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专题01 集合与常用逻辑用语、
复数与平面向量、计数原理与概率统计
一、集合
1．（2025·湖北·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.
【详解】集合
，则
，
所以
.
故选：B
1
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2．（2025·湖北·一模）已知集合
，
为自然数集，则下列表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】算出集合
，从而可判断各项的正误.
【详解】
，故
，故A 正确且B 正确，
不是
中的元素，故
错误，故C 错误.
因为
，故
错误，故D 错误.
故选：AB．
【点睛】本题集合的计算、元素与集合、集合与集合的关系判断，此类问题，根据定义判断即可，本题属
于基础题．
3．（2025·湖北武汉·一模）已知集合
，
，则
的子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接计算交集，进而可确定其子集的个数.
【详解】由已知
，
，
则
，
则
子集的个数为
个，
故选：B.
4．（2025·湖北鄂州·一模）已知全集
，
，
，则
可以表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出集合
，利用补集和交集的定义可得结果.
【详解】因为全集
，
，
，
2
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则、
，且
，
，且
.
故选：B.
二、常用逻辑用语
5．（2025·湖北·一模）若数列
各项均为正数，则“
为等比数列”是“
为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断.
【详解】数列
中，
，
数列
为等比数列，令其公比为
，则
，
，
为常数，因此数列
为等差数列；
反之，
为等差数列，令其公差为
，则
，即
为常数，
因此数列
为等比数列，
所以“
为等比数列”是“
为等差数列”的充要条件.
故选：C
三、复数
6．（2025·湖北武汉·一模）
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案.
3
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【详解】
，
其在复平面内所对应的点的坐标为
，位于第四象限.
故选：D.
7．（2025·湖北·一模）设复数
满足
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案.
【详解】
.
故选：A.
8．（2025·湖北黄冈·一模）
，
，则
【答案】
【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简
，再根据复数相等的充要条件求出
、
的值，即可得解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，则
.
故答案为：
四、平面向量
9．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形
中，
，若
为
边上靠近
的三等分点，且
，则
.
【答案】
【分析】结合图形，根据平面向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解.
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【详解】如图所示：
因为在梯形
中，
，若
为
边上靠近
的三等分点，
所以
,
，
所以
.
又因为
，
则
.
故答案为：
10．（2025·湖北·一模）等比数列
中，
，
，
满足：
（P 点在直线
上），
则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题意得
，根据等比数列的性质有
，结合重要不等式即可求解.
【详解】等比数列
中，
，有
，
，
满足：
（P 点在直线
上），则有
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
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又
，有
，所以
的最大值为
.
故答案为：
.
11．（2025·湖北鄂州·一模）（多选）已知非零平面向量
，
，，
满足：
，
，且
，记
，
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用数形结合思想，使用余弦定理得到表达
，转化为二次方程有实数解的问题，利用判
别式分别求得其范围，进而得解.
【详解】由已知条件可绘制如图所示得图形
，
为
中点，
，
，
，
不妨设
，
，
，或
，
可统一写为
，即
有实数根，
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判别式大于等于0，通过代入和化简，得到关于
的四次方程：
,
解得
的取值范围为
，
的最小值为
，最大值为
，对应选项A 和B 正确;
同理得
的取值范围是
，
通过以上分析，可以推导出
的取值范围为：
，
故选：ABD
五、集合新定义解答题
12．（2025·湖北鄂州·一模）集合A 为实数构成的有限集，记
为集合A 的元素个数，
为集合A 中所
有元素之和，若对于集合
，存在两两互不相交的集合
，
，
，
，使
得
，且
，
，则称集合
为X
的一个k 分隔.
(1)写出集合
的一个3 分隔；
(2)证明：
存在一个3 分隔；
(3)若
，求集合
存在k 分隔的概率.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
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【分析】（1）应用新定义运算求解；
（2）应用新定义运算证明；
（3）先证存在k 分隔的充要条件为k 为大于1 的奇数，再根据
有1012 个数符合题意，最后应
用古典概型计算即可.
【详解】（1）记
，
，
，则
为集合X 的一个3 分隔.
（2）取
，
.
经检验，
为集合X 的一个3 分隔，即证.
（3）要使
存在k 分隔，必有
.
一方面，由
且
知
.
又因为
为正整数，故k 为奇数.
另一方面，不妨设
，我们证明此时
存在k 分隔.
设
，
，则
.
先取第一列：令
，
，
，
，
为满足
存在k 分隔，则
，
（
，2，
）.
且
.注意到一组等式：
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在这组等式中，第一列是1，2，
，
的排列，第二列是
，
，
，
的排列.
第三列中前
行为
，
，
，
中的奇数，后
行是
，
，
，
中的偶数，
合起来是
的排列，从而我们可以找到所需的
，
.
即取
，
，
，
；
，
，
，
.
这样构造出的
为集合
的k 分隔.
综上，
存在k 分隔的充要条件为k 为大于1 的奇数，而
有1012 个数符合题意，
故集合
存在k 分隔的概率为
.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是对集合的新定义的理解应用.
六、排列组合与二项式定理
13．（2025·湖北·一模）将两个1，两个3，一个5 排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作
答）
【答案】
【分析】先给两个1 找两个位置，再给两个3 找两个位置，最后剩的一个位置排5 即可.
【详解】第一步选2 个空给两个1 有
种选法，
第二步选剩下的3 个空给两个3 有
种选法，
最后剩一个空排5 即可，
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根据分步乘法计数原理有
种排法，
故答案为：
.
14．（2025·湖北·一模）（多选）在二项式
的展开式中，前3 项的系数成等差数列，则下列结
论中正确的是（ ）
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．常数项为
D．展开式中系数最大项为第3 项和第4 项
【答案】ABD
【分析】求出展开式的通项，根据题意可得
，即可判断A；根据二项式定理的性质即可
判断B；令
的指数等于零，即可判断C；理由不等式法即可判断D.
【详解】
展开式的通项为
，
则前3 项的系数分别为
，
对于A，由题意可得
，
即
，解得
或
（舍去），
所以
，故A 正确；
对于B，
展开式中所有奇数项的二项式系数和为
，故B 正确；
对于C，
展开式的通项为
，
令
，则
，
所以
展开式中常数项为
，故C 错误；
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对于D，设展开式中第
项的系数最大项，
则有
，解得
或
，
所以展开式中系数最大项为第3 项和第4 项，故D 正确.
故选：ABD.
15．（2025·湖北黄冈·一模）下列命题错误的是（ ）
A．当
时，函数
的图象是一条直线
B．已知函数
在R 上满足
，则曲
在点
处的切线方程是
C．30030 能被64 个不同偶数整除
D．在
的二项展开式中，则第3 项的二项式系数为10
【答案】ACD
【分析】由幂函数图象的特点可得A 错误；把
换为
可得
，再代入
化简可得
，再根据导数的几何意义求解可得B 正确；由加法原理结
合组合数的计算可得C 错误；先将原式变形为
，再由二项式系数的计算可得D 错误.
【详解】对于A，当
时，函数
的图象是一条除去点
的直线
，故A 错误；
对于B，由
，有
，
即
，
将
代入
，
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有
，
故
，
，
所以
在
处的切线斜率为
，
故曲线
在点
处的切线方程是
，即
，故B 正确；
对于C，因为
，所以30030 的任一偶因数必含2 这个因数，
另含3,5,7,11,13 中的若干个因数，
在3,5,7,11,13 共五个因数中取
个数做因数，有
种方法，
根据加法原理，30030 的所有偶因数有
个，故C 错误；
对于D，
，
所以第三项的二项式系数为
，故D 错误.
故选：ACD
16．（2025·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十
进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，
，用八进制表示159 这个数就是237.现用八进制表示十进制的
，则这个八进制数的
最后一位为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
【答案】D
【分析】由
，通过二项式定理展开即可求解.
【详解】
，
而
，故最后一位数为7，
故选：D.
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七、概率统计
17．（2025·湖北鄂州·一模）随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深，某学校为了
解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取了100 名学生进行了测试，将他们的成绩适当分组后，画出的频
率分布直方图如下图所示，则下列数据一定不位于区间
内的是（ ）
A．众数
B．第70 百分位数
C．中位数
D．平均数
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图分别求出众数、第70 百分位数、中位数以及平均数，由此即可得解.
【详解】对于A，众数为
；
对于BC，
，
设中位数、第70 百分位数分别为
，
注意到
，
设
，
解得
；
对于D，设平均数为
，则
.
故选：B.
18．（2025·湖北武汉·一模）已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布
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.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2 件，则这2 件产品的质量指标分别在
）和
的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若
服从正态分布
，则
，
.
A．0.57
B．0.75
C．0.80
D．0.84
【答案】C
【分析】由正太分布概率计算及概率乘法公式即可求解.
【详解】
，
，
故所求概率
，
故选：C.
19．（2025·湖北鄂州·一模）已知复数
，若
，则
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
可得出
，求出直线
与圆
的交点坐标，可知满足题设
条件的点位于图中的弓形区域，计算出弓形区域的面积，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由
可得
，即
，如下图所示：
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圆
的圆心为
，半径为
，
联立
可得
或
，
所以，直线
交圆
于原点
、
，
易知
轴，则
，
则图中阴影部分区域（即弓形区域）的面积为
，
由题意可知，满足题设的点
位于阴影部分区域，
由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为
.
故选：A.
20．（2025·湖北鄂州·一模）一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率
向左或向右跳动1 个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4 次后染上颜色的点数个数X 的期
望
.
【答案】
【分析】由题意分析蚂蚱跳动4 次后染色的点数，根据独立事件的概率公式求解.
【详解】蚂蚱跳动4 次后染上颜色的点数个数X 的可能取值为
，
表示蚂蚱在
或者
之间来回跳动，
则
；
表示蚂蚱由
向右最远跳到
，
可以为“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共种，
由对称性知由
向左最远跳到
，也有种，
由
向左最远跳到
，最右跳到，可能为“左右右左”，“右左左右”有
种，
故一共有种，
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则
；
表示蚂蚱跳动为“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共
种，
则
；
表示蚂蚱跳动为“右右右右”，“左左左左”，共
种，
则
；
则
，
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是开始在
处也是一个点，因为不能原地跳动，因此
的最小值为
.
21．（2025·湖北武汉·一模）19 世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一
个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量
的分布未知的情况下，对事件
做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量
具有数学期望
，方差
，则
对任意正数
，不等式
成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部
分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示：
作物类别
数量
作物平均高度/
作物高度的方差
雄性作物
50
30
256
雌性作物
50
20
361
由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的
概率为0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25
B．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5
C．为了保证下一次种植实验中至少有
的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3 且小于
0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27 株
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D．经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm 及以上的频率为0.8，若种植20000 株此类作
物，则作物存活16000 株的概率最大
【答案】ACD
【分析】由平均值、方差的计算公式可判断AB，由二项分布结合切比雪夫不等式可判断CD.
【详解】所有作物的高度的平均值为
，故A 正确；
所有作物的高度的方差为
，故B 错误；
设作物高度达到预定达标高度的数量为
，依题意知
，则
，
若
，则
，
由切比雪夫不等式可得
，又
，
解得
，即最少种植27 株，故C 正确；
设存活
株的概率最大，
，则
，
，
，
则
，
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解得
，
，
解得
.又
，所以当
时，
最大，故D 正确.
故选：ACD.
22．（2025·湖北武汉·一模）为了了解某地
岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行
调查，所得数据统计如下表所示：
工资超过3500
工资不超过3500
合计
男性居民
200
180
女性居民
280
240
合计
(1)完善上述表格并依据小概率值
的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？
(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3 人，求至少2 人工资超过3500 的概率.
附：
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)表格见解析，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性
(2)
.
【分析】（1）根据
列联表求解，然后根据列联表，求得
值，再与临界值表对照下结论；
（2）先求得工资超过3500 的概率为
，再利用独立重复试验的概率求解.
【详解】（1）完善表格如下表所示：
工资超过3500
工资不超过3500
合计
男性居民
200
180
380
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女性居民
280
240
520
合计
480
420
900
零假设：依据小概率值
的独立性检验，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性，
则
，
故依据小概率值
的独立性检验，假设成立，
即不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性.
（2）由题意知：工资超过3500 的概率为
.
记至少2 人工资超过3500 为事件
，
所以
.
23．（2025·湖北·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的
回答被采纳的概率为
，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
.已知输入的问题
表达不清晰的概率为
.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3 个问题（3 个问题相互独立），设
表示智能客服的回答被采纳的次数.求
的分
布列、期望及方差.
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析，期望为
，方差为
.
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解.
（2）求出
的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差.
【详解】（1）设
“智能客服的回答被采纳”，
“输入的问题表达不清晰”，
依题意，
，
，
因此
，
所以智能客服的回答被采纳的概率为
.
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（2）依题意，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
数学期望
；
.
24．（2025·湖北·一模）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B 两个信封中，A 信封中
有6 道选择题和3 道论述题，B 信封中有3 道选择题和2 道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，
作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.
(1)若同学甲从B 信封中抽取了2 题，求第2 题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从A 信封中抽取了2 题，答题结束后误将题目放回了B 信封，接着同学丙从B 信封中抽取题目
作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A 信封中取出的是2 个论述题的概率.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设出事件，利用全概率公式求解即可；
（2）设出事件A，
，
，
并求出对应的概率，利用全概率公式求出
，然后利用条件概率公式
求解即可.
【详解】（1）设事件
表示“甲第i 次从B 信封中取到论述题”，
，2，
则
，
，
，
.
由全概率公式得第2 题抽到论述题的概率
.
（2）设事件A 为“丙从B 信封中取出的第一个题是选择题”，
20
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事件
为“乙从A 信封中取出2 个选择题”，
事件
为“乙从A 信封中取出1 个选择题和1 个论述题”，
事件
为“乙从A 信封中取出2 个论述题”，
则
，
，
两两互斥且
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
故所求概率
.
21
