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专题04 排列组合与二项式定理及数字特征与
概率统计
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）
的展开式中
的系数为（ ）．
A．
B．
C．40
D．80
2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和
的关系，
其中T 表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是
．下列结论中正确的是（ ）
A．当
，
时，二氧化碳处于液态
B．当
，
时，二氧化碳处于气态
C．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
1
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D．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
二、解答题
3．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40 天的价格变
化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表
示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段
价格变化
第1 天到第20 天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21 天到第40 天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4 天，试估计该农产品价格在这4 天
中2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41 天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
4．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含
）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
5．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k 合1” 混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行
1 次检测,如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结
束:如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1 次检测,得到每人的检测
结果，检测结束.
现对100 人进行核酸检测，假设其中只有2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100 人随机分成10 组，每组10 人，且对每组都采用“10 合1”混采核酸检测.
2
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(i)如果感染新冠病毒的2 人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2 人分在同一组的概率为
.设X 是检测的总次数，求X 的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100 人随机分成20 组，每组5 人，且对每组都采用“5 合1”混采核酸检测.设Y 是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
一、单选题
1．（2024·北京延庆·一模）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京东城·一模）已知
，若
，则
的取
值可以为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
3．（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4 个红球和2 个白球．若从中不放回地取球2 次，每次
任取1 个球，记“第一次取到红球”为事件
，“第二次取到红球”为事件
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个
音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18 种
B．24 种
C．36 种
D．72 种
二、填空题
5．（2024·北京门头沟·一模）
的展开式中常数项为 (用数字作答)
3
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6．（2024·北京海淀·一模）若
，则
；
.
7．（2024·北京房山·一模）设
，则
；当
时，
．
三、解答题
8．（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100
人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结
果整理得到如下频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1500 人，试估计阅读速度达到620 字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3 人，设这3 人中阅读速度达到540 字/分钟及以上的人数
为
，求
的分布列与数学期望
；
(3)若某班有10 名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，
723，776，从这10 名学生中随机抽取3 人，设这3 人中阅读速度达到540 字/分钟及以上的人数为
，试判
断数学期望
与（2）中的
的大小.（结论不要求证明）
9．（2024·北京海淀·一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，
并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100 名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相
应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
4
10
3
a
4
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2
b
1
23
0
2
(1)当
时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3 分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80 分的学生中随机抽取2 名，记X 为这2 名学生的科普过程性积分之和，
估计X 的数学期望
；
(2)从该校科普过程性积分不高于1 分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为
，上述100 名学生科
普测试成绩的平均值记为
.若根据表中信息能推断
恒成立，直接写出a 的最小值.
10．（2024·北京西城·一模）10 米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位
选手采用立姿射击60 发子弹，总环数排名前8 的选手进入决赛．三位选手甲乙丙的资格赛成绩如下：
､
､
环数
6 环
7 环
8 环
9 环
10 环
甲的射出频
数
1
1
10
24
24
乙的射出频
数
3
2
10
30
15
丙的射出频
数
2
4
10
18
26
假设用频率估计概率，且甲乙丙的射击成绩相互独立．
､
､
(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
(2)若甲乙各射击
､
2 次，估计这4 次射击中出现2 个“9 环”和2 个“10 环”的概率；
(3)甲乙丙各射击
､
､
10 次，用
分别表示甲乙丙的
､
､
10 次射击中大于
环的次数，其中
．写出一个
的值，使
．（结论不要求证明）
11．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展
学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由
5
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两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文
中随机抽取10 篇，这10 篇论文的评分情况如下表所示.
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
(1)从这
篇论文中随机抽取1 篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；
(2)从这
篇论文中随机抽取3 篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为
，求
的分布列及数学期望；
(3)对于序号为
的论文，设评委甲的评分为
，评委乙的评分为
，分别记甲、乙两位评委
对这10 篇论文评分的平均数为
，
，标准差为
，
，以
作为序号为的论文的标
准化得分.对这10 篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2 的论文的两种
排名结果是否相同?（结论不要求证明）
12．（2024·北京门头沟·一模）2024 年1 月11 日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109 新线高速公
路（简称新高速)全线35 坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到
，预计今年上半年开始通
车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40 分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于
安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来
了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200 位打算利用新高速出行的居民，对
其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速
6
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的出口)，具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
项
目
斋堂出口
清水出
口
安家庄出口
雁翅出
口
火村出口
西台子出口
上
班
40
8
2
5
3
2
旅
游
30
20
10
10
12
8
探
亲
16
10
10
5
5
4
(1)从被调查的居民中随机选1 人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2 人，从出行旅游
的人中随机抽取1 人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为
，求
的分布列和数学期望；
(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “
”表示此人从斋堂出口下高速，“
”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新
高速出行旅游的人中随机抽取1 人，用 “
”表示此人从斋堂出口下高速，“
”表示此人不从
斋堂出口下高速，写出方差
的大小关系． (结论不要求证明）．
13．（2024·北京延庆·一模）第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023 年12 月16 日至17 日在北京延
庆举行，赛程时间安排如下表：
12 月16 日
星期
六
9:30
单人雪橇第1 轮
10:30
单人雪橇第2 轮
15:30
双人雪橇第1 轮
16:30
双人雪橇第2 轮
12 月17 日
星期
日
9:30
单人雪橇第3 轮
10:30
单人雪橇第4 轮
7
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15:30
团体接力
(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记
为看到双人雪橇的次数，求
的分布列及期望
；
(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“
”表示小明在周六看到单人雪橇，“
” 表示小明
在周六没看到单人雪橇，“
”表示小明在周日看到单人雪橇，“
”表示小明在周日没看到单人
雪橇，写出方差
，
的大小关系．
14．（2024·北京房山·一模）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我
国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动
员
三级运动员
男子跳
远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳
远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为
预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下
数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望
；
(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6 次，取6 次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比
赛中，甲已完成6 次试跳，丙已完成5 次试跳，成绩（单位：m）如下表：
第1 跳
第2 跳
第3 跳
第4 跳
第5 跳
第6 跳
8
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甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a
若丙第6 次试跳的成绩为a，用
分别表示甲、丙试跳6 次成绩的方差，当
时，写出a 的值．
（结论不要求证明）
15．（2024·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选
20 只健康白鼠做试验．将这20 只白鼠随机分成两组，每组10 只，其中第1 组注射药物A，第2 组注射药
物B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：
）
第1 组（只）
3
4
1
2
0
第2 组（只）
1
3
2
3
1
(1)现分别从第1 组，第2 组的白鼠中各随机选取1 只，求被选出的2 只白鼠皮肤疱疹面积均小于
的
概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在
区间内的白鼠中随机选取3 只抽血化验，求第2 组中被抽中白鼠只数
的分布列和数学期望
；
(3)用“
”表示第
组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在
区间内，“
”表示第
组白鼠注
射药物后皮肤疱疹面积在
区间内（
），写出方差
，
的大小关系．（结论不要求
证明）
16．（2024·北京石景山·一模）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，
某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下
灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2 所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层
植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
9
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孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡
萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线
菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2 株，求2 株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3 株（假设
每次抽取的结果互不影响），记这3 株植物的植物类型是灌木的株数为
，求
的分布列和数学期望；
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1 中植物名称的植物中任选2 株，记此2 株植物属于不同植
物名称的概率估计值为
；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2 中植物名称的植物中任选2 株，
记此2 株植物属于不同植物名称的概率估计值为
．请直接写出
与
大小关系．（结论不要求证明）
10
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17．（2024·北京西城·一模）对正整数
，设数列
.
是
行
列的数阵，
表示
中第行第
列的数，
，且
同时满足下列三个条
件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合
或
中元素的个数为
．
(1)若
，求
的值；
(2)若对任意
中都恰有行满足第
列和第
列的数均为1．
①
能否满足
？说明理由；
②证明：
．
一、单选题
1．（2024·北京平谷·模拟预测）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．10
C．
D．80
2．（2024·北京怀柔·模拟预测）在
的展开式中，常数项是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京·模拟预测）在
的展开式中，
项的系数为（ ）
A．
B．20
C．
D．40
二、填空题
11
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4．（2024·北京·模拟预测）在
的展开式中无常数项，则
的一个取值为 ．
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）甲袋中有5 个红球和3 个白球，乙袋中有4 个红球和2 个白球，如果所有
小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入
乙袋，分别用
、
表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B 表示
第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B 的概率是 .
三、解答题
6．（2024·北京·模拟预测）某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均
为不超过10 的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：
轮次
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
第一次分数
7
6
8
9
8
5
9
7
10
7
第二次分数
8
7
9
10
8
9
8
7
7
9
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7 分，且二者之差的绝对值不超过1 分，则称其在该轮“稳定
发挥”.
(1)若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；
(2)假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记
为甲在三轮
游戏中“稳定发挥”的轮数，求
的分布列和数学期望；
(3)假设选手乙参加
轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记
为各轮较高分的算数平均值，
为各轮较低
分的算数平均值，
为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较
与
的大小（结论不要求证明）.
7．（2024·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品
的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
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(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽
取4 名顾客，试估计恰有2 名顾客购买了两种商品，1 名顾客购买了一种商品、1 名顾客购买了三种商品的
概率；
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
8．（2024·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品
的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽
取4 名顾客，试估计恰有2 名顾客购买了两种商品，1 名顾客购买了一种商品、1 名顾客购买了三种商品的
概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
9．（2024·北京怀柔·模拟预测）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500
13
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名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据
分成
，
，
，
，
，
，
，
，
九组，绘制成如图所示的
频率分布直方图.
(1)求a 的值；
(2)为进一步了解这500 名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在
，
，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3 人.记参加公益劳动
时间在
内的学生人数为X，求X 的分布列和期望；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20 名学生，用“
”表示这20 名
学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在
（单位：小时）内的概率，其中
，1，2，
，20.当
最大时，写出k 的值.（只需写出结论）.
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