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专题04 排列组合与二项式定理及数字特征与
概率统计
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）
的展开式中
的系数为（ ）．
A．
B．
C．40
D．80
【答案】D
【分析】
写出
的展开式的通项即可
【详解】
的展开式的通项为
令
得
所以
的展开式中
的系数为
故选：D
【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.
2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
1
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制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和
的关系，
其中T 表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是
．下列结论中正确的是（ ）
A．当
，
时，二氧化碳处于液态
B．当
，
时，二氧化碳处于气态
C．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
D．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据
与
的关系图可得正确的选项.
【详解】当
，
时，
，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.
当
，
时，
，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.
当
，
时，
与4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错
误.
当
，
时，因
, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.
故选：D
二、解答题
3．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40 天的价格变
化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表
示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段
价格变化
2
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第1 天到第20 天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21 天到第40 天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4 天，试估计该农产品价格在这4 天
中2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41 天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)不变
【分析】（1）计算表格中的
的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第
天的情况.
【详解】（1）根据表格数据可以看出，
天里，有
个
，也就是有
天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这
天里，有
天上涨，
天下跌，
天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是
，
，
，
于是未来任取
天，
天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第
天处于上涨状态，从前
次的
次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有
次，不变的
有次，下跌的有
次，
因此估计第
次不变的概率最大.
4．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含
）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
3
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乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
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P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85 的概率为
，甲获得9.80 的概率为
，
乙获得9.78 的概率为
.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
5．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k 合1” 混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行
1 次检测,如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结
束:如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1 次检测,得到每人的检测
结果，检测结束.
现对100 人进行核酸检测，假设其中只有2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100 人随机分成10 组，每组10 人，且对每组都采用“10 合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2 人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2 人分在同一组的概率为
.设X 是检测的总次数，求X 的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100 人随机分成20 组，每组5 人，且对每组都采用“5 合1”混采核酸检测.设Y 是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）①
次；②分布列见解析；期望为
；（2）
．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出
，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10 次；
所以总检测次数为20 次；
②由题意，
可以取20，30，
，
，
5
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则
的分布列:
所以
；
（2）由题意，
可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为
，不在同一组的概率为
，
则
.
一、单选题
1．（2024·北京延庆·一模）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二项式定理直接求解.
【详解】设
，
令
，则
，故
的系数为
.
故选：D
2．（2024·北京东城·一模）已知
，若
，则
的取
值可以为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
6
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【答案】A
【分析】借助赋值法计算即可得.
【详解】令
，有
，
即
或
.
故选：A.
3．（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4 个红球和2 个白球．若从中不放回地取球2 次，每次
任取1 个球，记“第一次取到红球”为事件
，“第二次取到红球”为事件
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件概率公式求解即可.
【详解】
.
故选：C.
4．（2024·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个
音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18 种
B．24 种
C．36 种
D．72 种
【答案】C
【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.
【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有
，
再将商、角插入4 个空中的2 个，有
，
所以共有
种．
故选：C．
二、填空题
7
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5．（2024·北京门头沟·一模）
的展开式中常数项为 (用数字作答)
【答案】
【分析】根据题意，由题意可得二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
展开式的通项公式为
，
令
可得
，则展开式中的常数项为
.
故答案为：
6．（2024·北京海淀·一模）若
，则
；
.
【答案】
【分析】借助赋值法，分别令
、
、
计算即可得.
【详解】令
，可得
，即
，
令
，可得
，即
，
令
，可得
，即
，
则
，
即
，则
，
故
.
故答案为：
；
.
7．（2024·北京房山·一模）设
，则
；当
时，
．
【答案】
8
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【分析】令
可求出
；先求出
的通项，令
和
，求出
，再由
，即可求出
的值.
【详解】令
可得：
，
的通项为：
，
令
可得
，
令
可得
，
所以由
可得
，所以
.
故答案为：；
.
三、解答题
8．（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100
人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结
果整理得到如下频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1500 人，试估计阅读速度达到620 字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3 人，设这3 人中阅读速度达到540 字/分钟及以上的人数
为
，求
的分布列与数学期望
；
(3)若某班有10 名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，
723，776，从这10 名学生中随机抽取3 人，设这3 人中阅读速度达到540 字/分钟及以上的人数为
，试判
9
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断数学期望
与（2）中的
的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；
（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540 字/分钟及以上的概率，得到
的可能取值及其对应概率
即可得，再计算期望即可；
（3）借助期望计算公式计算即可得.
【详解】（1）
，
故可估计阅读速度达到620 字/分钟及以上的人数为
人；
（2）从中任取一人，其阅读速度达到540 字/分钟及以上的概率为：
，
的可能取值为、、
、，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为：
；
（3）
，理由如下：
10
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这10 名学生中，阅读速度达到540 字/分钟及以上的人数为人，
的可能取值为、
、，
，
，
，
则
，
故
.
9．（2024·北京海淀·一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，
并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100 名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相
应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
4
10
3
a
2
b
1
23
0
2
(1)当
时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3 分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80 分的学生中随机抽取2 名，记X 为这2 名学生的科普过程性积分之和，
估计X 的数学期望
；
(2)从该校科普过程性积分不高于1 分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为
，上述100 名学生科
11
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普测试成绩的平均值记为
.若根据表中信息能推断
恒成立，直接写出a 的最小值.
【答案】(1)（i）
；（ⅱ）
；
(2)7.
【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3 分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；
（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期
望即得.
（2）求出
的最大值，再求出100 名学生科普测试成绩的平均值
的最小值，由题设信息列出不等式求解
即得.
【详解】（1）当
时，
（i）由表知，科普过程性积分不少于3 分的学生人数为
，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3 分的频率为
，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3 分的概率估计为
.
（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80 分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3 分的频
率为
，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80 分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3 分的概
率估计为
，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80 分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4 分的
概率估计为
，
的所有可能值为6，7，8，
，
，
，
所以
的数学期望
.
（2）由表知，
，则
，
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从该校科普过程性积分不高于1 分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为
，则
的最大值为69，
100 名学生科普测试成绩的平均值记为
，要
恒成立，当且仅当
，
显然
的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此
，则
，解得
，
所以根据表中信息能推断
恒成立的a 的最小值是7.
10．（2024·北京西城·一模）10 米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位
选手采用立姿射击60 发子弹，总环数排名前8 的选手进入决赛．三位选手甲乙丙的资格赛成绩如下：
､
､
环数
6 环
7 环
8 环
9 环
10 环
甲的射出频
数
1
1
10
24
24
乙的射出频
数
3
2
10
30
15
丙的射出频
数
2
4
10
18
26
假设用频率估计概率，且甲乙丙的射击成绩相互独立．
､
､
(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
(2)若甲乙各射击
､
2 次，估计这4 次射击中出现2 个“9 环”和2 个“10 环”的概率；
(3)甲乙丙各射击
､
､
10 次，用
分别表示甲乙丙的
､
､
10 次射击中大于
环的次数，其中
．写出一个
的值，使
．（结论不要求证明）
【答案】(1)甲进入决赛，理由见解析
(2)
(3)
或8
【分析】（1）分别计算出甲和丙射击成绩的总环数，进行比较即可判断.
（2）先根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9 环的概率和甲、乙命中10 环的概率；再根
据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.
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（3）根据题意可知
服从二项分布，利用二项分布求出每一个
对应的
即可解答.
【详解】（1）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为
，
甲射击成绩的总环数为
．
因为
，
所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．
（2）根据题中数据：
“甲命中9 环”的概率可估计为
；
“甲命中10 环”的概率可估计为
；
“乙命中9 环”的概率可估计为
；
“乙命中10 环”的概率可估计为
．
所以这4 次射击中出现2 个“9 环”和2 个“10 环”的概率可估计为：
（3）
或8．
根据题中数据：
当
时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为
；
由题意可知：
，
，
.
此时
，
，
，
14
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不满足
.
当
时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为
；
由题意可知：
，
，
.
此时
，
，
，
满足
.
当
时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为
；
由题意可知：
，
，
.
此时
，
，
，
满足
.
当
时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为
；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为
；
15
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由题意可知：
，
，
.
此时
，
，
，
不满足
.
所以
或8．
11．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展
学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由
两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文
中随机抽取10 篇，这10 篇论文的评分情况如下表所示.
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
(1)从这
篇论文中随机抽取1 篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；
(2)从这
篇论文中随机抽取3 篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为
，求
的分布列及数学期望；
(3)对于序号为
的论文，设评委甲的评分为
，评委乙的评分为
，分别记甲、乙两位评委
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对这10 篇论文评分的平均数为
，
，标准差为
，
，以
作为序号为的论文的标
准化得分.对这10 篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2 的论文的两种
排名结果是否相同?（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)相同
【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可；
（2）
的可能取值为，，
，利用超几何分布分别求出概率，然后再求期望即可；
（3）计算序号为2 的论文和序号为3 的论文的标准化得分的排名即可.
【详解】（1）设事件
为从这10 篇论文中随机抽取1 篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过，
又在这10 篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有
篇，
所以
；
（2）由已知
的可能取值为，，
，
，
，
所以
的分布列为
所以
的数学期望为
；
（3）根据数据序号为2 的论文初评得分排名为第
，
由已知
，
，
明显序号为7 的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然为第，
17
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现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化，
根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故
，
所以
，即
，
所以序号为2 的论文标准化得分排名为第
，
所以序号为2 的论文的两种排名结果相同.
12．（2024·北京门头沟·一模）2024 年1 月11 日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109 新线高速公
路（简称新高速)全线35 坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到
，预计今年上半年开始通
车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40 分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于
安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来
了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200 位打算利用新高速出行的居民，对
其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速
的出口)，具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
项
目
斋堂出口
清水出
口
安家庄出口
雁翅出
口
火村出口
西台子出口
上
班
40
8
2
5
3
2
旅
游
30
20
10
10
12
8
探
亲
16
10
10
5
5
4
(1)从被调查的居民中随机选1 人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2 人，从出行旅游
的人中随机抽取1 人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为
，求
的分布列和数学期望；
(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “
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”表示此人从斋堂出口下高速，“
”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新
高速出行旅游的人中随机抽取1 人，用 “
”表示此人从斋堂出口下高速，“
”表示此人不从
斋堂出口下高速，写出方差
的大小关系． (结论不要求证明）．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据古典概型在清水出口下高速的人数比总样本数即可得到概论。
（2）由题意，随机变量
的所有可能为0，1，2，3，分别求出概率，
即可求出分布列，利用期望公式
求出期望。
（3）通过对
，
方差的估算，即可得出
。
【详解】（1）解：样本中被调查的居民人数为200，
其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10，
所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为：
，
（2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1 人，此人从斋堂出口下高速的概率为
；
从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1 人，此人从斋堂出口下高速的概率为
，
由题设，
的所有可能取值为0，1，2，3.
,
，
，
19
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，
所以随机变量X 的分布列为：
0
1
2
3
所以X 的数学期望
.
（3）解：
13．（2024·北京延庆·一模）第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023 年12 月16 日至17 日在北京延
庆举行，赛程时间安排如下表：
12 月16 日
星期
六
9:30
单人雪橇第1 轮
10:30
单人雪橇第2 轮
15:30
双人雪橇第1 轮
16:30
双人雪橇第2 轮
12 月17 日
星期
日
9:30
单人雪橇第3 轮
10:30
单人雪橇第4 轮
15:30
团体接力
(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记
为看到双人雪橇的次数，求
的分布列及期望
；
(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“
”表示小明在周六看到单人雪橇，“
” 表示小明
在周六没看到单人雪橇，“
”表示小明在周日看到单人雪橇，“
”表示小明在周日没看到单人
雪橇，写出方差
，
的大小关系．
【答案】(1)
20
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(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据分类乘法计数原理及古典概型求解；
（2）根据题意求出概率，列出分布列，求出期望即可；
（3）分别计算
，即可得解.
【详解】（1）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件
.
由表可知，每天随机观看一场比赛，共有
种不同方法，
其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有
种不同方法．
所以
．
（2）随机变量
的所有可能取值为
．
根据题意，
，
，
．
随机变量
的分布列是：
数学期望
．
（3）由题意，
，
，
所以
，
；
21
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因为
，
，
所以
，
；
所以
.
14．（2024·北京房山·一模）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我
国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动
员
三级运动员
男子跳
远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳
远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为
预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下
数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望
；
(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6 次，取6 次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比
赛中，甲已完成6 次试跳，丙已完成5 次试跳，成绩（单位：m）如下表：
第1 跳
第2 跳
第3 跳
第4 跳
第5 跳
第6 跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a
若丙第6 次试跳的成绩为a，用
分别表示甲、丙试跳6 次成绩的方差，当
时，写出a 的值．
22
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（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
或
.
【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；
（2）由X 的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望
；
（3）当两人成绩满足
的模型，方差相等.
【详解】（1）甲以往的10 次比赛成绩中，有4 次达到国家二级及二级以上运动员标准，
用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为
；
（2）设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件
，
以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有
，
，
，
X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，
则X 可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
估计X 的数学期望
；
（3）甲的6 次试跳成绩从小到大排列为：
，
设这6 次试跳成绩依次从小到大为
，
23
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丙的5 次试跳成绩从小到大排列为：
，
设丙的6 次试跳成绩从小到大排列依次为
，
当
时，满足
，
成立；
当
时，满足
，
成立.
所以
或
.
15．（2024·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选
20 只健康白鼠做试验．将这20 只白鼠随机分成两组，每组10 只，其中第1 组注射药物A，第2 组注射药
物B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：
）
第1 组（只）
3
4
1
2
0
第2 组（只）
1
3
2
3
1
(1)现分别从第1 组，第2 组的白鼠中各随机选取1 只，求被选出的2 只白鼠皮肤疱疹面积均小于
的
概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在
区间内的白鼠中随机选取3 只抽血化验，求第2 组中被抽中白鼠只数
的分布列和数学期望
；
(3)用“
”表示第
组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在
区间内，“
”表示第
组白鼠注
射药物后皮肤疱疹面积在
区间内（
），写出方差
，
的大小关系．（结论不要求
证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
24
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【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意
的可能取值为、
、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（3）分别求出
，
，
，
，从而求出
、
，即可比较.
【详解】（1）记被选出的2 只白鼠皮肤疱疹面积均小于
为事件
，
其中从第1 组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于
的概率为
，
从第
组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于
的概率为
，
所以
.
（2）依题意
的可能取值为、
、，
且
，
，
，
所以
的分布列为：
所以
.
（3）依题意可得
，
，
所以
，所以
，
又
，
，
所以
，
所以
，
25
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所以
.
16．（2024·北京石景山·一模）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，
某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下
灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2 所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层
植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡
萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线
菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
26
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(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2 株，求2 株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3 株（假设
每次抽取的结果互不影响），记这3 株植物的植物类型是灌木的株数为
，求
的分布列和数学期望；
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1 中植物名称的植物中任选2 株，记此2 株植物属于不同植
物名称的概率估计值为
；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2 中植物名称的植物中任选2 株，
记此2 株植物属于不同植物名称的概率估计值为
．请直接写出
与
大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析，期望
(3)
【分析】（1）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解；
（2）根据二项分布概率公式，即可求解；
（3）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.
【详解】（1）表1 中的灌木有
株，
乔木幼苗有
株，共有100 株，
所以
，
所以求2 株植物的类型都是乔木幼苗的概率为
；
（2）表2 中的灌木有
株，
乔木幼苗有
株，木质藤本有8 株，
抽取1 株是灌木的概率为
，
由题意可知，
,
27
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，
，
，
，
分布列如下，
0
1
2
3
；
（3）表1 中植物间的数量差距较大，表2 中每种植物的数量差不多，
所以选出来不同种类，表2 的概率更大，所以
.
17．（2024·北京西城·一模）对正整数
，设数列
.
是
行
列的数阵，
表示
中第行第
列的数，
，且
同时满足下列三个条
件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合
或
中元素的个数为
．
(1)若
，求
的值；
(2)若对任意
中都恰有行满足第
列和第
列的数均为1．
①
能否满足
？说明理由；
②证明：
．
【答案】(1)
(2)①不满足，理由见解析；②证明见解析
28
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【分析】（1）记
，计算出
、
、
即可得；
（2）①由题意可得
中满足
的
的个数共有
个，亦可得其为
个，当
时，可
得
，此方程无解，故不满足；②满足
，但
的
的个数为
，亦可得
其为
，即有
，借助该等式表示出
后放缩即可得.
【详解】（1）记
，
则
，
，
，故
；
（2）①
不满足
，理由如下：
假设
满足
，
因为
的每行恰有三个1，故
中满足
的
的个数共有
个，
另一方面，从
中任选两列共有
种可能，且对任意两列，
都恰有行使得这两列的数均为1，故
中满足
的
的个数共有
个，
所以
，当
时，得
，此方程无解，
所以
不满足
；
②由①可得
，即
，
下面考虑满足
，但
的
的个数：
29
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对
中满足
和3 的
行，每行恰有两组
使
且
，
所以满足
，但
的
的个数为
，
设数列
中有
项为
项为0，
满足
，但
的
的个数为
，
所以满足
，但
的
的个数为
，
所以
，
所以
．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键点在于结合定义，得到满足
，但
的
的个数为
且为
.
一、单选题
1．（2024·北京平谷·模拟预测）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．10
C．
D．80
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出
的系数.
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【详解】在
的展开式中，
项为
，
所以
的系数为
.
故选：A
2．（2024·北京怀柔·模拟预测）在
的展开式中，常数项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由二项式定理得展开通项并整理，令
，求出回代到展开通项即可求解.
【详解】
的展开式通项为
，
由题意令
，解得
，从而常数项是
.
故选：A.
3．（2024·北京·模拟预测）在
的展开式中，
项的系数为（ ）
A．
B．20
C．
D．40
【答案】D
【分析】
由题意写出展开式通项并化简，令
，解得
，回代展开通项计算即可得解.
【详解】在
的展开式通项为
，
由题意令
，解得
，所以
项的系数为
.
故选：D.
二、填空题
31
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4．（2024·北京·模拟预测）在
的展开式中无常数项，则
的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式及常数项的特点即可求解.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
由
，得
，又
,
因此
，所以
的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一）.
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）甲袋中有5 个红球和3 个白球，乙袋中有4 个红球和2 个白球，如果所有
小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入
乙袋，分别用
、
表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B 表示
第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B 的概率是 .
【答案】
【分析】根据全概率公式即可求解.
【详解】因为
，
所以
,
故答案为：
三、解答题
6．（2024·北京·模拟预测）某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均
为不超过10 的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：
轮次
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
第一次分数
7
6
8
9
8
5
9
7
10
7
32
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第二次分数
8
7
9
10
8
9
8
7
7
9
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7 分，且二者之差的绝对值不超过1 分，则称其在该轮“稳定
发挥”.
(1)若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；
(2)假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记
为甲在三轮
游戏中“稳定发挥”的轮数，求
的分布列和数学期望；
(3)假设选手乙参加
轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记
为各轮较高分的算数平均值，
为各轮较低
分的算数平均值，
为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较
与
的大小（结论不要求证明）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
(3)
【分析】
（1）该选手在第1、3、4、5、7、8 轮稳定发挥，由此即可求解；
（2）首先求出甲在某一轮中发挥稳定的概率为0.6，从而可知
服从二项分布
，进一步即可求得
分布列以及数学期望；
（3）首先求得
关于
的表达式，进一步即可比较大小.
【详解】（1）直接计算知该选手在第1、3、4、5、7、8 轮稳定发挥，故
；
（2）
甲在每轮游戏中“稳定发挥”的概率为
，
，
的可能取值为0，1，2，3，
，
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，
这就得到
的分布列为
0
1
2
3
二项分布的数学期望
.
（3）
设在第
轮中，较高分和较低分分别为
和
，
则
，且
，
，
故
，且
从而
.
即
.
7．（2024·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品
的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
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(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽
取4 名顾客，试估计恰有2 名顾客购买了两种商品，1 名顾客购买了一种商品、1 名顾客购买了三种商品的
概率；
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)顾客购买丙的可能性较大.
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）根据已知条件，利用相互独立的事件的概率公式求解；
（3）在这
名顾客中，分别求出同时购买甲、丙和甲、丁的概率，从而得到结论.
【详解】（1）从统计表可以看出，在这
位顾客中，有
位顾客同时购买了甲、乙两种
商品，
所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为
；
（2）设事件
为顾客购买了两种商品，事件
为顾客购买了一种商品，事件
为顾客购买了三种商品；
从统计表可以看出，
可以估计为
，
可以估计为
，
可以估计为
，
随机抽取4 名顾客，试估计恰有2 名顾客购买了两种商品，1 名顾客购买了一种商品、1 名顾客购买了三种
商品的概率为
，
所求的概率可估计为
；
（3）在这
名顾客中，同时购买甲、丙的概率为
，
在这
名顾客中，同时购买甲、丁的概率为
，
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该顾客购买丙的可能性较大.
8．（2024·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品
的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽
取4 名顾客，试估计恰有2 名顾客购买了两种商品，1 名顾客购买了一种商品、1 名顾客购买了三种商品的
概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)0.1176
(3)丙的可能性最大
【分析】（1）先根据统计表得出在这1000 位顾客中同时购买了甲、乙两种商品的人数；再利用频率估计
概率即可.
（2）先根据统计表得出在这1000 位顾客中顾客购买了两种商品、顾客购买一种商品有
及顾客购买了
三种商品的人数；再利用频率估计概率得出各自的概率；最后利用相互独立的概率公式即可求解.
（3）根据统计表求出在这1000 位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率及顾客同时购买了甲、
丁两种商品的概率，进行比较即可判断.
【详解】（1）从统计表可以看出，在这1000 位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有
（位）.
所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为
．
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（2）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有
（位）；顾客购买一种商品有
（位）；顾客购买了三种商品
（位）；
所以
可估计为
，
可估计为
，
可估计为
．
依题意，在随机抽取4 名顾客中，求恰有2 名顾客购买了两种商品，1 名顾客个购买一种商品，一名顾客
购买了三种商品的概率为：
．
因此所求的概率可估计为0.1176．
（3）因为在这1000 位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为
；
顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为
．
所以该顾客购买丙的可能性最大.
9．（2024·北京怀柔·模拟预测）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500
名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据
分成
，
，
，
，
，
，
，
，
九组，绘制成如图所示的
频率分布直方图.
(1)求a 的值；
(2)为进一步了解这500 名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在
，
，
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三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3 人.记参加公益劳动
时间在
内的学生人数为X，求X 的分布列和期望；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20 名学生，用“
”表示这20 名
学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在
（单位：小时）内的概率，其中
，1，2，
，20.当
最大时，写出k 的值.（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出
的值即可；
（2）由频率分布直方图求出这500 名学生中参加公益劳动时间在
，
，
三组内的学生
人数分别为50 人，40 人，10 人，采用分层抽样的方法抽取了10 人，则从参加公益劳动时间在
内的
学生中抽取4 人，现从这10 人中随机抽取3 人，则
的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，
由此能求出
的分布列，由分布列即可计算期望；
（3）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得
的取值范围，即可得解.
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得
；
（2）由频率分布直方图得：
这500 名学生中参加公益劳动时间在
，
，
三组内的学生人数分别为：
人，
人，
人，
若采用分层抽样的方法抽取了10 人，
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则从参加公益劳动时间在
内的学生中抽取：
人，
现从这10 人中随机抽取3 人，则
的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
3
则其期望为
；
（3）由（1）可知参加公益劳动时间在
的概率
，
所以
，
依题意
，即
，
即
，解得
，
因为
为非负整数，所以
，
即当
最大时，
.
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