上的整数点，最后利用真子集个数结论求解
即可.
【详解】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数，
即 ，则 或 .
对于 ，由整数 知 且 为偶数，
则有 个满足条件的 ；
对于 ，由整数 知 且 为3的倍数，
则有 个满足条件的 ，
又因为 被重复统计，故集合的元素个数是 ，
故集合的真子集的个数是 .
故选：C.
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合 中不等式的解集，然后根据交集的概念求出结果即可.
【详解】因为集合 ，所以 .
故选：B.
2．（2025·浙江金华·一模）已知集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用集合的补运算求集合即可.
【详解】由 ， ，则 .
故选：D
3．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合 ，且 ，则实数 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意可对 和 分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果.
【详解】由 可知 或 ；
当 时，即 ，此时 ，不能满足题意；
当 时，解得 或 （舍），
时， ，满足题意，
故 .
故选：D
4．（2025·河南开封·二模）（多选）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/
【详解】 ，
对A，若 ，则 ，则根据 有 ，显然矛盾，故A错误；对B，假设 ，则 ，根据 有 ，显然矛盾，则 ，故B正确；
对C，由A知， ，则 ，故C正确；
对D，显然 ，必有 ，故D错误；
故选：BC.
5．（2025·山东·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求集合 ，根据集合的运算逐一验证即可.
【详解】由题意有 ，
所以 ，所以 ，故A错误；
，故B错误；
因为 ，
所以 ，故C错误；
因为 ，
所以 ，故D正确.
故选：D.
6．（2025·甘肃白银·三模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图可知图中阴影部分表示的集合是 ，求出函数的定义域得集合A，解绝对值不等式得
集合 ，再求 可得答案．
【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合是 ，
，
则 ，所以 ．
故选：A
7．（2025·湖北黄冈·一模）已知命题 ，则（ ）
A． 是假命题，
B． 是假命题，
C． 是真命题，
D． 是真命题，
【答案】D
【分析】利用导数判断命题 的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出 ，可判断各选
项的准确性.
【详解】设 ，则 .
由 ；由 .所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的最小值为 .
所以 对 恒成立.
所以 成立，即命题 为真命题.
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以 .
故选：D
8．（2025·山东·一模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性.
【详解】若 ，满足 ，但不能得到 ，故充分性不成立，
若 ，由于 ，故 ，故必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
故选：C
9．（2025·安徽·模拟预测）“函数 的图象关于直线 对称”是“函数 为偶函数”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据对称和偶函数定义判断.
【详解】若函数 的图象关于直线 对称，则 ，令 ，则 ，所以 ， 是偶函数，
所以函数 是偶函数，
所以“函数 的图象关于直线 对称”是“函数 是偶函数”的充分条件；
若函数 是偶函数，令 ，则 是偶函数，
所以 ，又 ，所以 ，
即 ，所以 的图象关于直线 对称，
所以“函数 的图象关于直线 对称”是“函数 是偶函数”的必要条件.
综上可知，“函数 的图象关于直线 对称”是“函数 是偶函数”的充要条件，
故选：C.
10．（2025·江西·二模）“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点位置求出参数范围，再结合充分不必要条件的概念求解即可.
【详解】若椭圆 的焦点在y轴，则 ，解得 .
对于A，由 能推出 ，反之不成立，符合题意；
对于B，由 不能推出 ，不符合题意；
对于C，显然为充要条件，不符合题意；
对于D，由 不能推出 ，不符合题意；
故选：A
11．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合 ， 则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解出集合 与 ，然后根据集合的运算得出结果.
【详解】因为 ，所以 或 ，
又 ，所以 ，
所以 或 ，则 .
故选：B．
12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解一元二次不等式求解集合 ，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为 ，
，所以 ，所以 .
故选：C.
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）设集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数值域求出集合 ，解绝对值不等式求出集合 ，由交集定义求得结果.【详解】因为 ，所以 ，
进而 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由集合的交集定义可得 ，
故选：C.
14．（2025·江西萍乡·三模）已知集合 ， ， ，若
集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合 有3个真子集可得 中有两个不同的元素，故求出 的范围后可得正确的选项.
【详解】因为 有3个真子集，所以 中有2个元素，故 中有两个元素，
故 且 ，则 ，
解得 且 .
故选：C.
15．（2025·陕西榆林·一模）已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意命题是假命题，则命题的否定是真命题，再利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为“ ，使 ”是假命题，
所以“ ，都有 ”是真命题．即 ，所以 ，
故选: .
16．（2025·北京门头沟·一模）“ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到
的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.
【详解】法一：由题意，联立方程 可得 ，
当 时，即 时，方程有一解，即只有一个公共点；
当 时， ，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线 与双曲线 只有一个公共点时， .
所以“ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线 过定点 ，双曲线的右顶点为 ，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线 平行时，直线与双曲线只有 交点.所以“ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
17．（2025高三·全国·专题练习）“存在 ，使得 ”是“ 为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可.
【详解】必要性：若 为等差数列，设其公差为 ，则 ，
故存在 ，使得 ，故满足必要性；
充分性：若存在 ，使得 ，
则 ，两式相减可得 ，
所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列 不一定是等差数列，
如 时，数列 ，故不满足充分性.
所以“存在 ，使得 ”是“ 为等差数列”的必要不充分条件，
故选：B
18．（2025·广东深圳·二模）在四边形 中，若 ，则“ ”是“四边形 是
正方形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据 ， 判断出四边形 的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断
即可.【详解】在四边形 中，若 ，则四边形 为平行四边形，
若 ，则平行四边形 为菱形，但不一定为正方形，
四边形 是正方形时，必有 ，即有 ，
故“ ”是“四边形 是正方形”的必要不充分条件.
故选：B.
19．（2025·湖北黄冈·二模）设 ，“曲线 为椭圆”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据 判断必要性是否成立，进而确定“曲线
为椭圆”与“ ”之间的条件关系.
【详解】若曲线 为椭圆，则椭圆的标准方程为 （ ）.
因为椭圆中分母须大于 ，所以 且 ，又因为 ，那么 且 ，所以由“曲线
为椭圆”可以推出“ ”，充分性成立；
当 时，比如 ， ，此时曲线方程为 ，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“
”不能推出“曲线 为椭圆”，必要性不成立；
所以“曲线 为椭圆”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
20．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）若非空集合 ， 满足条件：
① ；②若 ， ，则 .则称 为集合 的划分.
下列命题正确的是（ ）
A．若 为集合 的划分，则
B．若 为集合 的划分，则
C．若 ， ，则 为 的划分
D．若 存在 划分， ，则
【答案】AD
【分析】根据题意中集合的划分定义对每个选项逐一分析判断即可.
【详解】对于选项AB：
在集合划分定义中并未要求 ，但若存在 ，
则 矛盾，故 必然成立.
对于选项C：
集合 为 ，而集合 为 ，此时 ，
不符合集合划分的定义，所以选项C错误.
对于选项D：
若 ，则 ，无法划分；
若 ，则 ，无法划分；
所以D正确.
故选：AD.
