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专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.................................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离..............................10
三、专项训练.......................................................16
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体
积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥
四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当
线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线，
交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
1
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二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23·24 高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1 的正方形
中，
分别是
的中点，
沿
把这个正方形折成一个四面体使
三点重合，重合后的点记为
.则在四面体
中，点
到平面
的距离为 .
【答案】
【详解】由题意，折叠后的四面体
如图所示，
2
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因为正方形
边长为，
分别是
的中点，
所以
，即
，
又
平面
，所以
平面
，
同时由
，得
，
又
，
所以
，
，
设
到平面
的距离为，
则
，即
，解得
.
故答案为：
.
2．（23·24 高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P 在圆柱
的底面圆O 的圆周上，
，圆O
的直径
，圆柱的高
．
(1)求圆柱的体积；
(2)求点A 到平面
的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径
，圆柱的高
，
圆柱体积为：
；
（2）设点
到平面
的距离为，
在等腰
中，由
，则
，
为直径，
，
在
中，
，
3
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则
，
由
底面
，
底面
,所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
平面
，
故
，
，
，
由等体积法
，得
，
解得：
．
即点
到平面
的距离为
．
3．（17·18 高二下·河北唐山·期末）如图，已知长方体
中，
，
，连接
，过B 点
作
的垂线交
于E，交
于F．
(1)求证：
平面
；
(2)求点A 到平面
的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：根据题意，
平面
，
平面
，得
，
又
（已知），
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，得
.
同理，
平面
，得
.
因为
平面
，
平面
，
，
，
，
所以
平面
.
4
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（2）因为
平面
，所以点A 到平面
的距离等于点B 到平面
的距离，设为d，
因为
，
，即
，
，
所以
，
.
故点A 到平面
的距离等于
.
4．如图，在正方体
中，
.
(1)求证：
∥平面
；
(2)求点
到面
的距离.
【答案】(1)答案见详解
(2)
【详解】（1）∵
∥
,
平面
，
平面
，
∴
∥平面
（2）连接
,设点
到面
的距离为，
由已知可得
,
由正方体的性质可知
平面
,则
,
∵
，
∴
，解得
，
即点
到面
的距离为
.
5
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5．（23·24 高二上·江西九江·阶段练习）如图所示的五边形
中
是矩形，
，
沿
折叠成四棱锥
.
(1)从条件①
；②
；③
中任选两个作为补充条件，证明：平面
平面
：
(2)在（1）的条件下，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）选条件①②：
证明：由题意知，
，
，所以
，
在
中，
，
，则
，
，
又因为
为矩形，
，则
，所以
，
在
中，
，由余弦定理可得
，
解得
，
所以
，即
，
又因为
，
、
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
6
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所以平面
平面
.
选条件①③：
证明：由题意知，
，
，所以
，
在
中，
，
，则
，
，
又因为
为矩形，
，则
，所以
，
又
，所以
，即
，
又因为
，
、
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以平面
平面
.
选条件②③：
证明：由题意知，
，
，所以
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，解得
，
所以
，即
，
又因为
，
、
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以平面
平面
.
（2）因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
，
所以点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离.
由（1）知，
平面
，
，
又
，
，
所以
，
，
所以
，即
，
所以
，
在
中，
，
，则
，
7
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所以在
中，由余弦定理得
，则
，
所以
，
设点
到平面
的距离为，则点
到平面
的距离也为，
由
可得
，即
，解得
，
故点
到平面
的距离为
.
6．（23·24 高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，其中
，
，
底面
，
，
为
的中点，
为
的中点.
(1)证明：直线
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：
如上图，取
中点
，连接
、
，
∵
为
的中点，
为
的中点，
为
的中点，
∴在矩形
中
，在
中
，
又∵
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，
又∵
平面
，
平面
，
，
8
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∴平面
平面
，
又∵
平面
，∴
平面
.
（2）解：
如上图，连接
，由题意，
，
，
，
∵
底面
，
平面
，
平面
，
∴
，则
是等腰直角三角形，
∴
，
∵矩形
中
，
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，又∵
平面
，
∴
，则
是直角三角形，
，
∴
.
∵
底面
，∴
是三棱锥
的高.
∵底面
是矩形，∴
.
∵点
到平面
的距离就是三棱锥
的高，
∴由
得：
，
即
，解得：
，
即点
到平面
的距离为
.
7．（23·24 高二上·上海杨浦·期中）如图,
为菱形
外一点,
平面
,
,
为棱
的中点.
9
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(1)求证:
平面
;
(2)若
,求
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接
,如图:
因为
,四边形
为菱形,
所以
,
又
为棱
的中点,
所以
,
因为
,
所以
,
因为
平面
,
平面
,
所以
,
又
平面
,
平面
,
所以
平面
.
（2）因为
平面
,
平面
,
所以
平面
,
则
到平面
的距离即为点
到平面
的距离,
设点
到平面
的距离为
,
因为
,
,
平面
,
,四边形
为菱形,
10
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所以
,
解得
,
即
到平面
的距离为
.
题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23·24 高二上·广东东莞·阶段练习）已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，M 是
的中点，N 是
的中点，P 是
的中点，则点A 到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：如图，以A 为原点，
，
，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，令
，则
，
，
所以平面
的一个法向量
，
所以
，
即点A 到平面
的距离为
．
11
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故选：D.
2．（23·24 高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥
中，平面
面
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取
中点
，连接
，
由题意可知：
，则
∥
，
且
，则
为为平行四边形，
由
，所以四边形
为矩形，
可知
，则
，
又因为
，可知
，即
，
且平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
12
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所以
平面
.
（2）如图所示，以
为原点，
分别为
轴、
轴，过
作垂直
平面的直线，为轴，建立空
间直角坐标系.
则
，
可得
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，可得
，
所以
到平面
的距离为
.
3．（23·24 上·沧州·阶段练习）如图所示，四棱锥
的底面是矩形，
，
，且
底面
，若边
上存在异于
的一点
，使得直线
．
(1)求
的最大值；
(2)当
取最大值时，求异面直线
与
所成角的余弦值；
(3)当
取最大值时，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
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【详解】（1）
建立如图空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
则
，
．
因为
，所以
，即
．
即
，
当
时，
的最大值为．
（2）由（1）可知，当
取最大值时，
，
，
所以
．
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
．
（3）设平面
的法向量为
，则
，
，
因为
，
，
，
所以
，
取
，则
，
，所以
，
所以
，
因为
到平面
的距离
等于
在
上的射影长，
所以
．
4．（23·24 上·北辰·期中）如图，
且
且
且
平面
．
14
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(1)若
为
的中点，
为
的中点，求证：
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的正弦值；
(3)若点
在线段
上，且直线
与平面
所成的角为
，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）取GD 中点为Q，连接NQ，MQ.
因
为
的中点，
为
的中点，Q 为GD 中点，
由三角形及梯形中位线定理，可得
.
又注意到，
平面EDC，
平面EDC，
平面MNQ，
，则平面
平面
.
又
平面MQN，则
平面
.
（2）因
平面ABCD，
平面ABCD，
则
，又
，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.
则
.
.
设平面
和平面
的法向量分别为
.
则
，取
；
，取
.
设平面
和平面
夹角为
，则
.
15
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则平面
和平面
夹角的正弦值为
.
（3）由（2），设
，其中
，则
又由题可得，平面
的一个法向量可取
.
结合直线
与平面
所成的角为
，
则
.
则
，
.
设平面
法向量为
，则
.
取
，则点
到平面
的距离
.
5．（重庆市部分区2022-2023 学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体
中，
．
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(1)求证：
；
(2)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，
为z 轴建立如图所示的坐标系．
∵
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，∴
；
（2）∵
，
，∴
，
设面
的法向量为
，
∵
，
，
∵
，
，∴
，
令
，则
，
，∴
，
设
到面
的距离为d，
∴
.
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三、专项训练
一、单选题
1．（23·24 高二上·陕西·阶段练习）如图，在正四棱柱
中，
，
．点
，
，
分别在棱
，
，
上，
，
，
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
．
设平面
的法向量为
，
则
令
，
得
．
点
到平面
的距离为
．
故选：D.
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2．（23·24 高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体
中，
为线段
的
中点，
为
线段的中点，则直线
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意易知直线
面
，
所以
到面
的距离即为直线
到平面
的距离.
建立如图所示坐标系
，则：
，
，
，
，
,
所以
设面
的法向量
，则：
，即
取
，则
，所以
所以
到面
的距离
.
故选：D
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3．（23·24 高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，
分别是
的中
点，则直线
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图建立空间直角坐标系，则
，
，
所以
,
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，所以直线
到平面
的距离即为点
到平面
的距离，
所以直线
到平面
的距离为
.
故选：D.
4．（23·24 上·邯郸·阶段练习）在正三棱柱
中，
，点
分别为棱
的中
点，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】取
的中点
，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，轴建立空间直角
坐标系，
20
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则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
所以
令
，解得
，
所以平面
的一个法向量为
，
所以点
到平面
的距离
.
故选：C.
5．（23·24 上·绍兴·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，E 为
的中点，F 为
的三等
分点靠近C 点，则点E 到平面BDF 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在棱长为1 的正方体
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
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设平面
的法向量
，则
，令
，得
，
所以点
到平面
的距离为
.
故选：A
6．（23·24 高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体
中，
，点B 到平
面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意得点
到平面
距离为三棱锥
的高，
设点
到平面
距离为
，取
中点
，连接
，
因为
为长方体，所以
，所以
，
，
，
，
所以
，
，解得
.
故选：C.
7．（23·24 高二上·湖南益阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱
中，
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为棱
的中点，则点
到平面
的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，连接
，
因为三棱柱
为直三棱柱，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，又因为
，
平面
，
所以
平面
，所以点
到平面
的距离为
，
因为
，所以
，
，
因为
为棱
的中点，且
平面
，则易知
，
则
，则
，
设点
到平面
的距离为
，
则
，即
，
即
，解得
．
故选：C.
8．（23·24 高二上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，
从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指
底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所
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示的“堑堵”
，其中
，若
，则
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
取
中点
，连结
，
根据题意，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
，所以
，
又平面
平面
，
平面
所以
平面
，且
由题意可知
，
，
则
，即
为直角三角形，
，
设
到平面
的距离为
，且
，
即
，
24
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.
故选：B
9．（23·24 高三上·河北沧州·阶段练习）在三棱柱
中，
平面
，
，
，点D 是
的中点，点E 是平面
的中心，则点E 到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图所示，连接
，则点
在
上，再连接
交
于点
，则
为
的中点，
因为
为
的中点，可得
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以点
到平面
的距离等价于点
到平面
的距离，
设点
到平面
的距离为
，由
，即
，
由
，可得
,
又由
，
，所以
，
所以
为直角三角形，所以
，
所以
，即点
到平面
的距离为
.
故选：C.
二、填空题
10．（23·24 高二上·宁夏固原·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，点
到平面
的距
离为 .
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【答案】
/
【详解】如图所示，
设
到平面
的距离为h，
由
得
，
所以
，
因为正方体的棱长为1，所以
，
，
，
所以
是等边三角形，
所以
，
所以
，即
到平面
的距离为
.
故答案为：
.
11．（23·24 高二上·山西太原·阶段练习）如下图所示，在平行六面体
中，各棱长均为2，
已知
，
，则点A 到平面
的距离 .
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【答案】
/
【详解】取
的中点，记为
，连接
，如下图：
在
中，
，
，且
为
中点，所以
，同理可得：
，
由
，则
，且
，
因为
，
平面
，所以
平面
在
中，由余弦定理可得：
，
由
，
，解得
，
在
中，
，
所以
，易知
，
三棱锥
的体积
，
在
中，由余弦定理可得：
，
则
，
，
设
到平面
的距离为，
.
27
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故答案为：
.
12．（23·24 高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD 中，平面
平面ABCD，底面ABCD 是边
长为2 的正方形，
是等边三角形，M，N 分别为AB 和PC 的中点，则平面DMN 上任意一点到底面
ABCD 中心距离的最小值为 .
【答案】
【详解】
连接
相交于点
，
点为底面
的中心，取
中点为
，连接
，则
，因为
平面
平面ABCD，则
平面
，
以点
为原点，分别以
为
轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
且底面ABCD 边长为2，
是等边三角形，则
，
，则
，
，则
，
，设平面
的法向量为
，
则
，解得
，取
，则
，
28
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，所以
，且平面DMN 上任意一点到底面ABCD 中心距离的最小值即为点
到平
面
的距离，则
.
故答案为：
.
13．（23·24 高二上·天津西青·阶段练习）如图，棱长为2 的正方体
，点
是棱
的中点，
点
到直线
的距离为 ．
【答案】
/
【详解】以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体
的棱长为2，所以
，
，
，
所以直线
方向向量
，又
，
，
所以
在
上的投影长为
，
所以点
到直线
的距离为
故答案为：
.
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三、解答题
14．（23·24 高三上·四川成都·阶段练习）已知正方形
的边长为2，
为等边三角形（如图1 所
示）．沿着
折起，点
折起到点
的位置，使得侧面
底面
．
是棱
的中点（如图2
所示）．
(1)求证：
；
(2)求点
与平面
的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，取AB 中点O，连接
交
于
,
∵
为等边三角形，
∴
，
又∵平面
平面
，
平面
，平面
平面
，
故
平面
，
而
平面
，∴
，
又∵
,
，
∴
.
∴
，
又∵
平面
,
平面
,
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴
.
（2）设点
与平面
的距离为
，
∵ABCD 是正方形，△PAB 为等边三角形，
30
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∴
,
，
又∵平面
平面
，
平面
，平面
平面
，
故
⊥平面
，
而
平面
，所以，
，
∴在
中，
，
∴
,则易得
，
由（1）知，
平面
，
∴
为三棱锥
的高，
∴
又∵
，
得
.
故点
与平面
的距离为
.
15．（23·24 高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知一个组合体由一个圆锥
与一个圆柱
构成（圆
锥底面与圆柱上底面重合.平面
为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.
(1)求这个组合体的体积
(2)设
为半圆弧
的中点，求
到面
的距离.
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）依题意，圆锥的底面圆半径为4，而其高为3，则圆锥的体积
，
圆柱的底面圆半径为4，高为5，则圆柱的体积
，
所以这个组合体的体积为
.
（2）连接
，由
为半圆弧
的中点，得
，
，
31
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而
平面
，
平面
，则
，
，
平面
，
于是
平面
，显然圆锥与圆柱有共同的旋转轴，即点
在平面
内，
因此三棱锥
的高为
，且
，
设
到平面
的距离为，由
，得
，
即
，从而
，
故
到平面
的距离为
.
16．（23·24 高三上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱
中，点
为侧棱
的中点，且
.
(1)证明：平面
平面
(2)若二面角
的大小为
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）法一：
取
中点
的中点
，连接
与
，
则
，且
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又
为
中点，
，且
，
四边形
是平行四边形，
.
在正三棱柱中，
平面
平面
，
，又
为等边三角形，
，
又
平面
，
平面
，又
平面
，
平面
平面
，
法二如图，以
原点，垂直于
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
取
，则
又平面
的法向量为
，
，
平面
平面
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（2）方法一：取
中点
，连接
，
，
在正三棱柱中，
，
是二面角
的平面角，
又
平面
，
设点
到平面
的距离为，则
，
，即点
到平面
的距离为
.
方法二：由（1）得
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
，取
，则
又平面
的法向量为
，
二面角
的大小为
，
由于
，
，又
，
点
到平面
的距离为
.
17．（23·24 高二上·辽宁·阶段练习）如图，六面体
中，
面
且
面
，
，
，
.
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(1)求证：
平面
；
(2)若二面角
的余弦值为
，求点
到直线
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为
面
且
面
，
面
且
面
，
所以
且
，
在面
中，
，
同理，在面
中,
，
因为
，
所以
，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，
由
面
，
面
，知
，
又因为
，
面
，
面
,
所以
面
.
（2）取
中点
，由题可知，
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
面
，故
面
，
又因为
为正三角形，所以
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，以
的方向分别为
，
，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
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设
，则
，
，
，
，
，
，
，
设面
的法向量为
，则有
，
不妨设
，得
，
又
面
，故面
的法向量不妨设为
，
由题意
，解得
，
于是，
，
，
所以点
到到直线
的距离为
.
18．（23·24 高二上·北京通州·期中）如图，在正方体
中，
分别是棱
，
，
，
的中点.
(1)求证：
四点共面；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
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(3)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）如图，取
的中点
连接
,
因为
分别是棱
，
，
，
的中点，
易得
,
,所以
,
所以
四点共面，
又
,
所以
，
则
四点共面，
而过不共线的的三点
的平面具有唯一性，
则平面
与平面
重合，
故
四点共面.
（2）以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的的边长为
则
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则
，
设
是平面
的法向量，
则
，
取
,则
所以
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
（3）由（2）知平面
的法向量
，
又
所以点
到平面
的距离为
，
即
到平面
的距离为
38
