文档文本内容
1
旋转的应用
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1.掌握旋转的定义；
2.掌握旋转的应用.
1.旋转：将一个图形绕着某点O 转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O 叫做__________，转动的
角度叫做__________。
2.旋转性质
⑴ 旋转后的图形与原图形_______
⑵ 对应线段与O 形成的角叫做旋转角
⑶ 各旋转角都相等
3.平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做
平移方向，该距离叫做平移距离。
4.平移性质
（1） 平移后的图形与原图形全等
（2） 两个图形的对应边连线的线段_______（等于平行距离）
（3） 各组对应线段平行且相等
5.中心对称与中心对称图形
2
（1） 中心对称：若一个图形绕着某个点O 旋转180°，能够与另一个图形____________，则这
两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O 叫做对称中心.两个图形的对应点叫做
关于中心的对称点。
（2） 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O 旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这
个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的___________。
6.轴对称与轴对称图形
(1)轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够________，则这两个图形关于这条轴对称或它们
成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。
注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分
（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
7.点的对称变换
（1）关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于__________的对称点为
P＇（-x，-y）
（2）关于x 轴对称的点的特征
两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对
称点为P＇（x，-y）
（3）关于y 轴对称的点的特征
两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P（x，y）关于
__________的对称点为P＇（-x，y）
（４）关于直线y＝x 对称
两个点关于直线y＝x 对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线
y＝x 的对称点为P＇（y，x）
（5）两个点关于直线y＝-x 对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝
x 的对称点为P＇（-y，-x）
注：y＝x 的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x 的直线是过二四象限的角平分线。
参考答案：
1.旋转中心, 旋转角
2. 全等
4. 平行相等
5. 完全重合, 对称中心
6. 完全重合
7. 原点, y 轴
1.旋转的定义
【例1】下列是中心对称图形的有（ ）
（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；
（7）等腰梯形．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【解析】根据中心对称图形的定义：若一个图形绕着某个点O 旋转180°，能够与原来的图形
完全重合，则这个图形叫做中心对称图形进行判断即可.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
3
【答案】C
练习1. 下列文字中属于中心对称图形的有（ ）
A．干
B．中
C．我
D．甲
【答案】B
练习2. 已知下列图形（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形．其中是轴
对称图形，而不是中心对称图形的序号是（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（1）（3）
D．（3）（4）
【答案】D
2.轴对称和中心对称
【例2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
【解析】根据轴对称和中心对称的定义判断即可。
【答案】D
练习3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】B
练习4. 在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形，又是中心对
称图形的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
3.坐标的对称
【例3】点
关于原点的对称点的坐标为
．
【解析】关于远点对称的坐标想x，y 都取相反数即可。
【答案】
．
练习5．已知点
和点
，则
，
两个点的位置关系是
．
【答案】关于原点对称．
练习6．点
关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
4.对称图形的作法
A
Ｂ
C
D
O
N
M
2A
A
B
C
D
O
N
M
F
E
1
B
1A
1
C
1
D
2
B
2
C
2
D
4
【例4】已知：如图
．
（1）画出
，使
与
关于直线
对称；
（2）画出
，使
与
关于点
中心对称；
（3）
与
是对称图形吗？若是，请在图上画出对称轴或对
称中心．
【解析】按要求作图，关于直线对称的两图形沿直线折叠完全重合，中心对称绕对称中心
180°，图像完全重合。
【答案】解：（1）如图，
，就是所求的平行四边形．
（2）如图，
，就是所求的平行四边形．
（3）是轴对称图形，对称轴是直线
．
练习7．如图，每个小正方形的边长为个单位，对于
，
的位置，下列说法正确的是（
）
A．如果
，则
B．以
为原点，右为正方向，上为正方向建立直角坐标系，则点
在第一象限
C．
与
的距离为两个单位长
D．以
为原点建立坐标系，
的坐标为
B
A
Ｏ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｅ
x
y
Ｂ
Ｃ
Ｏ
Ａ
x
y
5
【答案】B
练习8. 如图，
三个顶点的坐标分别为
，
，
，将
绕
点
按顺时针方向旋转
，得到
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
5. 图形的旋转
【例5】如图，等边
的边长为
，顶点
在
轴上，边
在
轴上，请写出点
的坐标___________．
【解析】A 和C 点关于y 轴对称，根据坐标的对称即可求出。
【答案】
，
．
练习9. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为１．
A
B
C
D
Ｅ
Ｆ
G
A
B
C D
Ｅ
Ｆ
G
x
y
1
1
2
3
4
1
3
y
x
6
（1）“小猪”所占的面积为多少？
（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线
对称的图案（只画图，不写作
法）；
（3）以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，小正方形的边长为
单位长度建立直角坐标系，可得点
的坐标是（ ， ）．
【答案】解：（1）32.5；（2）（画图）；（3）
．
练习10． 将图中的
作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点所发生的变化．
（1）沿
轴正方向平移3 个单位；
（2）关于
轴对称；
（3）绕
点旋转
．
【答案】（1）纵坐标不变，横坐标加
．
（2）横坐标不变，纵坐标变为相反数．
（3）各顶点横纵坐标变为相反数．
6. 旋转的应用
Ｂ
Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｄ
x
y
7
【例6】如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD，连结DC，以DC 为边作
等边△DCE，B，E 在C，D 的同侧．若AB =√2,则BE=______．
【解析】根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解答．
∵△ABC 等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD 是等边三角形
∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°-90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°-45°=15°
∴∠CDB=180°-135°-15°=30°，∠BDE=60°-30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD
∴△BCD≌△BED∴BE=CB=
×sin45°=1∴BE=1．
【答案】BE=1．
练习11. 如图，菱形
的中心是坐标原点，且
轴，点
的坐标为
，那
么
点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
练习12. 如图所示：
中，
，
，
是
内的一点，且
，
，
，求
的度数．
【解析】以C 为旋转中心,将△CPA 旋转90°,AC 与BC 边重合,连接DP 由题意可知：DC＝CP＝2,
E
D
C
B
A
1
2
3
P
C
B
A
8
在Rt△CPD 中,由勾股定理可得：DP＝2√2,∠PCD＝45°
由题可知：在△BPD 中,BP＝1,DB＝AP＝3,DP＝2√2,
∴DB²＝DP²＋BP²,∴△BPD 是以DB 为斜边的直角三角形,即∠BPD＝90°∴∠BPC＝∠BPD
＋∠PCD＝135°
【答案】连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD＝
45°．
∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴ ∠ACP＝∠BCD．
∵ CA＝CB，∴ △CAP≌△CBD(SAS)，
∴ DB＝PA＝3．在Rt△CPD 中，
．
又∵ PB＝1，则
．∵
，∴
，
∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB＝90°，
∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°
练习13. （2014 湖北咸宁一模）如图①，已知
是等腰直角三角形，
，点
是
的中点．作正方形
，使点
、
分别在
和
上，连接
、
．
⑴试猜想线段
和
的数量关系，请直接写出你得到的结论．
⑵将正方形
绕点
逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0° ，小于或
等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？
如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
⑶若
，在②的旋转过程中，当
为最大值时，求
的值．
【解析】（1）在Rt△BDG 与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得
BG=AE；
（3）根据（2）的结论，求BG 的最大值，分析可得此时F 的位置，由勾股定理可得
答案．
【答案】（1）BG＝AE．易得BD=DA,GD=DA,∠GDB=∠EDA；
故可得Rt△BDG≌Rt△ADE；
故BG=AE；
（2）成立．
ABC
BAC
D
BC
DEFG
A
C
DG
DE
AE
BG
BG
AE
DEFG
D
2
BC
DE
AE
AF
A
B
C
D
E
F
G
②
①
G
F
E
D
C
B
A
9
如图②，
连接AD．∵△ABC 是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7 分
（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG 最大时，AE 也最大．
正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转270°时，BG 最大，如图③．
若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．
在Rt△AEF 中，AF
2＝AE
2＋EF
2＝(AD＋DE)2＋EF
2＝(1＋2)2＋2
2＝13．
∴AF＝
1．下列现象属于旋转的是（ ）【答案】B
A．摩托车在急刹车时向前滑动;
B．拧开自来水水龙头
C．运动过程中篮球的滚动
D．空中下落的物体
2．（2014 江苏无锡一模）如图，
绕点
逆时针旋转
到
的位置，已知
，则
等于（ ）【答案】D
A．
B．
C．
D．
图1
图2
图3
10
2．如图1错误: 引用源未找到所示，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能
是..................................................................................................................( )
A．30°
B．60°
C．72°
D．90°
【答案】C
3．如图2，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成
是把菱形ABCD 以A 为中心( )．【答案】D
A．顺时针旋转60°得到
B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到
D．逆时针旋转120°得到
4．（2014 辽宁葫芦岛一模）如图3，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的
图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．【答案】A
5．（2014 湖北咸宁一模）如图，在Rt△ABC 中，
，D、E 是斜边BC 上两点，且
∠DAE=45°，将△
绕点
顺时针旋转90 后，得到△
，连接
，下列结论：
①△
≌△
； ②△
∽△
；
③
； ④
其中正确的是（ ）【答案】B
A．②④； B．①④；
图8
图9
A
E
B
C
P
图10
11
C．②③； D．①③．
6．（2014 云南西双版纳一模）P 是等边
内部一点，
、
、
的大小之比
是5:6:7，所以PA、PB、PC 的长为边的三角形的三个角的大小之比是 . 【答案】
2:3:4
7．如图9，边长为3 的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF 交AD 于
点H,那么DH 的长为______。【答案】√3
8．如图10 所示，△ABP 是由△ACE 绕A 点旋转得到的，那么△ABP 与△ACE 是什么关系？若∠BAP
＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE 的度数。
【答案】解：全等，旋转角为60°，∠CAE=40°，∠E=110°，∠BAE=110°
9．如图11，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD 向左平移6 个单位长度得到梯形A1B1C1D1.
(1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1 ；
(2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转
得到梯形A2B2C2D2
，请你画出梯形A2B2C2D2．
(
8
第题图）
A
B
C
D
E
F
图11
A
C
B
D
F
E
图12
12
【答案】
10．如图12 在ABC 中，D 是BC 的中点，E、F 分别是AB、AC 边上两点，且ED⊥FD，你能说明
BE+CF>EF 的道理吗?
【答案】将△CDF 绕D 旋转180º 得到△BDG，BG＝CF，得BE+BG>EG；由GD＝FD，且ED⊥FD 得EG
＝EF，于是BE+CF>EF
图13
13
11．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1 个单位的正方形，
的三个顶点 都在格点
上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1）画出
向平移4 个单位后的
；
(2）画出
绕点
顺时针旋转
后的
，并求点
旋转到
所经过的路线长．
【答案】解：（1）画出
．
（2）画出△
．
连结
，
，
．
点A 旋转到
所经过的路线长为
．
G
F
E
D
C
B
A
14
13.探究：
（1）如图1，在正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD 上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF
与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F
分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=
1
2 ∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成
立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E、F 运动到BC、CD 延长线上时，
如图3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结
论并予以证明..
【解析】可通过旋转图形构建全等三角形进行求证.把Δ AFD 绕点A 顺时针旋转90° 得到
Δ ABF ' ，那么E ，B ，F' 三点共线，然后证得Δ AF ' E 和Δ AFE 全等得出EF =F' E ，
由于BE =DF ，因此可证得EF =BE +DF
【答案】（1）EF= BE＋DF
（图2 ）
15
（2）结论EF= BE＋DF 仍然成立（如图2）
证明:将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到
，
∴△ADF≌
，
∴∠1=∠2， A
=AF，
=DF. ∠
=∠D
又∵∠EAF=
1
2 ∠BAD，即∠4=∠2+∠3.
∴∠4=∠1+∠3.
又∵∠ABC＋∠D＝180°，
∴∠A
＋∠AB E=180°，即：
、B 、E 共线.
在△AEF 与△AEF1中，
AF=A
，
∠4=∠1+∠3，
AE=AE
∴△AEF≌△AE
中，
∴EF=E
，又E
=BE＋B
,
即：EF= BE＋DF.
（3）发生变化. EF、BE、DF 之间的关系是EF= BE－DF.
'
ABF
'
ABF
'
F
'
BF
'
ABF
'
BF
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
（图3 ）
16
证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，点F 落在BC 上点
处，
得到△AB
，如图3 所示.
∴△ADF≌△AB
，
∴∠B A
=∠DAF ， A
=AF，B
=DF.
又∵∠EAF=
1
2 ∠BAD，且∠B A
=∠DAF
∴∠
AE=∠FA E.
在△
AE 与△FA E 中
AF=A
，
∠
AE=∠FA E,
AE=AE,
∴△
AE≌△FA E
∴EF=E
，
又∵BE= B
＋E
，
∴E
=BE－B
.
即EF= BE－DF
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1. 如果一个图形是中心对称图形，那么对称点的连线段被________平分，对应线段________且
________．
【答案】对称中心，平行，相等．
2. 已知
三点不在同一直线上，
关于
点对称．
关于
点对称，那么线段
与
__________．
【答案】平行且相等．
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
'
F
图6
图7
17
3. 正方形是中心对称图形，它绕它的中心，旋转一周和原来的图形重合________次．
【答案】4．
4. 正方形是中心对称图形，对称中心是________ ，正方形也是轴对称图形，共有_______条对称
轴．
【答案】两条对角线的交点，4．
5. 一条线段是轴对称图形，因为_______是它的对称轴；它又是中心对称图形，它的对称中心是
________．
【答案】中垂线，它的中点．
6．等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。【答案】120°
7．如图5，四边形
为正方形，
为正方形
外一点，
经过旋转后到达
的位置，那么旋转中心是 ，旋转角是 度。【答案】点B，顺时针旋转
8．分析图6 中①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分
【答案】
9．如图7，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠A＝15°，∠C＝10°，E，B，C 在同
一直线上，则∠ABC＝________，旋转角度是________【答案】155°，25°
10.如图，下列对图形判断正确的是（ ）
A．非对称图形
图5
Q
P
D
C
B
A
18
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．是轴对称图形，非中心对称图形
D．是中心对称图形，非轴对称图形
【答案】D
11. 你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌的图案吗？请你指出图案是中心对称图形的一组为
（ ）
A．黑桃6 与黑桃9
B．红桃6 与红桃9
C．梅花6 与梅花9
D．方块6 与方块9
【答案】D
12. 在下列几何图表中：①两条互相平分的线段；②两条互相垂直的直线；③两个有公共顶点的角；
④两个有一条公共边的正方形．其中是中心对称图形的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
13. 经过矩形对称中心的任意一条直线，把矩形分成面积分别为
的两部分，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的关系由直线的位置确定
【答案】B
14. 点
对称，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
15. 下列说法正确的是（ ）
A．会重合的图形，一定是轴对称图形
B．中心对称图形，一定是会重合的图形
C．两个成中心对称的图形的对称点的连线不一定过对称中心
D．两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称
【答案】B
16.如图，已知D，E 分别是正三角形的边BC 和CA 上的点，且AE=CD，AD 与BE 交于P，则
∠BPD______°
【解析】根据△ABC 是等边三角形，可得AC=BC，∠ABD=∠C=60°，结合AE=CD，利用等式性质
易得BD=CE，利用SAS 易证△ABD≌△BCE，从而有∠ADB=∠BEC，再利用三角形外角性
P
E
D
C
B
A
19
质可证∠C=∠APE，而∠APE 和∠BPD 是对顶角，故可得∠BPD=∠C．
【答案】60
17.已知：正方形
中，
，绕点
顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它
们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当
绕点
旋转到
时，有
．当
绕点
旋转到
时，如图2，请问图1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，
如果不成立，请说明理由；
（2）当
绕点
旋转到如图3 的位置时，线段
和
之间有怎样的等量
关系？请写出你的猜想，并证明．
【解析】（1）可通过旋转图形构建全等三角形进行求证.把Δ AND 绕点A 顺时针旋转90° ，
得到Δ ABE ，那么E ，B ，M 三点共线，然后证得Δ AME 和Δ AMN 全等得出，由
于BE =AD ，因此可 证得MN =MB +DN ；
（2）如图，参照（1）中的求法，证得Δ AME ≃Δ AMN ，可得MN =ME ，进而可
得到MN +BM =DN .
【答案】（1）答：图1 的结论仍然成立，即
．
证明：如图2，在MB 的延长线上截取BE=DN，连结AE ．
易
证
（SAS）．
∴ AE=AN；∠EAB=∠NAD．
∴
．又AM 为公
共边，
ABCD
45
MAN
A
MAN
A
BM
DN
BM
DN
MN
MAN
A
BM
DN
MAN
A
BM
DN
，
MN
BM
DN
MN
ABE
ADN
△
≌△
90 ,
45 ,
45 .
45 .
BAD
NAM
BAM
NAD
EAB
BAM
EAM
NAM
20
∴
．
．
即
．
（2）猜想：线段
和
之间的等量关系为：
．
证明：如图3，在DN 延长线上截取DE=MB，连结A E ．
易证
（SAS）．
∴ AM=AE；∠MAB=∠EAD．
易证
（SAS）．
．∵
，
∴
．
AEM
ANM
△
≌△
ME
MN
MN
ME
BE
BM
DN
BM
DN
BM
MN
BM
DN
，
MN
DN
BM
MN
ABM
ADE
△
≌△
AMN
AEN
△
≌△
MN
EN
DN
DE
EN
DN
BM
MN
课程顾问签字： 教学主管签字：
