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专题03 立体几何（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）若在长方体
中，
．则四面体
与
四面体
公共部分的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，
，
，
且
，则二面角
的余弦值的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山西·一模）如图，在体积为1 的三棱锥
的侧棱
上分别取点
，使
，记
为平面
平面
､
平面
､
的交点，则三棱锥
的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）如图，已知长方体
中，
，
，
为正方形
的中心点，将长方体
绕直线
进行旋转．若平面
满足直线
与
所成的角
为
，直线
，则旋转的过程中，直线
与夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：
1
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，
）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥
中，底面
是等边三角形，侧面
是等腰直角三角形，
，
是平面
内一点，且
，若
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·河北邯郸·三模）已知在四面体
中，
，二面角
的大小
为
，且点A，B，C，D 都在球
的球面上，
为棱
上一点，
为棱
的中点．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥
的底面是边长为2 的菱形，
为
的交点，
平面
，
，则四棱锥
的内切球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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8．（2024·湖南衡阳·二模）已知三棱锥
中，
，三棱锥
的体积为
，其外接球的体积为
，则线段
长度的最大值为（ ）
A．7
B．8
C．
D．10
9．（2024·浙江湖州·一模）在四棱锥
中，棱长为2 的侧棱
垂直底面边长为2 的正方形
，
为棱
的中点，过直线
的平面
分别与侧棱
、
相交于点
、
，当
时，截面
的面积为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
10．（2024·河北沧州·模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒
（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10 个塑料球，则该种外包装盒的棱长的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2024·湖南长沙·二模）在正方体
中，
为
的中点，
是正方形
内部一点（不含边界），则（ ）
A．平面
平面
B．平面
内存在一条直线与直线
成
角
C．若
到
边距离为
，且
，则点
的轨迹为抛物线的一部分
D．以
的边
所在直线为旋转轴将
旋转一周，则在旋转过程中，
到平面
的距离
的取值范围是
3
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12．（2024·浙江温州·二模）已知半径为球与棱长为1 的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面
三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为
，则（ ）
A．有最大值，但无最小值
B．最大时，球心在正四面体外
C．最大时，
同时取到最大值
D．
有最小值，但无最大值
13．（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥
中，四边形
是正方形，
平面
，则（ ）
A．若平面
平面
，且平面
平分四棱锥
的体积，
平面
，则
B．若平面
平面
，且平面
将四棱锥
的体积分为
的两部分，
平面
，
则
C．若平面
平面
，且
平面
，则平面
将四棱锥
的体积分为
的两部分
D．若平面
平面
，且
平面
，则平面
将四棱锥
的体积分为
的两部分
14．（2024·湖南·二模）如图，点
是棱长为2 的正方体
的表面上一个动点，
是线段
的中点，则（ ）
A．若点
满足
，则动点
的轨迹长度为
B．三棱锥
体积的最大值为
C．当直线
与
所成的角为
时，点
的轨迹长度为
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D．当
在底面
上运动，且满足
平面
时，线段
长度最大值为
15．（2024·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器
内灌进一些水，已知
．
如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC 于地面上，再将容器按如图方向倾斜，
至侧面
与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）
A．水面形状的变化：三角形梯形矩形
⇒
⇒
B．当
时，水面的面积为
C．当
时，水面与地面的距离为
D．当侧面
与地面重合时，水面的面积为12
16．（2024·湖北·二模）如图，棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正方形
内一个动点（包括边界），且
平面
，则下列说法正确的有（ ）
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A．动点
轨迹的长度为
B．三棱锥
体积的最小值为
C．
与
不可能垂直
D．当三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积为
17．（2024·广东佛山·二模）对于棱长为1（单位：
）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法
正确的是（ ）
A．底面半径为
，高为
的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体
B．以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为
C．该正方体内能同时整体放入两个底面半径为
，高为
的圆锥
D．该正方体内能整体放入一个体积为
的圆锥
18．（2024·全国·二模）如图，在正四面体
中，
分别为侧棱
上的点，
且
，
为
的中点，
为四边形
内（含边界）一动点，
，则
（ ）
A．
B．五面体
的体积为
C．点
的轨迹长度为
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D．
与平面
所成角的正切值为
19．（2024·山东·一模）已知四棱锥
，底面ABCD 是正方形，
平面
，
，PC 与
底面ABCD 所成角的正切值为
，点M 为平面
内一点（异于点A），且
，则（ ）
A．存在点M，使得
平面
B．存在点M，使得直线
与
所成角为
C．当
时，三棱锥
的体积最大值为
D．当
时，以P 为球心，
为半径的球面与四棱锥
各面的交线长为
20．（2024·安徽·二模）已知正方体
的棱长为1，
，
分别为棱
，
上的动点，
则（ ）
A．四面体
的体积为定值
B．四面体
的体积为定值
C．四面体
的体积最大值为
D．四面体
的体积最大值为
三、填空题
21．（2024·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面
的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的
直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如
图1，一个球面的半径为
，球冠的高是，球冠的表面积公式是
，与之对应的球缺的体积公式是
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.如图2，已知
是以
为直径的圆上的两点，
，则
扇形
绕直线
旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .
22．（2024·山东菏泽·一模）如图，在正四棱台
中，
，
，该棱台体积
，则该棱台外接球的表面积为 ．
23．（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体
中，
是棱
的中点，记平面
与平
面
的交线为，平面
与平面
的交线为
，若直线
分别与
所成的角为
，则
，
.
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24．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形
中，
分别在线段
上，
，将
沿
折起，使
到达
的位置，且平面
平面
，若直线
与平面
所成角的正切值为
，则四面体
的外接球的半径为 .
25．（2024·广东韶关·二模）在三棱锥
中，侧面所在平面与平面
的夹角均为
，若
，且
是直角三角形，则三棱锥
的体积为 ．
26．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点
是圆台
的上底面圆
上的动点，
在下底面圆
上，
，则直线
与平面
所成角的余弦值的最小值为 ．
27．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱
中，
是边长为2 的等边三角形，四边形
为菱形，
，平面
平面
，
为
的中点，
为
的中点，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
28．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥
的底面为矩形，
平面
为
的中点，点
分别在线段
上运动，当
最小
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时，三棱锥
的体积为 ．
29．（2024·江苏南通·二模）若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为
，该十面体的外接球的表面积为 .
30．（2024·河北·模拟预测）已知四面体
中，
，过
点的其外接球直径
与
、
夹角正弦值分别为
、
，则
与
夹角正弦值为 .
四、解答题
31．（2023·浙江·模拟预测）如图，在四面体
中，
分别是线段
的中点，
.
(1)证明：
平面
；
(2)是否存在
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，求出此时
的长度；若不存
在，请说明理由.
32．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
，
，
垂直
于平面
．点
，
，
分别为边
，
，
上的动点（不包括顶点），且满足
．
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(1)求三棱锥
的体积的最大值；
(2)记平面
与平面
所成的锐二面角为
，当
最小时，求
的值，并说明点
所处的位置．
33．（2024·全国·模拟预测）如图，已知直角
的直角边
，
，点
是
从左到右的
四等分点（非中点）.已知椭圆
所在的平面垂直平面
，且其左右顶点为
，左右焦点为
，点
在
上.
(1)求三棱锥
体积的最大值；
(2)证明：二面角
的大小小于
.
34．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形
中，
，
，
.将
沿对角线
折到
的位置，点P 在平面
内的射影H 恰好落在直线
上.
(1)求二面角
的正切值；
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(2)点F 为棱
上一点，满足
，在棱
上是否存在一点Q，使得直线
与平面
所成的角
为
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
35．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形
中，
，将
沿
折起，使点D 到达点P 位置，且
，连接
得三棱锥
，如图2．
(1)证明：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点M，使平面
与平面
的夹角的余弦值为
，若存在，求出
的值，
若不存在，请说明理由．
36．（2024·广东佛山·模拟预测）在四棱雉
中，四边形
为矩形，
，
，点
为线段
的中点．已知点
在平面
上的射影在四边形
外，且直线
与平面
所成的角为
．
(1)设点
为线段
的中点，求证：
；
(2)求平面
与平面
的夹角
的余弦值．
37．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥
的底面为平行四边形，点
分别为
的
中点．
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(1)证明：
平面
；
(2)若平面
将四棱锥
分成体积为
和
的两部分（其中
），求
的值．
38．（2024·全国·模拟预测）如图1，已知在正方形
中，
，
，
，
分别是边
，
，
的中点，现将矩形
沿
翻折至矩形
的位置，使平面
平面
，如图2 所示．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
是线段
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
39．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2 和4 的正方形，
平面
⊥平面ABCD，
，点P 是棱
的中点，点Q 在棱BC 上．
(1)若
，证明：
平面
；
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(2)若二面角
的正弦值为
，求BQ 的长．
40．（2024·江西南昌·一模）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
，已
知
为棱
的中点，
在底面的投影
为线段
的中点，
是棱
上一点.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若
，确定点
的位置，并求二面角
的余弦值.
14
