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专题02 常用逻辑用语综合归类
目录
题型一：命题概念及命题真假.............................................................................................................................................1
题型二：充分不必要条件.....................................................................................................................................................3
题型三：充分条件求参.........................................................................................................................................................5
题型四：必要不充分条件.....................................................................................................................................................7
题型五：必要条件求参.........................................................................................................................................................9
题型六：充要条件...............................................................................................................................................................11
题型七：充要条件求参型...................................................................................................................................................13
题型八：“地图型”条件的判定.......................................................................................................................................14
题型九：充要条件综合应用...............................................................................................................................................16
题型十：命题的否定...........................................................................................................................................................21
题型十一：全称与特称命题真假求参...............................................................................................................................22
题型十二：新定义型简易逻辑压轴题...............................................................................................................................24
题型一：命题概念及命题真假
1．（23-24 高三·上海·模拟）已知命题：“非空集合
的元素都是集合
的元素”是假命题，给出下列命
题，其中真命题的个数是（ ）
①
中的元素都不是
的元素；②
中有不属于
的元素；
③
中有
的元素；④
中的元素不都是
的元素.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由题意可得集合
不是
的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可.
【详解】根据命题"非空集合
的元素都是集合
的元素"是假命题，可得
不是
的子集
对于①，集合
虽然不是所有元素都在
中，但有可能有属于
的元素，因此①是假命题；
对于②，因为
不是
的子集，所以必定有不属于
的元素，故②是真命题；同理不能确定
有没有
的
元素，故③是假命题；
对于④，由子集的定义可得，既然
不是
的子集，那么必定有一些不属于
的元素，因此
的元素不
都是
的元素，可得④是真命题.
故选：B.
2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A．
，且
B．
，使得
C．若x＞0，y＞0，则
判断命题的真假：
1. 直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断
2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。
1
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D．若
，则
的最小值为1
【答案】A
【分析】A 举反例，B 找一个满足条件的，C 基本不等式的应用，D 分离常数结合基本不等式.
【详解】解析：选A.对于A，
，且
对x＜0 时不成立；
对于B，当x＝1 时，x2＋1＝2，2x＝2，
成立，正确；
对于C，若x＞0，y＞0，则
，化为
，当且仅当
时取等号，C 正确；
对于D，
，因为
，所以
，所以
，当且仅当
，即
时取等号.故y 的最小值为1，D
正确.
故选：A
3．（23-24 高三·上海闵行·阶段练习）已知
是非空数集，如果对任意
，
，都有
，
，
则称
是封闭集.给出两个命题：命题
：若非空集合
，
是封闭集，则
是封闭集；命题
：若非
空集合
，
是封闭集，且
，则
是封闭集.则（ ）
A．命题
真命题
真
B．命题
真命题
假
C．命题
假命题
真
D．命题
假命题
假
【答案】C
【分析】对命题
举反例
说明即可；对于命题
：设
，由
是封闭集，可得
，从而判断为正确；
【详解】对命题
：令
，则集合
是封闭集，
故
，
但
，故
不是封闭集，故命题
假；
对于命题
：设
，则有
，又因为集合
是封闭集，
所以
，
同理可得
，
所以
，
所以
是封闭集，故命题
真；
故选：C
4．（22-23 高三·上海浦东新·模拟）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数
时，关于
，
，
的方程
没有正整数解”．经历百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证
明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）存在至少一组正整数组
是关于
，
，的方程
的解；
（2）关于
，
的方程
有正有理数解；
（3）关于
，
的方程
没有正有理数解；
（4）当整数
时关于
，
，的方程
有正实数解
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
2
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【分析】当整数
时方程没有正整数解，（1）错误，
，没有正有理数解，（2）错误，
（3）正确，当
，
满足条件，（4）正确，得到答案.
【详解】当整数
时，关于
，
，的方程
没有正整数解，故方程
没有正整数
解，（1）错误；
没有正整数解.即
，
，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；
方程
，当
，
满足条件，故有正实数解，（4）正确.
故选：C
5．（21-22 高三·上海·模拟）给出以下命题：①若
，且
，则
；②
，
是
的必要条件；③
，则
是
为纯虚数的充要条件；④
，
若
，则
或
．
其中正确的命题有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】①根据虚数不能比较大小判断；②举例
，结合实数能比较大小判断；③举例
判断；④直接利用复数的乘法判断.
【详解】①因为
都是虚数，而虚数不能比较大小，故错误；
②因为
，如
，满足
，由于虚数不能比较大小，所以推不出
，不充分，
当
，则
为实数，所以
，必要，故正确；
③因为
，如
，满足
，推不出
为纯虚数，故不充分，故错误；
④因为
，设
，则
，所以
，所以
，所以
，两式相加整理得：
，则
或
，所以
或
，故正确
故选：B
【点睛】本题主要考查有关复数的命题的真假判断，还考查了理解辨析，分析求解问题的能力，属于中档
题.
6.（2024 年新高考2）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A. p 和q 都是真命题
B.
和q 都是真命题
C. p 和
都是真命题
D.
和
都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
3
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题型二：充分不必要条件
1．（2023·江苏苏州·模拟）记方程①：
，方程②：
，方程③：
，
其中
是正实数.若
成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【分析】根据判别式以及充分条件的定义逐项分析.
【详解】由题意，
，其中
；
对于A，如果
有实根，则
，如果
有实根，
则
，
有可能大于等于
，
则
，即
有可能大于等于0，即由①②不能推出③无实根，A 不是充分条件；
对于B，有
，则必有
，即
，方程
无实根，
所以B 是③无实根的充分条件；
对于C，有
，
，方程③有实根，C 不是方程③无实根的充分条件；
对于D，有
，q 的值不确定，有可能小于
，也有可能大于
，
不能保证方程③无实根，例如
，则
，
，
所以D 不是方程③无实根的充分条件；
故选：B.
2．（2023·上海普陀·二模）设
为实数，则“
”的一个充分非必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与
推出关系即可.
【详解】由
，则
，可得
，可推出
，反向推不出，满足；
由
，则
，推不出
，反向可推出，不满足；
由
，则
或
或
，推不出
，反向可推出，不满足；
由
，则
，推不出
，反向可推出，不满足；
故选：A
3．（2023·江西·二模）记全集为U，
为p 的否定，
为q 的否定，且
的必要条件是q 的必要条件，则
（ ）
A．存在q 的必要条件是q 的充分条件
B．
C．任意q 的必要条件是
的必要条件
D．存在
的充分条件是p 的必要条件
【答案】D
【分析】利用反证法否定选项A；分别举反例否定选项B，C；举例验证选项D 正确.
充分条件的判断方法
(1)判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q 问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A，q 构成的集合为B，
A⊆B，则p 是q 的充分条件
4
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【详解】令
的必要条件为k，则q 的必要条件为k，即
，
选项A：若存在q 的必要条件是q 的充分条件，则
，则
.判断错误；
选项B：由下图可得
.判断错误；
选项C：如下图得，
，
则q 的必要条件m 不是
的必要条件.判断错误；
选项D：如下图得：
，
则存在
的充分条件是p 的必要条件.判断正确.
故选：D
4．（23-24 高三·湖南长沙·阶段练习）已知集合
，
，则
是
的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．充分必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合子集的定义进行判断即可.
【详解】当
时，
，显然
，
当
时，
也可以，
不一定成立，
所以
是
的充分条件，
故选：A
5．（23-24 高三·湖北襄阳·阶段练习）若集合
，
，则
的一个充
分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用简易逻辑的判定方法，集合之间的关系，不等式的性质即可得出答案.
【详解】因为集合
，
，
若
，利用数轴，可求
，
故
的一个充分不必要条件是
.
故选：D.
5
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题型三：充分条件求参
1．（23-24 高三·江苏连云港·开学考试）若不等式
的一个充分条件为
，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解
，得到
，再利用条件即可求出结果.
【详解】由
，得到
，
又不等式
的一个充分条件为
，所以
，
故选：C.
2．（21-22 高三·全国·课后作业）已知不等式
成立的充分条件是
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意知
，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得
，
所以
，且等号不能同时成立，解得
.
故选：D.
3．（19-20 高下·北京·开学考试）“
”是“方程
表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结
论能推条件，必要性成立，由此即可求解.
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
命题
对应集合
，命题
对应集合是
，则
是
的充分条件
，
是
的必要条件
，
是
的充要条件
，
是
的充分不必要条件
，
是
的必要不充分条
件
．
6
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【详解】若方程
表示双曲线，
则
或
，
所以“
”是“方程
表示双曲线”的充分而不必要条件.
故选：A
【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.
4．（20-21 高三·浙江绍兴·模拟）
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，则“
”是
“
为锐角”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】由题知:
,结合余弦定理,可推出
为锐角,反之无法
推出,因此“
”是“
为锐角”的充分非必要条件.
【详解】①在
中,若
,
则
,即
,
,
,
为锐角,
即“
”
“
为锐角”,
②若
为锐角,则
,即
,
无法推出
,
所以“
为锐角”
“
”,
综上所述:“
”是“
为锐角”的充分非必要条件,
故选:A.
【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.
5．（2023 高三·全国·专题练习）若关于x 的不等式
成立的充分条件是
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，
，解不等式
，得
，
由不等式
成立的充分条件是
，得
，
于是
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
7
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故选：D
题型四：必要不充分条件
1．（22-23 高三·四川绵阳·阶段练习）下列“若
, 则
”形式的命题中，
是
的必要条件的有（ ）个
① 若
是偶数, 则
是偶数
②若
，则方程
有实根
③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形
④若
，则
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可.
【详解】对于①，
是偶数，不能保证
，
均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；
对于②，若方程
，则需满足
，即
，可推出
，故②符合题意；
对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；
对于④，若
，则
，故④符合题意.
故选：D.
2．（2022·黑龙江·一模）已知a，
，则“
”的一个必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
否定ACD 选项，进而得答案.
【详解】解：对于A 选项，当
时，
，此时
，故
不是
的必要条件，故错误；
对于B 选项，当
时，
成立，反之，不成立，故
是
的必要条件，故正确；
对于C 选项，当
时，
，但此时
，故
不是
的必要条件，故错误；
对于D 选项，当
时，
，但此时
，故故
不是
的必要条件，故错误.
故选：B
3．（2021·江西·模拟预测）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要
条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】当
时，若
，不能推出
，不满足充分性；
当
，则
，有
，满足必要性；
所以“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B
4．（20-21 高三·全国·单元测试）已知
，
为任意实数，则
的必要不充分条件是（ ）
A．
且
B．
或
C．
且
D．
或
【答案】B
【分析】由充分必要条件的定义及特例即得.
【详解】由
且
可推出
，故A 错误；
充分不必要条件判断
(1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p
成立；若p⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q⇒p 为真，则p 是q 的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．
8
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若
或
不成立即
且
，则
，即
不成立，所以由
可得
或
；令
，满足
或
，
不成立即由
或
推不出
，故B
正确；
令
，
成立，显然
且
不成立，
或
也不成立，故CD 错误.
故选：B
5．（20-21 高三·浦东新·阶段练习）已知
，
，则
是
的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件.
【详解】解：对于命题
，可得到
，但是
与9 没有关系，
当命题
，整理
，
即得到
，故
是
的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于
题型五：必要条件求参
1．（22-23 高三·湖南衡阳·阶段练习）“方程
的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是
（ ）
A．“
”
B．“
”
C．“
”
D．“
”且“
”
【答案】C
【分析】由椭圆的定义可列出
满足的不等式组，从而求出
的取值范围，再结合选项选出必要不充分条
件．
【详解】因为方程
的曲线是椭圆，
则由椭圆的定义可知：
，解得：
且
，
所以“方程
的曲线是椭圆”的充要条件为“
且
”，
“
”推不出“
且
”，反之可推出，
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q
p
p 是q 的必要不充分条件
p
q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的必要条件
p
q 且q
p
9
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所以“
”是方程“
的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
所以“方程
的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“
”．
故选：C．
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、
运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
2．（23-24 高三·广西南宁·阶段练习）已知
：
，
：
，若
是
的必要
不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
是
的必要不充分条件转化为
，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设
，
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
，
所以
，解得
，
当
时，
，成立，
所以
.
故选：A.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合
，
，若
是
的必要不
充分条件，则实数
的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合
分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的
的值即可．
【详解】由题，
，
，
当
时，有
，符合题意；
当
时，有
，此时
，所以
或
，所以
.
综上，实数
的所有可能的取值组成的集合为
.
故选：A.
4．（23-24 高上·江苏南通·开学考试）设
，
，若
是
的必要不充分条件，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.
【详解】由
，解得
，
所以
，
又由
，解得
，
所以
，
10
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因为
是
的必要不充分条件，
所以集合
真包含于
，
所以
，解得
，
经检验，
时，
，满足题意；
时，
，满足题意；
所以实数
的取值范围是
.
故选:A.
5．（22-23 高三·全国·模拟）若“
”是“
”的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用必要不充分的定义进行判断求解即可
【详解】由“
”是“
”的必要不充分条件知：
是
的真子集，可得知
故选：C
题型六：充要条件
1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数
为虚数单位)，则“
”是“ 在复平面内对
应的点位于第四象限”的（ ）条件
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的几何意义，即可判断和选择.
【详解】
，则在复平面内对应的点为
；
点
位于第四象限的充要条件是
，即
；
故“
”是“ 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故选：A
2．（22-23 高三·全国·模拟）以下选项中，p 是q 的充要条件的是（ ）
A．p：
，q：
B．p：
，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：
，q：关于x 的方程
有唯一解
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等
式(组)进行求解．
11
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【详解】对于A，
，
，所以p 推不出q，q 推不出p，
所以p 是q 既不充分也不必要条件；
对于B，
；当
时，满足
，但q 推不出p，
故p 是q 的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p 是q 的必要不充分条件；
对于D，若
，则关于x 的方程
有唯一解；若关于x 的方程
有唯一解，则
，
所以
，故p 是q 的充分必要条件.
故选：D.
3．（2023 高三·全国·课后作业）关于x 的方程
，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是
；（2）方程有二异号实根的充要条件是
；（3）方程两根
均大于1 的充要条件是
.
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】对于（1），举反例
，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出
，
可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例
，即可判断.
【详解】对于（1），令
满足
，但
，方程无实数解，
（1）错；
对于（2），必要性：
方程
，有一正根和一负根，
.
充分性：由
可得
，所以
及
,
方程
有一正根和一负根，（2）对；
对于（3），令
，两根为
，满足
，但不符合方程两根均大于1，（3）
错.
故选：B
4．（22-23 高三·广东·阶段练习）已知数列
满足
，
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
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【分析】由题意可得
为等差数列，后据此判断
与
间关系可得答案.
【详解】设
首项为
，由
，可得
，
则可得
.
则
.故“
”是
“
”的充分必要条件.
故选：A
5．（2021 高三·全国·专题练习）设
为全集，
、
是
的子集，则“存在集合
使得
”是“
”的（ ）条件
A．必要不充分
B．充分不必要
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】首先通过集合子集的概念与集合的运算确定推导关系，然后再根据充要条件的定义进行判断即可.
【详解】首先由
，
，易知
，所以充分性成立；
，即存在集合
，使得
，
成立，所以必要性成立，因此“
，
”是“
”的充要条件.故选：C.
题型七：充要条件求参型
1．（21-22 高二上·江苏常州·模拟）“
，
”为真命题的充分必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将不等式转化为
，解得答案.
【详解】
，
，即
，即
.
故选：
.
【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.
2．（23-24 高三·贵州黔西·模拟）关于
的方程
有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由方程关于
的方程
有两个不相等的实数根，则满足
，
解得
或
，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是
或
.
故选：A.
3．（21-22 高三·辽宁铁岭·阶段练习）设集合
，若集合
冲要条件：
命题
对应集合
，命题
对应集合是
，则
是
的充分条件
，
是
的必要条件
，
是
的充要条件
，
是
的充分不必要条件
，
是
的必要不充分条件
．
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，
，则
的充要条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】先根据集合的运算，求得
，结合
，列出不等
式组，即可求解.
【详解】由题意，可得
，
因为
，所以
，解得
，反之亦成立，
所以
的充要条件是
．
故选：A．
4．（20-21 高三·上海崇明·阶段练习）函数
为偶函数的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】计算可得
，则函数
为偶函数的充要条件是
的定义域
不为空集，且关于原点对称，即不等式
有解，转化为
有解，通过
的最小值可得
的范
围.
【详解】解：
，
则
，
则函数
为偶函数的充要条件是
的定义域不为空集，且关于原点对称，
不等式
有解，即
有解，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查学生转化能力和分析能力，是基础题.
5．（22-23 高二上·江苏连云港·模拟）已知数列{an}的通项公式
，若“an＜an+1（n∈N*）”的充
要条件是“a＜M”，则M 的值等于（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】由数列的通项公式分别验算
成立的充分条件和必要条件可得答案.
【详解】解：数列{an}的通项公式
，
必要性：若
，则
恒成立，即
对任
意
恒成立，则
；
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充分性：当
时，
对任意
恒成立，
即
.
∴“
”的充要条件是“
”，
∴
的值等于
.
故选：C.
【知识点】本题主要考查充分条件、必要条件和数列的相关知识，考查学生的综合分析能力和数学计算能
力，属于中档题.
题型八：“地图型”条件的判定
1．（22-23 高三·上海浦东新·阶段练习）已知
是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条
件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②
是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必
要不充分条件；④r 是s 的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定
之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为
是的的充分不必要条件，所以
，推不出
，
因为
是的的充分条件，所以
，
因为是的必要条件，所以
，
因为
是的必要条件，所以
，
因为
，
，所以
，又
，，所以是
的充要条件，命题①正确，
因为
，
，
，所以
，
推不出
，故
是
的充分不必要条件，②正确；
因为
，
，所以
，是
的充分条件，命题③错误；
因为
，
，所以
，又
，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
2．（23-24 高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知
是的充分条件，
是的充分不必要条件，是的必要条
件，
是的必要条件，现有下列命题：①是
的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③
是
的充分不必要条件；④是
的充要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定
之间的关系，然后逐一判断命题①②③④
多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。
判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性
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的正确性即可.
【详解】因为
是的的充分条件，所以
.因为
是的充分不必要条件，所以
，
，
因为是的必要条件，所以
.因为
是的必要条件，所以
，
所以由
，
，
可得
，
则是
的充要条件，命题①错误；
则是的充要条件，命题②错误；
因为
，
，所以
，
，故
是
的充分不必要条件，命题③正确；
易得
，
，所以是
的必要不充分条件，命题④错误，
故选：C.
3．（2021·江苏南京·模拟预测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条
件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为
，
，
，
，根据题目条件得到集合之
间的关系，并推出
D，，所以甲是丁的充分不必要条件.
【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，
，
，
，
由甲是乙的充分不必要条件得，
B，
由乙是丙的充要条件得，
，
由丁是丙的必要不充分条件得，
D，
所以
D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
4．（22-23 高上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必
要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】根据题意，设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D，转化为集合
之间的包含关系，可探求命题之间的关系，判断命题丁能否推出命题甲，及命题甲能否推出命题丁，即可
得出结论.
【详解】设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D；
命题甲是命题乙的充分非必要条件
；命题丙是命题乙的必要非充分条件
命题乙是命题丙的充分
非必要条件
，命题丁是命题丙的充要条件
，综上得到
，可知
，及
命题甲是命题丁的充分非必要条件
命题丁是命题甲的必要非充分条件，
故选：B
【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，真子集，属于中档题.
5．（22-23 高三·黑龙江牡丹江·课后作业）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（
）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为甲是乙的必要条件，
所以乙是甲的充分条件，即乙推出甲；
因为丙是乙的充分但不必要条件，则丙推出乙，乙推不出丙，
所以丙推出甲，甲推不出丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，
故选：A
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题型九：充要条件综合应用
1．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆
的两焦点为
，
，x 轴上方两点A，B 在椭圆
上，
与
平行，
交
于P.过P 且倾斜角为
的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若
，则“
为定值”是“
为定值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不必要也不充分条件
【答案】D
【分析】先求出
的轨迹，其轨迹方程为
，取
，结合特殊情形可得“当
取定值，
是定值”是错误的；再由
是定值可得
，从而可判断当
取定值，
是定值”是错
误的，从而可得正确的选项.
【详解】设
为椭圆
上的动点，为椭圆的半焦距，
故
，故
，
设直线
，则
到该直线的距离为
，故
，
如图，设直线
的倾斜角为
，过
作的垂线，垂足为，
则
，故
，设
，故
，同理
.
充要条件：
命题
对应集合
，命题
对应集合是
，则
是
的充分条件
，
是
的必要条件
，
是
的充要条件
，
是
的充分不必要条件
，
是
的必要不充分条件
．
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设
的倾斜角为
，则
，
，因为
，故
，
所以
，所以
，同理
，
故
，故
的轨迹为以
为焦点的椭圆，其长半轴长为
，短半轴长为
，故
的轨迹方程为：
，
其中
.取
，
,而
，故
不是定值即
不是定
值.
故“当
取定值，
是定值”是错误的.
又直线
的参数方程为：
，设
，
由
整理得到：
，
故
，而
，故
，
所以
，若
为定值，则
为定值，
而
，故当
变化时，
始终为
定值，又
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故
且
，但
，故
，
所以
，
但此时
随
的变化而变化，不是定值，
故“当
取定值，
是定值”是错误的.故选：D.
【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于
是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.
2．（21-22 高二下·重庆·）已知函数
的定义域为
，则“
”是“
是周期为2 的
周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【分析】通过
可以得出
，反过来不可以，反例见详解.
【详解】由
得，
，
所以，
，即
.
所以“
”是“
是周期为2 的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为
得函数，
19
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得不出
，
所以“
”是“
是周期为2 的周期函数”的不必要条件.
所以“
”是“
是周期为2 的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022 广东茂名·二模）设
，则对任意实数
，“
”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
定义域为
，
，函数为奇函数
易知：
在
上单调递增，
且
故
在
上单调递增
当
时，
，充分性；
当
时，即
，必要性；
故选：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
4．（22-23 高三·上海浦东新·阶段练习）已知不等式
的解集为
，不等式
的解集为
，其中
、
是非零常数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】对
、
的符号以及
、
是否相等分情况讨论，得出
的充要条件，即可判断出“
”是“
”的充要条件关系.
【详解】（1）若
，
.
①若
，不等式
即为
，则
，不等式
即
为
，得
，
，
；
20
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②若
，不妨设
，不等式
即为
，则
，
不等式
即为
，得
，
，则
；
（2）同理可知，当
，
时，
，
不一定为
；
（3）若
，
.
①若
，不等式
即为
，则
，不等式
即
为
，则
，此时，
；
②若
，不妨设
，不等式
即为
，则
，
不等式
即为
，则
，此时，
；
（4）同理，当
，
时，
.
综上所述，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分
类讨论，考查推理能力，属于中等题.
5．（2022·广东·一模）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】若
，则
，利用函数
的单调性可得
．反
之不一定成立，例如取
，
．即可得出其不成立．
【详解】解：若
，则
，
∴
，
又当
时，
单调递增，∴
．
反之不一定成立，“
”不一定得出“
”，
例如取
，
．则“
”．
∴“
”是“
”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．
题型十：命题的否定
1．（22-23 高三·浙江·模拟）命题“
，使得
”的否定形式是（ ）
A．
，使得
B．
都有
C．
，使得
D．
，都有
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.
【详解】“
，使得
”是全称命题，全称命题的否定是特称命题
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词
命题．
对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题
的实际意义进行表述．
21
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故否定形式是
，都有
.
故选：D
2．（22-23 高二下·安徽·阶段练习）命题“
a，b>0，a＋
≥2 和b＋
≥2 至少有一个成立”的否定为
（ ）
A．
a，b>0，a＋
<2 和b＋
<2 至少有一个成立
B．
a，b>0，a＋
≥2 和b＋
≥2 都不成立
C．
a，b>0，a＋
<2 和b＋
<2 至少有一个成立
D．
a，b>0，a＋
≥2 和b＋
≥2 都不成立
【答案】D
【解析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
【详解】“
a，b>0，a＋
≥2 和b＋
≥2 至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋
≥2 和b＋
≥2 都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
3．（22-23 高一·全国·课后作业）已知全集U，M，N 是U 的非空子集，若(∁UM)⊇N，则必有( )
A．M⊆(∁UN)
B．(∁UN)
M
C．(∁UM)＝(∁UN)
D．M＝N
【答案】A
【分析】由题意，作出Venn 图，即可得到答案.
【详解】由题意，作出Venn 图，如图所示，即可得到M⊆(∁UN)，故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，其中解答中根据题意作出
，得出集合之间的关系是解答的
关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．（21-22 高·山西运城·模拟）已知
，命题
：
，
，则（ ）.
A．
是真命题，
：
，
B．
是真命题，
：
，
C．
是假命题，
：
，
D．
是假命题，
：
，
【答案】B
【分析】利用导数分析
的单调性，得到
，可以判断命题
的真假，再根据全称命题的
否定写出
即可.
22
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【详解】
，∴当
时，
，
在
上单调递减，
，
是真命题，
：
，
.
故选：B.
5．（20-21 高二下·四川凉山·模拟）命题：
的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论
【详解】解：命题：
的否定是
,
故选：B
题型十一：全称与特称命题真假求参
1．（23-24 高三·福建泉州·模拟）命题“
”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据全称量词命题为真命题，分离参数求解出参数范围的充要条件，然后根据充分条件、必要条
件的定义对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为命题“
”为真命题，则
对
恒成立，
所以
，所以
，
所以命题“
”为真命题的充分必要条件为
，所以选项B 不符合题意；
对于A 选项，
得不到
，
能得到
，所以
是
的必要不充分条件，所以选项A 符
合题意；
对于C 选项，
得不到
，
也得不到
，所以
是
的既不充分也不必要条件，所以
选项C 不符合题意；
对于D 选项，
能得到
，
得不到
，所以
是
的充分不必要条件，所以选项D 不
符合题意.
故选：A.
2．（23-24 高三·广东茂名·模拟）已知命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值
(或最小值)．
23
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【分析】由题意可得
，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“
，使
”是假命题，
所以
恒成立，所以
，
解得
，
故实数
的取值范围是
．
故选：B．
3．（23-24 高三·四川成都·阶段练习）设函数
，命题“存在
，
”
是假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为命题“任意
，
”为真命题，进而得到
在
上恒成立，结合二次函数的性质，求得
的最大值，即可求解.
【详解】由命题“存在
，
”的否定为命题“任意
，
”，
根据题意，可得命题“任意
，
”为真命题，
即对任意
，不等式
恒成立，
所以
，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，
根据二次函数的性质，当
时，
，即
的最大值为，
所以
，即实数
的取值范围为
.
故选：D.
4．（23-24 高三·浙江·阶段练习）已知命题
；命题
，
若命题
均为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
为真命题时
的范围，进一步可得答案．
【详解】由
，得
，
，
，
则当
时，
取最小值2，所以
，
命题
，则
，即
，
若命题
均为假命题，则
且
，即
，
∴实数
的取值范围为
．故选：B.
5．（22-23 高三·河北唐山·阶段练习）
为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
24
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【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用不等式的性质及充分不必要条件的
定义即可求解.
【详解】由
为真命题，等价于
在
上恒成立，
所以
，
即可.
设
，
，则
由二次函数的性质知，对称轴为
，开口向上，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，
取得最小值为
，即
，
所以
的一个充分不必要条件是
的真子集，则
满足条件.
故选：A.
题型十二：新定义型简易逻辑压轴题
1．（2024·广东·模拟预测）设X，Y 为任意集合，映射
．定义：对任意
，若
，则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
【答案】(1)
（答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【详解】（1）由题意不妨设
，当
（
非0）互为相反数时，
满足题意；
（2）一方面若
是单射，且
，则
，即
（否则若
，有
，矛盾），
另一方面，若对任意
，由
可以得到
，
我们用反证法证明
是单射，
假设
不是单射，即存在
，有
，
又由
可以得到
，即
，这就产生了矛盾，
所以
是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若
是单射，则由
可得
，
涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨
论，进行推理判断解决.
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同理存在单射
，使得
，
，有
，
另一方面，若存在映射
，使对任意
，有
，
我们用反证法来证明
是单射，
若
不是单射，即存在
，有
，
又若
，则由题意
，这与
产生矛盾，
所以此时
是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】
关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证.
2．（23-24 高三·北京·模拟）已知集合
，对于集合
的非空子集
，若
中
存在个互不相同的元素
，使得
均属于
，则称集合
是集合
的“期待子集”.
(1)试判断集合
是否为集合
的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有个元素
，同时满足①
，②
，③
为偶数.那么称该集合
具有性质
.对于集合
的非空子集
，证明：集合
是集合
的“期待子集”的充要条件是集合
具有
性质
.
【答案】(1)
是集合
的“期待子集”，
不是集合
的“期待子集”
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质
的定义证明即可；
【详解】（1）因为
，
对于集合
，令
，解得
，显然
，
，
所以
是集合
的“期待子集”；
对于集合
，令
，则
，
因为
，即
，故矛盾，所以
不是集合
的“期待子集”
（2）先证明必要性：
当集合
是集合
的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的
，使得
，
不妨设
，令
，
，
，则
，即条件
中的①成立；
又
，所以
，即条件
中的②成立；
因为
，
所以
为偶数，即条件
中的③成立；
所以集合
满足条件
.
再证明充分性：
当集合
满足条件
时，有存在
，满足①
，②
，③
为偶数，
记
，
，
，
由③得
，由①得
，由②得
，
所以
，
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因为
，
，
，所以
，
，
均属于
，
即集合
是集合
的“期待子集”
3．（2024 江苏南通·模拟）若数列
满足①
，②存在常数
与
无关），使
.则
称数列
是“和谐数列”.
（1）设
为等比数列
的前
项和，且
，求证：数列
是“和谐数列”；
（2）设
是各项为正数，公比为q 的等比数列，
是
的前
项和，求证：数列
是“和谐数
列”的充要条件为
.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【详解】试题分析：（1）新定义问题，关键证明满足定义中两个条件：先确定
，再依次验证
定义中两个条件（2）首先分清充分性与必要性，再分别给予证明，证充分性类似（1），可先证；而证必
要性，需用反证法：其理由是当
时，正项等比数列趋向于无穷大，即不存在上界.
试题解析：（1）设公比为
，则
,
所以
.
因为
=
=
.
且
即存在常数32,
所以，数列
是“和谐数列” .
（2）充分性
设等比数列
的公比
，且
则
.
令
，则
因为
所以
是“和谐数列”
必要性
等比数列
各项为正，且
是“和谐数列”.
因为
所以，
下面用反证法证明，
（1）当
则
因为
所以，不存在
，使
对
恒成立;
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当
，则
所以，对于给定的正数
，若
因为，
，所以，
即当
时，有
.
所以，不存在常数
，使
所以，
综上,数列
是“和谐数列”的充要条件为其公比为
.
4．（20-21 高三·安徽合肥·阶段练习）对于有限个自然数组成的集合
，定义集合
，记集合
的元素个数为
.定义变换
，变换
将集合
变换为集合
.
（1）若
，求
；
（2）若集合
，证明：
的充要条件是
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题干中对集合
和
的定义，可以求出两个集合
（2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件
【详解】解：（1）若集合
, 则根据定义可得：
.
（2）由
.
充分性：设
是公差为
的等差数列,
则
且
, 所以
共有
个不同的值, 即
.
必要性：若
,
因为
,
所以
中有
个不同的元素：
,
任意
的值都与上述某一项相等.
又
, 且
.
所以
, 所以
是等差数列，且公差不为.
5.（2024 年北京高考） 设集合
．
对于给定有穷数列
，及序列
，
，定义变换
：
将数列
的第
项加1，得到数列
；将数列
的第
列加，得到数列
…；重复上述操作，得到数列
，记为
．
（1）给定数列
和序列
，写出
；
（2）是否存在序列
，使得
为
，若存在，
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写出一个符合条件的
；若不存在，请说明理由；
（3）若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，证明：“存在序列
，使得
为常数
列”的充要条件为“
”．
【答案】（1）
（2）不存在符合条件的
，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接按照
的定义写出
即可；
（2）利用反证法，假设存在符合条件的
，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；
（3）分充分性和必要性两方面论证.
【小问1 详解】
由题意得
；
【小问2 详解】
假设存在符合条件的
，可知
的第
项之和为
，第
项之和为
，
则
，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件
；
【小问3 详解】
我们设序列
为
，特别规定
.
必要性：
若存在序列
，使得
为常数列.
则
，所以
.
根据
的定义，显然有
，这里
，
.
所以不断使用该式就得到，
，必要性得证.
充分性：
若
.
由已知，
为偶数，而
，所以
也是偶数.
我们设
是通过合法的序列
的变换能得到的所有可能的数列
中，使得
最小的一个.
上面已经证明
，这里
，
.
从而由
可得
.
同时，由于
总是偶数，所以
和
的奇偶性保持不
变，从而
和
都是偶数.
下面证明不存在
使得
.
假设存在，根据对称性，不妨设
，
，即
.
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情况1：若
，则由
和
都
是偶数，知
.
对该数列连续作四次变换
后，新的
相比原来的
减少
，这与
的最小性矛盾；
情况2：若
，不妨设
.
情况2-1：如果
，则对该数列连续作两次变换
后，新的
相比原来的
至少减少
，这与
的最小性矛盾；
情况2-2：如果
，则对该数列连续作两次变换
后，新的
相比原来的
至少减少
，这与
的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的
都有
.
假设存在
使得
，则
是奇数，所以
都是奇数，设为
.
则此时对任意
，由
可知必有
.
而
和
都是偶数，故集合
中的四个元素
之和
为偶数，对该数列进行一次变换
，则该数列成为常数列，新的
等于零，比原来的
更小，这与
的最小性矛盾.
综上，只可能
，而
，故
是常数列，充分性得证.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.
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