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专题02 19 题新结构定义题（函数与导数部分）(典型题型归类训练)
1．（2024·广东茂名·统考一模）若函数
在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称
为
上的“
类函数”.
(1)若
，判断
是否为
上的“3 类函数”；
(2)若
为
上的“2 类函数”，求实数
的取值范围；
(3)若
为
上的“2 类函数”，且
，证明：
，
，
.
【答案】(1)
是
上的“3 类函数”，理由见详解.
(2)
(3)证明过程见详解.
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明
即可；
（2）由已知条件转化为对于任意
，都有
，
，只需
且
，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分
和
两种情况进行证明，
，用放缩法
进行证明即可.
【详解】（1）对于任意不同的
，
有
，
，所以
，
，
所以
是
上的“3 类函数”.
（2）因为
，
由题意知，对于任意不同的
，都有
，
不妨设
，则
，
故
且
，
1
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故
为
上的增函数，
为
上的减函数，
故任意
，都有
，
由
可转化为
，令
，只需
，令
，
在
单调递减，
所以
，
，故
在
单调递减，
，
由
可转化为
，令
，只需
，令
，
在
单调递减，
且
，
，所以
使
，即
，
即
，
当
时，
，
，故
在
单调递增，
当
时，
，
，故
在
单调递减，
，
故
.
（3）因为
为
上的“2 类函数”，所以
，
不妨设
，
当
时，
；
当
时，因为
，
，
综上所述，
，
，
.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数
恒成立
或
恒成立
；②数形结合（
的图象在
上方即可）；③讨论最值
或
2
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恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429 年-500 年）计
算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540 年-1610 年）用一生精力
计算出了圆周率的35 位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用
计算器得出函数
的零点
的近似值，为了实际应用，本题中取
的值为-0.57．
哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线
，
其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为
，其在
处的切线为
，
现计划再建一条总干线
，其中m 为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出
的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线
上的点不在直线
的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线
，计划将仓库中直线
与
之间的部分设为隔离区，两条运
货总干线
、
分别在各自的区域内，即曲线
上的点不能越过直线
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
，证明见解析.
(2)
【分析】（1）求得
，得到
且
，结合导数的几何意义，求得
的直线方程
，令
，利用导数求得函数
的单调性和最
大值，得到
，即可得到结论；
（2）令
，求得
，得到函数
的
单调性和最小值
，令
，化简得到
，结合
和
，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，可得
，
则
且
，
所以
的方程为
，即
因为函数
的零点
的近似值，即
，所以
，
3
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可得
又因为
，所以
的直线方程为
令
其中
，则
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，函数
取得极大值，也为最大值
，即
，
所以在直角坐标系中，智能运货总干线
上的点不在直线
的上方.
（2）解：由曲线
且
，
令
，
要使得两条运货总干线
、
分别在各自的区域内，则满足
恒成立，
又由
，令
，可得
，即
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
当
时，函数
取得最小值，
最小值为
，
令
，即
，
即
，
即
，
因为
，可得
，
又因为函数
的零点
的近似值，即
，所以
，
则
，
4
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又由
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：应用函数知识求解实际应用问题的方法：
1、正确地将实际问题转化为函数模型，这是解答应用问题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、
归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．
2、用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．
3、把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．
3．（2023 上·安徽·高一校联考阶段练习）若
在
上的值域是
的子集，则
称函数
在
上是封闭的.
(1)若
在
上是封闭的，求实数
的取值范围；
(2)若
在
上是封闭的，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在
上的值域，利用分类讨论思想可得结果；
（2）根据新的定义，即求二次函数在
上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.
【详解】（1）函数
开口向上，对称轴是
，
当
时，
，
因为
在
上是封闭的，
则有
，解得
；
当
时，
在
上为减函数，则有
，解得
，又
，故无解；
综上，
的取值范围是
（2）函数
开口向上，对称轴是
，
当
时，
，
5
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因为
在
上是封闭的，则有
，解得
，
依题意有
，解得
，
所以
，
当
时，
在
上为减函数，则有
，
所以
，即
（舍去）
综上，的最大值是
.
4．（2023 上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈
德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在
上，
．
(1)请用描述法写出满足方程
的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式
；
(3)探究是否存在非零实数
，使得
为偶函数？若存在，求k，b 应满足的条件；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
为大于1 的正整数
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得
，则
关于
对称，即
，则
为偶函数，即可得解.
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【详解】（1）依题意，
，
当
时，
，则方程
无解，
当
为
内的无理数时，
，则方程
无解，
当
(
为既约真分数)时，则
，
为大于1 的正整数，
则由方程
，解得
，
为大于1 的正整数，
综上，方程
的解集为
为大于1 的正整数.
（2）若
或
或
为
内无理数时，
，
而
，此时
，
若
(
为既约真分数)，则
，
为大于1 的正整数，
由
，得
，解得
，
又因为
(
为既约真分数)，所以
，
综上，不等式
的解为
.
（3）存在非零实数
，使得
为偶函数，即
为偶函数，证明如下：
当
或
时，有
成立，满足
，
当
为
内的无理数时，
也为
内的无理数，所以
，满足
，
当
(
为既约真分数)，则
为既约真分数，
所以
，满足
，
综上，对任意
，都有
，
所以
关于
对称，即
，则
为偶函数，
所以，存在非零实数
，使得
为偶函数.
5．（2023 上·贵州贵阳·高二统考期中）阅读材料：
差分和差商
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古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而
在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根
究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u 和后来的一
个时刻v 不同，我们就说他在时刻u 和v 之间动了，反过来，如果他在任意时刻
有相同的位置，就
说它在u 到v 这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概
念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函
数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不
出变化的.设函数
在实数集上有定义.为了研究
的变化规律，需要考虑它在中两点处的函
数值的差.定义（差分和差商）称
为函数
从
到的差分，这里若无特别说明，均假定
.通常记
叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值
叫做
在
和
的差商.显然，当
和位置交换时，差分变号，差商不变.随着
所描述的对象不同，差商可以是平均
速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当
时，它是
在区间
上
的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦
然；某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.
回答问题：
(1)计算一次函数
的差商.
(2)请通过计算差商研究函数
的增减性.
【答案】(1)
(2)函数
在
和
递减，在
递增
【分析】（1）由材料根据差商定义式
求解即可；
（2）求解差商，分区间讨论差商符号，根据材料即可判断单调性.
【详解】（1）一次函数
的定义域内任取
，且
，
差商为
，
一次函数
的差商处处为
；
（2）函数
的定义域为
，设
，
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计算
在
的差商为
，
当
时，
，
从而
，故函数
在
递减；
当
，
，
从而
，故函数
在
递减；
当
时，则
，
从而
，故函数
在
递增；
综上所述，函数
在
和
递减，在
递增.
6．（2023 下·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、
概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函
数
，如果对于其定义域
中任意给定的实数
，都有
，并且
，就称函数
为倒函数．
(1)已知
,
,判断
和
是不是倒函数，并说明理由；
(2)若
是
上的倒函数，其函数值恒大于0，且在
上是严格增函数．记
，证
明：
是
的充要条件．
【答案】(1)
是倒函数，
不是倒函数；理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案；
（2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可,
【详解】（1）对于
，定义域为
，显然定义域
中任意实数
有
成立，又
，
是倒函数，
对于
，定义域为
，
故当
时，
，不符合倒函数的定义，
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所以
不是倒函数；
（2）因为
，又
是
上的倒函数，
所以
，所以
，
故
，
充分性：当
时，
且
，又
在
上是严格增函数，
所以
，
，
所以
，
，故
.
必要性：当
时，
有
，
又
恒大于0，所以
，
因为
，所以
，
因为
在
上是严格增函数．所以
，即有
成立.
综上所述：
是
的充要条件．
7．（2023 上·江苏连云港·高一校考期末）对于定义域为
的函数，如果存在区间
，同时满足下列
两个条件：
①
在区间
上是单调的；
②当定义域是
时，
的值域也是
，则称
是函数
的一个“黄金区间”.
(1)区间
是函数
的黄金区间，求
，
的值
(2)如果
是函数
的一个“黄金区间”，求
的最大值
【答案】(1)
，
(2)
【分析】(1)根据函数增减性，判断求出
，
;
(2)
在
和
上均为增函数，将其转化为
是方程
的两
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个同号的实数根，结合二次函数与韦达定理求解问题.
【详解】（1）因为区间
是函数
的黄金区间，
是增函数，
所以
，解得
；
（2）由
在
和
上均为增函数，
已知
在“黄金区间”
上单调，
所以
或
，且
在
上为单调递增，
则同理可得
，
即
是方程
的两个同号的实数根，
等价于方程
有两个同号的实数根，
注意到
，则只要
所以
或
，
而由韦达定理知
，
所以
，
其中
或
，
所以当
时，
取得最大值
.
8．（2022 上·江苏苏州·高一统考期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链
线.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为
，其中为参数.当
时，该方程就是
双曲余弦函数
，类似的我们有双曲正弦函数
.
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(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；
①
；
②
；
③
.
(2)求证：
，
.
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数
的最小值为
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令
，利用二次函数的基本性质可求得函数
的最小值；
（2）
，将所证不等式等价转化为
，分
、
两种情
况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立.
【详解】（1）证明：选①，
；
选②，
；
选③，
.
，令
，
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因为函数
、
均为
上的增函数，故函数
也为
上的增函数，
故
，则
，所以
，
所以
，当且仅当
时取“
”，
所以
的最小值为
.
（2）证明：
，
，
当
时，
，
，所以
，
所以
，所以
成立；
当
时，则
，且正弦函数
在
上为增函数，
，所以
，
，
所以
成立，
综上，
，
.
13
