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第05讲 空间向量与立体几何
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
(或平行向量)
共面向量 平行于同一个平面的向量
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a
与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(3)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．
1 2 3 1 2 3向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab ＋ ab ＋ ab
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b
1 1 2 2 3 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0
1 1 2 2 3 3
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4．空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l
的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)
位置关系 向量表示
l∥l n∥n n＝λn
1 2 1 2 1 2
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l
1
⊥l
2
n
1
⊥n 2⇔n
1
·n
2
＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法 l∥α n⊥m⇔n·m＝0
向量为m l⊥α n∥m⇔n＝λm
α∥β n∥m n＝λm
⇔
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m n·m＝0
⇔
⇔
一．空间向量的线性运算
例1．（1）四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若
，则 等于（ ）A． B．1 C． D．2
（2）已知四面体O－ABC，G 是 ABC的重心，G是OG 上一点，且OG＝3GG ，若
1 1 1
△
，则 为（ ）
A． B． C． D．
（3）在斜三棱柱 中， 的中点为 ， ，则 可用 表示
为_______________．
（4）如图，已知空间四边形ABCD中， ， ，对角线AC，BD的中点分别为
E，F，则 ＝________. (用向量 表示)
【复习指导】：用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
二．共线定理的应用
例2．（1）已知空间向量 ， ，（其中x、 ），如果 ，则
（ ）A．1 B．2 C．-2 D．-1
（2）对于空间任意两个非零向量 ， ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
（3）（多选）若空间中任意四点O，A，B，P满足 =m +n ，其中m+n=1，则结论正确的有
（ ）
A．P∈直线AB B．P∉直线AB
C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线
【复习指导】：证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB且同过点P MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB
y)OB
（4）(多选)下列各组向量中，是平行向量的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
三．空间向量基本定理的应用
例3．（1）若空间向量 共面，则实数 __________.（2）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若 ，则μ＝________；存在三个不为
0的实数λ，m，n，使 ，那么λ＋m＋n的值为________．
（3）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC)．
(i)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
(ii)判断点M是否在平面ABC内．
【复习指导】：证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)MP＝xMA＋yMB；
(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
(3)对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；
(4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．
（4）如图所示，已知斜三棱柱ABC－ABC ，点M，N分别在AC 和BC上，且满足AM＝kAC1，
1 1 1 1
BN＝kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
四．空间向量数量积及其应用
例4．（1）（多选）正方体 的棱长为1，体对角线 与 ，相交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
（2）空间四边形 中， ， ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
（3）如图，在平行六面体 中，底面是边长为1的正方形，若 ，且
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
（4）已知空间中非零向量 ， ，且 ， ， ，则 的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
（54）已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
（6）（多选）已知四面体 的所有棱长都是 分别是棱 的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【复习指导】： (1)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹
角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
(2)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(3)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．
(4)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
五．向量法证明平行、垂直
例5．（1）在直三棱柱ABCABC 中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC ＝4，点E在线段BB 上，且EB＝1，
1 1 1 1 1 1
D，F，G分别为CC ，C B，C A 的中点．
1 1 1 1 1
(i)证明：BD⊥平面ABD；
1
(ii)证明：平面EGF∥平面ABD.
（2）在三棱台ABC－ABC 中，C C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C C=2AB，O为AC的中点，
1 1 1 1 1 1 1
P是C C的中点．证明：平面ABC⊥平面POB.
1 1（3）如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，
已知 ．
(i)求证：AP⊥BC；
(ii)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC．
【复习指导】：(1)利用向量证明平行问题
①线线平行：方向向量平行．
②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
③面面平行：两平面的法向量平行．
(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问题 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直1．如图，在 中，点 分别是棱 的中点，则 化简的结果是
（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量 、 、 共面即它们所在直线共面
C．若 ， ，则 与 所在直线平行
D．若 ，则存在唯一的实数 ，使
3．已知向量 ， 不共线， ， ， ，则（ ）
A． 与 共线 B． 与 共线
C． ， ， ， 四点不共面 D． ， ， ， 四点共面
4．如图，在四棱锥 中， 平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形， ， ，
， ， 为等腰直角三角形，点F在棱 上，若点P为DB的中点，且 平面，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在正四面体 中，点 ， 分别是 ， 的中点，则 与 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．已知 三点不共线， 是平面 外任意一点，若由 确定的一点 与
三点共面，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足 ，
，则x＋3y等于（ ）
A． B． C． D．
8．下面关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．若向量 平行，则 所在直线平行
B．若向量 所在直线是异面直线，则 不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量 ， 不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量 ， ， 不共面
9．如图所示，在平行六面体 中，M为 与 的交点.若 ， ， ，
则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知四棱柱 的体积为 ，四边形 是平行四边形，点 在平面 内，
且 ，则三棱锥 与三棱锥 的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，三棱锥 中， 和 都是等边三角形， ， ， 为棱 上一点，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，设 ，则 的值为（ ）
1 1 1 1
A．1 B．0 C．-1 D．-2
13．在三棱锥 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
14．如图，在三棱锥 中， 两两垂直， 为 的中点，则
的值为（ ）
A．1 B． C． D．15．若 ， ，则 等于（ ）
A．5 B． C．7 D．
16．已知 ， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在平行六面体 中， ， ， ，
则 （ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
18．已知正四面体 的棱长为1，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．四面体 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．已知长方体 ，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）A． B． C． D．
21．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，
是底面圆的内接正三角形．则 （ ）
A． B． C． D．
22．已知 为标准正交基底， ，则 在 方向上的投影数量为（ ）
A．1 B．－1 C． D．－
23．已知正四面体 的棱长为 ，点 ， 分别是 ， 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．24．如图，在正四棱柱 中， 是底面 的中心， 分别是 的中点，则下列
结论正确的是（ ）
A． // B．
C． //平面 D． 平面
25．（多选）已知向量 与 共线，则实数λ的值可能是（ ）
A．－3 B．2 C． D．0
26．（多选）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有
B．任意向量 ， ， 满足C．若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 四点共面
D．已知向量 ， ，若 ，则 为锐角
28．（多选）已知空间向量 ，则（ ）
A． B． 是共面向量
C． D．
29．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．设 是两个空间向量，则 一定共面
B．设 是三个空间向量，则 一定不共面
C．设 是两个空间向量，则
D．设 是三个空间向量，则
30．（多选）设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
31．在四面体 中，已知 为线段 上的点， 为线段 上的点，且 ，
若 ，则 的值为___________.32．已知 、 分别是四面体 的棱 、 的中点，点 在线段 上，且 ，设向量
， ， ，则 ______(用 表示)
33．正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点， ， ，则 ______.
34．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满
足 ， ，若点G在线段MN上，且满足 ，若向量 满足
，则 ______．
35．在四面体 中，棱 ， ， 两两垂直，且 ， ， ， 为 的重心，
则 ______．
36．已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于1，点 ， 分别是 ， 的中点，则
的值为_________.37．如图，已知正方体 的棱长为1， 为棱 上的动点，则向量 在向量 方向上
的投影数量的取值范围为______．
38．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐
标是________．
39．如图，在底面 为菱形的平行六面体 中， 分别在棱 上，且
．
(1)用向量 表示向量 ；
(2)求证： 共面.
40．如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱 底面ABCD，E为棱PC的中点，，连接DF、DE，其中Q为DE的中点， ， ， ．
(1)请用 ， ， ，表示向量 ；
(2) ， ，求 的值．
41．如图，在平行六面体 中， ， ， ， ，
．求：
(1)
(2) 的长．
42．如图，已知平行六面体 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ，，设 ， ， ．
(1)用 ， ， 表示 ，并求 ；
(2)求 ．
43．如图，已知 是正方形 所在平面外一点， 分别是 上一点，且
，求证： 平面 .
44．如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣ABC D 中，M，N，E，F分别是棱AD，AB，DC ，BC 的
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
中点，求证：平面 ∥平面 .45．如图，在直三棱柱 中， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ．
46．如图，在直三棱柱 中， ， ，D为AB的中点．试用向量的方法证
明：
(1) ；(2) 平面 ．
47．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
点 为棱 的中点.证明：
(1) ；
(2) 平面 ；
(3)平面 ⊥平面 .
48．如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为 的正方形， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；（2）在线段 上是否存在点 ，使得 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由
49．如图，在正三棱柱 （侧棱垂直于底面，且底面三角形 是等边三角形）中， ，
、 、 分别是 ， ， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，也请说明理由．
50．如图，棱柱ABCD－ABC D 的所有棱长都等于2，∠ABC和∠AAC均为60°，平面AAC C⊥平面
1 1 1 1 1 1 1
ABCD.
(1)求证：BD⊥ AA；
1
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
