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培优点9 齐次化在圆锥曲线中的应用
[考情分析] 圆锥曲线中的定点、定值、弦长、面积等许多问题都可以转化为斜率问题，当解圆锥曲线问
题遇到斜率之和或斜率之积时，如果采用齐次化解决，会使题目计算量大大减少.
考点一 常数代换+齐次化
例1 如图，已知抛物线y2=4x，直线l 交抛物线于A，B 两点，且OA⊥OB，求证：直线l 过定点.
证明 设直线AB 的方程为mx+ny=1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
mx +ny =1,
y
2= 4 x , 得y2-4mx2-4nxy=0，
上式两边同时除以x2，得(
y
x)
2
-4n y
x -4m=0，
则Δ=16n2+16m>0，
因为kOAkOB= y1
x1
· y2
x2
=-1，
则由根与系数的关系得-4m=-1，解得m=1
4 ，
故直线AB：1
4 x+ny=1，过定点(4，0).
[规律方法] 齐次化在圆锥曲线中的应用步骤
(1)设直线与圆锥曲线相交于两点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(2)联立直线和圆锥曲线的方程，得出齐次方程.
(3)利用根与系数的关系，得到斜率之和或斜率之积的表达式.(目的)
通过齐次化处理，将复杂的表达式转化为简单的代数形式，从而简化计算.(效果)
跟踪演练1 如图，已知不过原点的动直线l 交椭圆x
2
4 + y
2
3 =1 于A，B 两点，直线OA，AB，OB 的斜率
成等比数列，求证：直线l 的斜率为定值.
证明 设直线l 的方程为mx+ny=1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
mx +ny =1,
x
2
4 + y
2
3 =1,
得(12n2-4)(
y
x)
2
+24mn y
x +12m2-3=0，
则12n2-4≠0，Δ>0，
于是kOAkOB= y1
x1
· y2
x2
=12m
2-3
12n
2- 4
，
又kAB=-m
n ，直线OA，AB，OB 的斜率成等比数列，所以12m
2-3
12n
2- 4
=m
2
n
2 ，
解得kAB=-m
n =±√3
2 ，
故直线l 的斜率为定值.
考点二 平移变换+齐次化
例2 如图，已知抛物线y2=4x，P(1，2)，直线l 交抛物线于A，B 两点，PA⊥PB，求证：直线l 过定点.
证明 将图形向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，使点P 位于坐标原点，如图，
平移后的抛物线方程为(y+2)2=4(x+1)，
整理得y2+4y-4x=0，
设平移后直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，
联立{
mx +ny =1,
y
2+ 4 y - 4 x =0,
得(1+4n)(
y
x)
2
+(4m-4n) y
x -4m=0，
则1+4n≠0，Δ>0，
于是kP'A'kP'B'= y1
x1
· y2
x2
=- 4 m
1+ 4 n=-1，
整理得4m-4n=1，
所以直线A'B'：mx+ny=1 过定点(4，-4)，将其向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，
得直线l 过定点(5，-2).
[规律方法] 齐次化方法一般应用于：
(1)题设条件中满足三个点都在圆锥曲线上，其中一个点为定点.
(2)定点与两个动点连线的斜率之和或斜率之积有关系.
跟踪演练2 如图，已知椭圆x
2
4 + y
2
3 =1，点P(1，3
2)在椭圆上，A，B 为椭圆上两点，kPA+kPB=0.求证：
直线AB 的斜率为定值.
证明 将图形向左平移1 个单位长度，再向下平移3
2个单位长度，使点P 位于坐标原点(图略)，则平移后的
椭圆方程为( x +1)
2
4
+( y + 3
2)
2
3
=1，
整理得4y2+3x2+6x+12y=0，
设平移后的点P，A，B 为P'，A'，B'，直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，P'(0，0)，
联立{
mx +ny =1,
4 y
2+3 x
2+6 x +12 y =0,
得(12n+4)y2+6(2m+n)xy+(6m+3)x2=0，
上式两边同时除以x2，得(12n+4)(
y
x)
2
+6(2m+n) y
x +6m+3=0，
则12n+4≠0，Δ>0，
则kP'A'+kP'B'= y1
x1
+ y2
x2
=-6(2m+n)
12n+ 4
=0，
所以2m+n=0，
故kA'B'=kAB=-m
n =1
2，
故直线AB 的斜率为定值.
专题强化练
[分值：30 分]
1.(13 分)如图，已知双曲线x
2
2 - y
2
2 =1，P(2，0)，A，B 为双曲线上两点，且kPA+kPB=0.AB 不与x 轴垂直，求
证：直线AB 过定点.
证明 将图形向左平移2 个单位长度，使点P 位于坐标原点(图略)，则平移后的双曲线方程为( x +2)
2
2
- y
2
2
=1，
整理得y2-x2-4x-2=0，
设平移后的点P，A，B 为P'，A'，B'，直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，P'(0，0)，
联立{
mx +ny =1,
y
2- x
2- 4 x -2=0,
得(1-2n2)y2-(4n+4mn)xy-(2m2+4m+1)x2=0，
上式两边同时除以x2，得(1-2n2)(
y
x)
2
-(4n+4mn) y
x -(2m2+4m+1)=0，
则1-2n2≠0，Δ>0，
则kP'A'+kP'B'= y1
x1
+ y2
x2
=4 n+ 4 mn
1-2n
2 =0，
所以4n+4mn=4n(m+1)=0，
解得n=0 或m=-1，
又直线AB 不与x 轴垂直，则n≠0，
所以m=-1，故直线A'B'：-x+ny=1，过定点(-1，0)，将其向右平移2 个单位长度，故直线AB 过定点(1，0).
2.(17 分)如图，椭圆E：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点A(0，-1)，且离心率为√2
2 .
(1)求椭圆E 的方程；(5 分)
(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP 与AQ 斜
率之和为2.(12 分)
(1)解 由题设知，c
a=√2
2 ，b=1，
结合a2=b2+c2，解得a=√2，所以椭圆E 的方程为x
2
2 +y2=1.
(2)证明 将图形向上平移1 个单位长度，使点A 位于坐标原点(图略)，则平移后的椭圆的方程为x
2
2 +
(y-1)2=1，
设平移后的点P，Q 为P'，Q'，直线P'Q'的方程为mx+ny=1，P'(x1，y1)，Q'(x2，y2)，
联立{
x
2
2 +( y -1)
2=1,
mx +ny =1,
得2y2+x2-4y(mx+ny)=0，
即(-4n+2)y2-4mxy+x2=0，
因为x≠0，上式两边同时除以x2，
得(-4n+2)(
y
x)
2
-4m· y
x +1=0，则-4n+2≠0，Δ>0，则y1
x1
+ y2
x2
=
4 m
- 4 n+2 ，
易得直线mx+ny=1 过点(1，2)，得m+2n=1，即m=1-2n，
故kAP+kAQ=
4 m
- 4 n+2 = 2m
1-2n=2m
m =2.
