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专题02 等式与不等式（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（2024·上海·高考真题）已知
则不等式
的解集为 ．
2．（23-24 高三下·上海·开学考试）不等式
的解集是 ．
3．（2023·上海普陀·模拟预测）不等式
的解集是 ．
4．（2024·上海·三模）已知集合
，
，则
．
5．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数
的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正
确的序号）
①
；②
；③
；④
．
6．（2024·上海徐汇·二模）若正数
满足
，则
的最小值为 .
7．（23-24 高一上·四川成都·期末）已知
，且
，则
的最小值为 .
8．（22-23 高三上·上海黄浦·期中）设
，
且
，则
的最小值是 .
9．（23-24 高三上·上海·期中）已知
，
，且
，则
的取值范围为 .
10．（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b 满足
，则
的最小值为 ．
11．（23-24 高三上·上海·期中）已知正实数a，b 满足
，则
的最小值为 ．
1
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12．（2023·上海嘉定·一模）函数
在
上的最大值和最小值的乘积为
13．（2024 高三·上海·专题练习）已知实数
，
满足
，
且
，那么
的最小
值是 .
14．（23-24 高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取
值范围是 ．
15．（23-24 高三上·上海·期中）若存在
，使得
，则实数a 的取值范围 ．
16．（23-24 高三下·上海·阶段练习）设
，若关于
的不等式
的解集是区间
的真子集，
则
的取值范围是 ．
17．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围
是 .
18．（23-24 高三上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x 的一元二次函数
．若
的解集为
，则实数
的值分别是
19．（2023·上海黄浦·三模）关于x 的不等式
的解集是
，则实数a 的取值范围为
．
20．（22-23 高三上·上海虹口·阶段练习）设
，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组
有解，则a 的取值范围是 .
21．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）已知函数
，若对任意实数
，关于x 的不等
式
在区间
上恒成立，则实数m 的取值范围为 .
2
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22．（23-24 高二下·上海·期末）方程
的解集为 .
23．（2023·上海宝山·一模）设
，则方程
的解集为
24．（23-24 高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数
，若不等式
恒成立，则实数
的取
值范围是 ．
25．（23-24 高一上·上海·期中）已知关于
的不等式
恰有3 个整数解，则实数
的取值范
围是 .
26．（21-22 高三上·上海黄浦·期中）当且仅当
（其中
）时，函数
的
图像在函数
图像的下方，则
的取值范围为 .
二、单选题
27．（23-24 高三上·上海浦东新·期末）如果
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
29．（23-24 高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（22-23 高三上·上海浦东新·期中）设
，
，若
是
的充分条件，则实数
的取值
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范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知
都是实数，实数满足
，实数
满足
，
判断以下哪个选项正确（ ）
A．对任意的实数
、
，恒有
成立 B．若
，则
C．若
，则
，
D．不存在实数
、
，使得
33．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）若实数
满足
，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（23-24 高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有
，且等号当且仅当（ ）
成立．
A．
B．
C．
D．
35．（2021·高三下·七宝中学·第一次模拟）关于
的方程
有三个不同的实根，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
三、解答题
36．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）（1）若关于
的不等式
的解集为
，求实数
的值；
（2）若
，解关于
的不等式
.
37．（2021·上海闵行·模拟预测）已知
，
，
.
(1)当
时，解关于
的不等式
；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
38．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）小明今年1 月1 日用24 万购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，
经估计，每年可有16 万元的总收入，已知使用x 年（x N
∈）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计
为
万元（今年为第一年）
(1)该出租车第几年开始盈利（总收入超出总支出）?
(2)该车若干年后有两种处理方案；
①当盈利总额达到最大值时，以1 万元价格卖出；
②当年平均盈利达到最大值时，以8 万元卖出.
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试问哪一种方案较为合算?请说明理由.
39．（2022·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为
的矩形场地，要求矩形场
地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为
的
进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45 元/m，新建墙的造价为180 元/m，建
宽的进出口需2360
元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费
用）为y（单位：元）．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用．
40．（21-22 高三上·上海嘉定·期中）已知关于
的不等式
的解集为
，不等式
的解集
为
.
(1)若
，求实数
的值和解集
.
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
41．（19-20 高二下·上海浦东新·期末）若实数
、
、
满足
，则称
比
远离
．
（1）若
比
远离1 且
，求实数
的取值范围；
（2）设
，其中
，求证：
比
更远离
；
（3）若
，试问：
与
哪一个更远离
，并说明理由．
一、填空题
1．（2021·上海金山·二模）不等式
≥0 的解集为 ．
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2．（2024·上海奉贤·三模）若
，则
有最大值为 ．
3．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于
的不等式
的解集为
，则
.
4．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本
与产量
之间满足关系式
，定义平均成本
，
其中
，假设
，当产量等于 时，平均成本最少.
5．（2023·上海徐汇·一模）若实数
满足
，则
的最小值为 ．
6．（2023·上海嘉定·一模）已知
，若关于
的方程
解集为
，
则
的值为 .
7．（2021·上海青浦·三模）若正实数
满足
，则
的最小值为 .
8．（2023·上海虹口·三模）若关于x 的不等式
的解集
，则实数
的取值范围
是 ．
9．（2023·上海长宁·二模）若对任意
，均有
，则实数a 的取值范围为
．
10．（2022·上海普陀·一模）设二次函数
，若函数
的值域为
，且
，则
的取值范围为 .
二、单选题
11．（2024·上海杨浦·二模）已知实数
，
，，
满足：
，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023·上海闵行·一模）下列不等式中，解集为
的是（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
13．（2023·上海静安·一模）若实数x,y 满足
，则（ ）成立．
A．
B．
C．
D．
.
14．（2021·上海松江·二模）已知实数
､
满足
，有结论：①若
，
，则
有最
大值；②若
，
，则
有最小值；正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立
B．①不成立，②不成立
C．①成立，②不成立
D．①不成立，②成立
三、解答题
15．（2019·上海杨浦·二模）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发
车时间间隔（单位：分钟）满足：
，经测算，地铁载客量
与发车时间间隔满足
其中
．
（1）请求出
的值，并说明
的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为
（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分
钟的净收益最大？并求最大净收益．
16．（2019·上海松江·二模）国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企
业原有100 名技术人员，年人均投入
万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中
技术人员
名（
且
），调整后研发人员的年人均投入增加
%，技术人员的年人均投入调
整为
万元.
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（1）要使这
名研发人员的年总投入恰好与调整前100 名技术人员的年总投入相同，求调整后的技
术人员的人数；
（2）是否存在这样的实数
，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投
入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出
的范围，若不存在，说明理由.
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