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第 05 讲：第六章 数列 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解....................................................................1
题型一：数列求通项之前 项和 法.............................................1
题型二：数列求通项之前 项积 法.............................................3
题型三：数列求通项之累加法；累乘法........................................6
题型四：数列求通项之构造法.......................................................8
题型五：数列求通项之倒数法.....................................................10
题型六：数列求和之倒序相加法.................................................12
题型七：数列求和之分组求和法.................................................14
题型八：数列求和之裂项相消法.................................................17
题型九：数列求和之错位相减法.................................................20
题型十：数列求和之奇偶项讨论求和...............................................23
题型十一：数列求和之插入新数列混合求和..............................27
第二部分：新定义题..........................................................................29
第一部分：典型例题讲解
题型一：数列求通项之前 项和 法
1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则该
数列的通项公式为 ．
2．（24-25高三上·福建·开学考试）已知正项数列{a )中 且 ，
n
其中 为数列{a )的前n项和.
n
(1)求数列{a )的通项公式；
n3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列 的各项均为正数， 为 的前
项和，且 ．
(1)求 的通项公式；
4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）设数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
题型二：数列求通项之前 项积 法
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 的前 项积 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .3．（2023·浙江·二模）记 为正项数列 的前 项积，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
4．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列 的前n项积 ，数列 为等差
数列，且 ， ．
(1)求 与 的通项公式；
题型三：数列求通项之累加法；累乘法
1．（2024·广东江门·模拟预测）若数列 满足 ，数列 的前n项
和为 ，则 ．
2．（23-24高一下·上海·期末）在数列 中，已知 ，且 ，
则 ．
3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知数列 满足 ，则
．4．（2024高三·全国·专题练习）设 是首项为1的正项数列，且
，求通项公式 =
题型四：数列求通项之构造法
1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 的通项
公式为 .
2．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列 满足 ，则数列 的
通项公式为 ．
3．（23-24高三下·广东·阶段练习）在数列 中， ，且 ，
则 的通项公式为 ．
4．（23-24高一·全国·课后作业）在数列 中， ， ，则通项公式
．
题型五：数列求通项之倒数法
1．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列 中， 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列 满足递推关系式 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列 满足 ， ， ，则.
4．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列 满足 ，则数列 的前8
项和 ．
题型六：数列求和之倒序相加法
1．（23-24高二下·北京·期中）已知 ，
，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 为正项等比数列，且 ，若函数
，则 （ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
3．（2023·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎
遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每
一个 阶代数方程必有 个复数解等.若函数 ，设
，则
.
题型七：数列求和之分组求和法
1．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味
无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.
现假设有 个圆环，用 表示某种规则 下个圆环所需的最小移动次数.已知数列 满足
下列条件： ， ，记 的前项 和为 ，则； ．
2．（22-23高三上·安徽马鞍山·阶段练习）在数列{a )中， .
n
(1)求 ， ， ；
(2)求数列{a )的前2n项和 .
n
3．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前n项和 ．
题型八：数列求和之裂项相消法
1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列 的首项为1，前 项和为 ，且
是3与 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式：(2)若 是数列 的前 项和，求 的最小值.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章
算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，
第三层有6个球……，设各层球数构成一个数列{a )
n
(1)求数列{a )的通项公式；
n
(2)若数列{b )的前 项和 ，数列 满足 ，求数列 的前 项
n
和
3．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已
知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．题型九：数列求和之错位相减法
1．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知函数 的图象在点
处的切线 经过点 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 的前 项和为 ，求证： .
2．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若 ， 求数列 的通项公式 .
(3)求数列 的前 项和
3．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列 的前n项和为 且满足
；等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列．(1)求数列 与 的通项公式；
(2)求数列 的最大项；
(3)记数列 的前n项和为 ，求 ，
题型十：数列求和之奇偶项讨论求和
1．（2024·全国·模拟预测）设 是数列 的前 项和，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知 为数列 的前 项和， ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ，求数列 的前 项和 ．
3．（23-24高二上·福建漳州·期中）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
(3) ，求数列 的前 项和 .
题型十一：数列求和之插入新数列混合求和
1．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，在 和 中插入 个数构成一个新数列 ： ，2， ，4，6，
，8，10，12， ，…，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求 的
前50项和 .
2．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的通项 ，求 的前 项和 ；
(3)在任意相邻两项 与 （其中 ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一
个新的数列 ．记 为数列 的前 项和，求 的值．第二部分：新定义题
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于 ，若数列 满足 ，则称这个
数列为“K数列”．
(1)已知数列1，2m， 是“K数列”，求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为−2的等差数列 为“K数列”，且其前n项和 使得 恒
成立?若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列 是“K数列”，数列 不是“K数列”，若
，试判断数列{b )是否为“K数列”，并说明理由．
n
2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知 为有穷整数数列，共有 项．给定正整数
，若对任意的 ，在 中，存在 ，使得
， 表示
中最大的一项， 表示 中最小的一
项，则称 为 有界数列．
(1)判断 是否为 有界数列，判断 是否为 有界数列，说明理由；
(2)若 共有4项， ，且 为单调递增数列，写出所有的 ，使得 为
有界数列；(3)若 为 有界数列，证明： ．
3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列 满足
，则称数列 为“线性数列”.
(1)已知 为“线性数列”，且 ，证明：数列 为等
比数列.
(2)已知 .
（i）证明：数列 为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.
