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难点专题04 排列组合二项式定理与概率统计
（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
=n(n−1)⋯(n−m+1)=
n！
(n−m)！.(
，
∈N*，且
)．注:
定
规
0!=1.
4.组合数公式
Cn
m
=
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
1×2×⋯×m
=
n！
m！⋅(n−m)！(
∈N*，
，且
).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从
个元素中取
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有An−1
m−1
种；
②某（特）元不在某位有An
m−An−1
m−1
（补集思想）=An−1
1
An−1
m−1
（着眼位置）=An−1
m + Am−1
1
An−1
m−1
（着眼
元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有Ak
k An−k
m−k
种.
②浮动紧贴：
个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An−k+1
n−k+1 Ak
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个（k≤h+1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近
的所有排列数有Ah
h Ah+1
k
种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n>m+1时，无解；当n≤m+1时，有
Am+1
n
An
n =Cm+1
n
种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cm+n
n
.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
、
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
N=Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
⋅⋯⋅C2n
n ⋅Cn
n=(mn )!
(n!)m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
·
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
N=
Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
...⋅C2n
n ⋅Cn
n
m!
= (mn )!
m!(n!)m
.
8.二项式定理 (a+b)n=Cn
0an+Cn
1an−1b+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
r an−r br+⋯+Cn
nbn
;
二项展开式的通项公式
T r+1=Cn
r an−r br (r=0，1，2⋯，n).
9.等可能性事件的概率
.
10.互斥事件A，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
11.
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
12.独立事件A，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
13.
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
14.
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率
15.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
;
（2）
.
16. 数学期望
17.数学期望的性质
（1）
.
（2）若
～
,则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
18. 方差
19. 标准差
=√Dξ .
20.方差的性质
(1)
；
(2）若
～
，则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
21.方差与期望的关系
.
22.正态分布密度函数
，式中的实数μ，σ （σ >0）是参数，分别表示个体的平均
数与标准差.
23.对于
，取值小于x 的概率
.
P(x1<x0<x2)=P(x<x2)−P(x<x1)
.
24.条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|
B)．
当P(B)>0 时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B 也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0 时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B 和C 是两
个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A
生的条件下
发
B
生的概率，后者是在
发
B
生的条件下
发
A
生的概率．
发
25.条件概率的三种求法
定
法
义
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB 所包含的基本事
件数n(AB)，得P(B|A)＝
法
缩样
小
本空
的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，
缩
样
间
它能化繁为简
26.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 …
∪
∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则
对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包
含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
27.贝叶斯公式
一般地,设
是一组两两互斥的事件,有
且
,则对
任意的事件
有
28.数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若
为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数：
，反映样本的平均水平
（4）方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；
越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差：
，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值
最小值
29.求随机变量X 的分布列的步骤：
(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；
(2)求X 取每个值的概率；
(3)写出X 的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量
的期望、方差，求
的期望与方差，利用期望和方差的性质（
，
）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布
列的期望和方差公式进行计算，若
～
,则
，
.
30 求解概率最大问题的关键是能够通过
构造出不等关系，结合组合数公式求解结
果
31. 线性回归分析解题方法：
（1）计算
的值；（2）计算回归系数
；（3）写出回归直线方程
.
线性回归直线方程为：
，
，
其中
为样本中心，回归直线必过该点
（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
，正相关；
，负相关
32.独立性检验解题方法：
（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
独立性检验计算公式：
一、单选题
1．（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给
团牌的正反两面6 个区域涂色，有3 种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面
也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ）
A．36
B．48
C．54
D．56
2．（2025·云南昆明·模拟预测）将甲、乙等6 名志愿者分配到3 个社区协助开展活动，每个社区至少1 人，
每个人只去1 个社区，且甲、乙两人不在同1 个社区，则不同的分配方法数是（ ）
A．540
B．504
C．408
D．390
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）将1，2，3，…，9 这9 个数字填在3×3 的方格表中，要求每一行从左到右、
每一列从上到下的数字依次变大.若将5 填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ）
A．12
B．18
C．36
D．48
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7 个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸
出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用
四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则
所有的涂色方法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·全国·模拟预测）不等式
，其中
是非负整数，则使不等式成立的四
元数组
的组数为（ ）
A．1360
B．2380
C．2510
D．760
6．（2025·浙江·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100 次时结束，设抛
掷的次数为
，则随机变量
的数学期望
（ ）
A．大于2
B．小于2
C．等于2
D．与2 的大小无法确定
7．（2025·山西·模拟预测）袋子里有大小相同的3 个红球和2 个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若
取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记
为取了
次后白球恰好全部取
出的概率，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·福建福州·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每
次抽奖时，顾客连续点击按键5 次，每次点击随机生成数字0 或1 或2，点击结束后，生成的5 个数字之和
即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3 的正整数倍，则获二等奖，其它情况
不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方
准备了
个盲盒，其中有
个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这
个盲盒中随机
抽取1 个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先
拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打
开，记甲中奖的概率为
.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，
随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
与
的大小关系
10．（2025·山东·模拟预测）若
为
的任意排列，设
，
，则（ ）
（已知
表示
中最小的数，
表示
中最大的数）
A．排列总数为
个
B．满足
的排列有80 个
C．
的概率小于
D．
的概率为
二、多选题
11．（2025·湖北荆州·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据为
，1，2，4，3，5，10，9，若
为这组数据的上四分位数，则
的展开式
中
的系数为
B．数据
组成一个样本，其回归直线方程为
，其中
，去除一个异
常点
后，得到新的回归直线必过点
C．若随机变量
，则函数
为偶函数
D．在
列联表中，若每一个数据均变为原来的3 倍，则
变为原来的9 倍
其中
12．（2025·湖北·模拟预测）若二项式
展开式中所有项的系数之和为
，所有项的系数绝
对值之和为
，二项式系数之和为
，则（ ）
A．
B．
，使得
C．
D．对任意
均有
13．（2025·河北沧州·模拟预测）已知
的展开式中，
的系数记为
，则（ ）
A．该展开式共有15 项
B．
C．
D．
的最大值为
14．（2025·江苏南通·模拟预测）甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1 个黑球和2 个红
球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行
次操作后，甲盒子中
恰有0 个黑球，1 个黑球，2 个黑球分别记为事件
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·湖北武汉·三模）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，
每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员
（
且
）名，随机
编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为
．若甲、乙是其中的两名运动员，则
下列结论中正确的有（ ）
A．若
，则甲、乙在第1 轮比赛中相遇的概率为
B．若
，则甲、乙在第2 轮比赛中相遇的概率为
C．若
（
且
），则甲、乙两人在第4 轮比赛中相遇的概率为
D．若
，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
16．（2025·湖北武汉·模拟预测）信息论中，如果知道事件A 已发生，那么该事件所给出的信息量称为
“自信息”，定义A 的“自信息”
.设随机变量X 的所有可能取值为
，
，…，
，且
，
，定义X 的“信息熵”
.现抛掷两枚质地均匀的
骰子（标记为
号和
号），记
号和
号骰子出现的点数分别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
X，Y，则（ ）
A．当事件
“
为偶数”时，
B．当事件
“
中至少一个为2”，
“
中仅一个为2”时，
C．
D．
17．（25-26 高三上·湖北武汉·月考）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，
，
，则（ ）
A．事件A，B 相互独立
B．若
，则
C．
D．若
，则必有
18．（25-26 高三上·山东青岛·期中）已知甲口袋中装有3 个红球，1 个白球，乙口袋中装有2 个红球，1 个
白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1 个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1 个球.记从
甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件
、
，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正
确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025·河南·模拟预测）踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓
解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5 人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等
可能地传给其他4 人中的1 人，假设第1 次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第
次踢出毽子后，
毽子传到乙的概率为
，前
次踢毽子的过程中，传到乙的次数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·广东·二模）已知离散型随机变量
的分布列为
.定义随机变量
为自然对数的底数，
的分布列如下：
随机变量
的数学期望
称为随机变量
的生成函数，记为
.
是函数
在
处的导数，则（ ）
A．
B．若
服从两点分布，
，则
C．若
，则
D．若实数
为常数，则
三、填空题
21．（2025·山东青岛·模拟预测）已知数列
满足
，
，其中
等可能地
取
，1，设“
”为事件
，则
.
22．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合
，甲乙两人分别从
､
的所有子集中随机抽取一
个集合，两人的抽取结果相互独立，设
为两人取到的集合中相同元素的个数，则
的数学期望
.
23．（2025·贵州毕节·模拟预测）在如图的
方格中选5 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选
中，则共有 种选法（用数字作答），在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的5 个数之和
的最大值是 ．
12
11
12
14
13
21
21
23
25
22
32
32
31
33
31
41
43
42
44
40
52
51
53
54
54
24．（2025·陕西咸阳·模拟预测）甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先
胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为
，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，
设甲每局比赛概率获胜概率为
（
），其中
，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局
获胜概率更大且满足
（
），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为
，若甲乙
比赛三局结束的概率为
，则4 局结束比赛并且甲获胜的概率为 ．
25．（2025·山东淄博·三模）某比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一
阶段由参赛队中一名队员答 3 道题，若 3 次都错，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少答对一题，
则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员答 3 道题， 每次答对得 5 分， 答错得 0 分. 该
队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每题答对的概率为
，乙
每题答对的概率为
，各题答对与否相互独立. 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，
应该由 参加第一阶段比赛.
26．（2025·江西吉安·模拟预测）“素数”是指大于1 的自然数中，除了1 和它本身以外，不能被其它正
整数整除的数，例如2､3､
都是素数；“孪生素数”是指相差为2 的两个素数，例如
都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对
“孪生素数”；2013 年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000 万”，2014 年陶
哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20 的素数中取出4
个，则取出的4 个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率= .
27．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）2024 年10 月30 日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十
九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛．
已知该市
，
四所学校各派两名学生参加本次竞赛，这8 名学生要坐在如下表所示的座位上开赛前
大会，则同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3 个不同学校的学生的概
率为 ．
28．（2025·重庆·模拟预测）某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式
为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1 分并继续答题，若答
错则对方获得1 分并由对方回答下一道题，每局3 题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，
根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为
，乙答对每道题的概率为
，则甲在这场比赛中获胜的概率
为 .
29．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）科学家发现一种特殊的粒子，现在把该粒子放在依次排开的1~5 号密
封箱子中，两个箱子之间只有一条通道相连，该粒子每天只会出现在一个箱子里，第二天会随机出现在相
邻箱子中的一个，若科学家每天只能观察一个箱子，则至少需要 天才能确保观测到该粒子.
30．（2025·河南许昌·三模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼
券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏．游戏规则如下：在一个盒子里放着6
个大小相同的小正方体，其中有3 个
类小正方体，4 个面印着奇数，2 个面印着偶数；有2 个
类小正方
体，6 个面都印着奇数；1 个
类小正方体，6 个面都印着偶数．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小
正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环
节，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的
小正方体，从盒子中剩余的5 个小正方体里再次随机抽取一个进行投郑，若投掷后向上的面为奇数，则获
得300 元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100 元礼券．则第一次投掷后向上的面为奇数的概率为
；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额的数学期望为 ．
四、解答题
31．（2025·广东佛山·三模）如图，
四人围成一圈玩成语接龙游戏，游戏开始时随机抽取一个成
语，第1 次由
接龙，下一次接龙的人由掷硬币决定，规则如下：随机掷3 枚硬币，如果3 枚硬币都是反
面朝上，则第2 次由
接龙；如果3 枚硬币中仅有1 枚正面朝上，则第2 次由
接龙；如果3 枚硬币中仅有
2 枚正面朝上，则第2 次由
接龙；如果3 枚硬币都是正面朝上，则第2 次由
接龙．记第2 次接龙的人
（
为
或
或
或
），再次掷3 枚硬币决定下一次的接龙人，若掷出的硬币中有枚硬币正面朝上，则
按顺时针方向数，下一次由
后面的第个人接龙（若
，则下一次由
接龙）．此后每次接龙以此类推．
(1)分别求出第2 次由
接龙的概率；
(2)记前3 次中由
接龙的次数为
，求
的分布列及期望；
(3)记第
次由
接龙的概率为
，证明
．
32．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送
礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别
为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2 点，获得1 分，否则获得2 分，进行若干轮游戏，若累计得
分为19 分，则游戏结束，可得礼券
，若累计得分为20 分，则游戏结束，可得到礼券
，最多进行19 轮
游戏.
(1)当进行完3 轮游戏时，总分为
，求
的期望；
(2)若累计得分为的概率为
，（初始得分为0 分，
）.
①证明数列
，
，
，
，
是等比数列；
②求活动参与者得到礼券
的概率.
33．（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了
一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球足球排球三类相关知识题量占比分别为
､
､
．
甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为
．
(1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3 分，回答错误得
分．设该校友回答三题
后的总得分为
分，求
的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取
道题目，答对题目数不少于
道，即可获得奖励．现以获得奖励的
概率大小为依据，若甲校友在
和
之中选其一，则他应如何选择？并说明理由．
34．（2025·广东·模拟预测）某地举行足球赛，共有16 支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每
两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图
如下．现16 支球队分为A，B，C，D 四组，每组4 支球队．已知甲、乙、丙、丁4 支球队分在A 组，甲队
胜乙队、丙队、丁队的概率分别为
，
，
．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜
其他球队的概率不变．
(1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；
(2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对
组每支球队的胜率均为
，乙队对
组每支球队的胜率均为
．求甲队夺冠的概率．
35．（2025·湖北·模拟预测）某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5 个除颜色
外其他都相同的小球，其中3 个黑球和2 个红球，
取球结果
2 个红球
2 个黑球
红､黑球各1 个
奖金
300 元
200 元
100 元
(1)消费每满2000 元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2 个小球，按照表格领取奖金，
求顾客抽奖一次所得奖金的期望；
(2)若该商场对消费不足2000 元的部分顾客设置二个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱
里仍然是3 个黑球和2 个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1 个小球，若取出黑球，则放回小盒中，
无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在
前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1 份幸运礼品”记为事
件
，设“第
个抽幸运奖顾客获得第2 份幸运礼品”记为事件
.
（i）求
和
；
（ii）求第
位抽幸运奖顾客恰好获得第2 份幸运礼品的概率.
36．（2025·重庆·模拟预测）2026 年第23 届男子足球世界杯赛， 由美国、加拿大和墨西哥三国联合承办.
赛制如下:第一阶段为小组赛， 先将48 支球队分为12 个小组， 每组4 支球队. 同一小组中， 每两支球队
均要踢一场球， 根据赛制选出32 支球队小组出线，参加第二阶段比赛.第二阶段为淘汰赛，根据赛制将出
线的32 支球队分成16 组，每组2 支球队踢一场球，胜者晋级；晋级的16 支球队又分成8 组，每组2 支球
队踢一场球，胜者晋级，依次类推，直至产生前四名.第三阶段为排位赛，进入前四名的球队分成两组，每
组的2 支球队踢一场球，胜者晋级决赛，再踢一场球，争夺冠军；而失败的2 支球队也要踢一场球，争夺
季军.
(1)第23 届男子足球世界杯总共进行多少场比赛?
(2)一球队为了在比赛中变换阵型，将原本在左边锋、左前卫、左后腰和左后卫位置的4 名球员交换位置，
则这4 名球员至少有3 名不在自己对应位置上的概率为多少?
(3)假定
、
、
、
四支球队被分至同一小组，依据过往比赛记录可得，
球队战胜
球队的概率为
，踢成平局的概率为
；
球队战胜C 球队的概率为
，踢成平局的概率为
；
球队战胜D 球队的概
率为
，踢成平局的概率为
.按照积分规则，获胜可积3 分，平局可积1 分，失败则积0 分，试求A 球队
在小组赛结束后的积分
的分布列和数学期望.
37．（2025·河北·模拟预测）在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上
平台的商品
经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品
的只有青年
和中
老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品
的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100
人，给商品
打分
分）并提出建议，分数统计如下表格(假设各组数据在对应的区间内均匀分布)：
给商品
打分
区间
青年购买者
5
35
45
15
中老年购买者
35
40
20
5
(1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值
为代表）；
(2)若购买者打分在区间
内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客”．
①根据表格数据，将频率视为概率，从商品
的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件
“该购买
者为青年购买者”，事件
“该购买者为满意顾客”，计算
的估计值；
②请利用表格数据补充完整下列
列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据
小概率值
的独立性检验，能否认为对商品
是否满意与购买者群体有关．
满意顾客
不满意顾客
合计
青年购买者
100
中老年购买者
100
合计
200
附：
．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
38．（2025·山东·三模）将一个平面
边形
的每个顶点赋值0 或1 两个数中的一个，同时染红或
蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称
边形
“点亮”.
(1)在
中，已知
赋值0 且染红色，求
所有“点亮”的方法个数；
(2)现对四边形
的每个顶点随机赋值0 或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形
“点亮”
的概率；
(3)求
边形的所有“点亮”的方法个数（结果用
表示）.
39．（2025·云南昆明·模拟预测）某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参
加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢
局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概
率为
，每局比赛相互独立．
(1)若
，
，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率；
(2)在甲赢了m 局，乙赢了n 局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往
经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比
分配积分．
（
）若
ⅰ
，
，
，
，求
；
（
）若
ⅱ
，
，
，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率
，并判断当
时，
若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％．
40．（2025·四川成都·一模）口袋中有2 个白球和2 个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案：
游戏一：从袋中有放回地摸球2 次，记摸到白球的次数为
；
游戏二：从袋中无放回地摸球2 次，记摸到白球的次数为
.两种游戏的结果相互独立.
(1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率；
(2)求
；
(3)对于随机变量
，定义信息熵
，它量化了一个随机系统
所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较
与
的大小，
并判断哪种游戏的“不确定性”更高.
