北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
9.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
五年高考
高考新风向
(2024新课标Ⅱ,18,17分,难)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛
具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比
赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮
3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次
投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0<p<q.
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
解析 (1)由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件.
因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为
[1-(1-p)3][1-(1-q)3]=[1-(1-0.4)3][1-(1-0.5)3]=0.686.
(2)(i)设由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P ,乙参加第一阶段比赛,
1
该队比赛成绩为15分的概率为P ,
2
则P =[1-(1-p)3]q3,P =[1-(1-q)3]p3.
1 2
则P -P =[1-(1-p)3]q3-[1-(1-q)3]p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又0<p<q<1,所以q-p>0,p+q-pq=p(1-q)
1 2
+q>0,所以P >P ,则应由甲参加第一阶段,这样才能使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分
1 2
的概率最大.
(ii)设甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为X,则X的可能取值为0,5,10,15.则
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]·C1q(1-q)2,
3
P(X=10)=[1-(1-p)3]·C2q2(1-q),
3
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
所以由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望为E(X)=0+5[1-(1-p)3]·C1q(1-
3
q)2+10[1-(1-p)3]·C2q2(1-q)+15[1-(1-p)3]·q3=15q(3p-3p2+p3).
3
设乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为Y,同理可得乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩
的数学期望E(Y)=15p(3q-3q2+q3).北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
E(X)-E(Y)=15q(3p-3p2+p3)-15p(3q-3q2+q3)=15pq(q-p)(3-p-q),
因为0<p<q<1,所以q-p>0,3-p-q>0,所以E(X)>E(Y).
则由甲参加第一阶段比赛时,该队比赛成绩的数学期望最大.
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p ,p ,p ,p ,且
1 2 3 4
4
∑❑p=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是
( B )
i
i=1
A.p =p =0.1,p =p =0.4
1 4 2 3
B.p =p =0.4,p =p =0.1
1 4 2 3
C.p =p =0.2,p =p =0.3
1 4 2 3
D.p =p =0.3,p =p =0.2
1 4 2 3
2.(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分,难)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有
n n
可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=p>0(i=1,2,…,n), ∑❑p=1,定义X的信息熵H(X)=-∑❑
i i
i=1 i=1
plog p.( AC )
i 2 i
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p 的增大而增大
1
1
C.若p= (i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
i n
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=p+p (j=1,2,…,m),则
j 2m+1-j
H(X)≤H(Y)
3.(2020浙江,16,6分,中)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,
1
每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=
3
,E(ξ)= 1 .
4.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成
绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得
主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望
EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
解析 (1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得优
4 2
秀奖的概率P= = .
10 5
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则
2 1 2 3 1
A,B,C,A,B,C相互独立,且P(A)= ,P(B)=P(C)= ,P(A)=1-P(A)=1- = ,P(B)=P(C)= ,
5 2 5 5 2
3 1 1 3
则P(X=0)=P(A B C)=P(A)P(B)P(C)= × × = ;
5 2 2 20
P(X=1)=P(AB C)+P(ABC)+P(A BC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=
2 1 1 3 1 1 3 1 1 8 2
× × + × × + × × = = ;
5 2 2 5 2 2 5 2 2 20 5
2 1 1
P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)= × ×
5 2 2
2 1 1 3 1 1 7
+ × × + × × = ;
5 2 2 5 2 2 20
2 1 1 1
P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
5 2 2 10
3 2 7 1 7
故X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .
20 5 20 10 5
(3)丙.
1 9 3 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 13
详解:乙夺冠的概率为P(乙)= × × + × × + × × + × × + × × = ,
6 10 4 6 5 2 6 5 2 6 10 2 6 5 2 48
1 1 4 5 5
丙夺冠的概率为P(丙)= + × × = ,
4 4 5 6 12
5 13 5
甲夺冠的概率为P(甲)=1- - = ,
12 48 16
P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.
5.(2021新高考Ⅰ,18,12分,中)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位
参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则
该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确
与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中
的每个问题回答正确得80分,否则得0分.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确
回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解析 (1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
所以E(Y)>E(X),
所以小明应选择先回答B类问题.
6.(2023新课标Ⅰ,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则
此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均
为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、
乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
n
(3)已知:若随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=1-P(X=0)=q,i=1,2,…,n,则E
(∑❑X )
=
i i i i i
i=1
n
∑❑q .记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
i
i=1
解析 记A=“第i次投篮的人是甲”,B=“第i次投篮的人是乙”.
i i
(1)因为P(B )=P(A B )+P(B B )=P(A )P(B |A )+P(B )P(B |B )=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6,
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.6.
(2)设P(A)=p,则P(B)=1-p,所以P(A )=P(AA )+P(BA )=P(A)P(A |A)+P(B)P(A |B),
i i i i i+1 i i+1 i i+1 i i+1 i i i+1 i
即p =0.6p+(1-0.8)×(1-p)=0.4p+0.2.
i+1 i i i
2 1 1 2( 1)
设p +λ= (p+λ),解得λ=- ,则p - = p − ,
i+1 5 i 3 i+1 3 5 i 3
1 1 1 { 1} 1 2 1 1 (2) i−1
因为p = ,p - = ,所以 p − 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以p- = × ,
1 2 1 3 6 i 3 6 5 i 3 6 5
1 (2) i−1 1
即p= × + .
i 6 5 3
1 (2) i−1 1
所以第i次投篮的人是甲的概率为 × + .
6 5 3
1 (2) i−1 1
(3)因为p= × + ,i=1,2,…,n,
i 6 5 3
(2) n
1−
1 5 n 5 [ (2) n] n
所以当n∈N*时,E(Y)=p +p +…+p = × + = 1− + ,
1 2 n 6 2 3 18 5 3
1−
5
5 [ (2) n] n
故E(Y)= 1− + .
18 5 3
7.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这
种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物
每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代
的个数,P(X=i)=p(i=0,1,2,3).
i
(1)已知p =0.4,p =0.3,p =0.2,p =0.1,求E(X);
0 1 2 3
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:
p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
0 1 2 3
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
解析 (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)证法一:由题意得p +p +p +p =1,E(X)=p +2p +3p ,因为p +p x+p x2+p x3=x,
0 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
所以p +p x2+p x3-(1-p )x=0,
0 2 3 1
即p +p x2+p x3-(p +p +p )x=0,
0 2 3 0 2 3
即(x-1)[p x2+(p +p )x-p ]=0,
3 2 3 0
令f(x)=p x2+(p +p )x-p ,
3 2 3 0北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
p +p
则f(x)图象的对称轴为直线x=- 2 3 <0,
2p
3
且f(0)=-p <0,
0
f(1)=2p +p -p =p +2p +3p -1=E(X)-1.
3 2 0 1 2 3
当E(X)≤1时, f(1)≤0, f(x)的正实根x ≥1,则原方程的最小正实根p=1;
0
当E(X)>1时, f(1)>0, f(x)的正实根x <1,则原方程的最小正实根p=x <1.
0 0
证法二:设f(x)=p x3+p x2+(p -1)x+p ,
3 2 1 0
由题易知p +p +p +p =1,
3 2 1 0
故f(x)=p x3+p x2-(p +p +p )x+p ,
3 2 2 0 3 0
f '(x)=3p x2+2p x-(p +p +p ),
3 2 2 0 3
E(X)=0·p +1·p +2·p +3·p =p +2p +3p ,
0 1 2 3 1 2 3
若E(X)≤1,则p +2p +3p ≤1,故p +2p ≤p ,
1 2 3 2 3 0
因为f '(0)=-(p +p +p )<0,
2 0 3
f '(1)=p +2p -p ≤0,
2 3 0
所以f '(x)有两个不同零点x ,x ,且x <0<1≤x ,
1 2 1 2
当x∈(-∞,x )∪(x ,+∞)时, f '(x)>0,
1 2
当x∈(x ,x )时, f '(x)<0,
1 2
故f(x)在(-∞,x ),(x ,+∞)上为增函数,
1 2
在(x ,x )上为减函数,
1 2
若x =1,因为f(x)在(x ,+∞)上为增函数,在(x ,x )上为减函数,且f(1)=0,
2 2 1 2
所以在(0,+∞)上, f(x)≥f(x )=f(1)=0,
2
故1为关于x的方程:p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1.
0 1 2 3
若x >1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x )上为减函数,
2 2
故1为关于x的方程:p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根.
0 1 2 3
综上,若E(X)≤1,则p=1.
若E(X)>1,则p +2p +3p >1,则p +2p >p ,
1 2 3 2 3 0
此时f '(0)=-(p +p +p )<0, f '(1)=p +2p -p >0,
2 0 3 2 3 0
故f '(x)有两个不同零点x ,x 且x <0<x <1,
3 4 3 4
故f(x)在(-∞,x ),(x ,+∞)上为增函数,在(x ,x )上为减函数,
3 4 3 4
而f(1)=0,故f(x )<0,
4
又f(0)=p >0,所以f(x)在(0,x )上存在一个零点x ,且x <1,
0 4 0 0
所以x 为关于x的方程:p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正根,即p<1,故当E(X)>1时,p<1.
0 0 1 2 3北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖后
代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
三年模拟
练速度
1.(2024广东百日冲刺联合质量监测,3)已知随机变量X的分布列如下:
X 1 2
P a b
4 2
则“E(X)= ”是“D(X)= ”的 ( A )
3 9
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024广东广州天河综合测试(二),8)设10≤x <x <x <x <x ≤50,随机变量ξ 取值
1 2 3 4 5 1
x +x x +x x +x x +x x +x
x ,x ,x ,x ,x 的概率均为0.2,随机变量ξ 取值 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 1的概率也
1 2 3 4 5 2
2 2 2 2 2
均为0.2,若记D(ξ ),D(ξ )分别为ξ ,ξ 的方差,则( C )
1 2 1 2
A.D(ξ )<D(ξ )
1 2
B.D(ξ )=D(ξ )
1 2
C.D(ξ )>D(ξ )
1 2
D.D(ξ )与D(ξ )的大小关系与x ,x ,x ,x ,x 的取值有关
1 2 1 2 3 4 5
3.(多选)(2024江西省八所重点中学4月联考,9)已知随机变量X、Y,且Y=3X+1,X的分布
列如下:
X 1 2 3 4 5
1 1 3
P m n
10 5 10
若E(Y)=10,则 ( AC )
3 1
A.m= B.n=
10 5
7
C.E(X)=3 D.D(Y)=
3
4.(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏师大附中三校联考,13)已知4件产品中
8
有2件次品,逐个不放回检测,直至能确定所有次品为止,记检测次数为X.则E(X)=
3
.
练思维北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
[b]
1.(2024山东济南一模,17)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,所得的点数分别为a,b,记
a
[b] b
的取值为随机变量X,其中 表示不超过 的最大整数.
a a
b
(1)求在X>0的条件下,X= 的概率;
a
(2)求X的分布列及其数学期望.
解析 (1)记抛掷骰子的样本点为(a,b),
则样本空间为Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a∈Z,b∈Z},
则n(Ω)=36,
[b] b
记事件“A=X>0”,记事件“B=X= = ”,
a a
则A={(a,b)|1≤a≤b≤6,a∈Z,b∈Z},且n(A)=21,
又AB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)},
则n(AB)=14,
n(AB) 14 2
所以P(B|A)= = = ,
n(A) 21 3
b 2
即在X>0的条件下,X= 的概率为 .
a 3
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
36−21 5 12 1 4 1
P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,
36 12 36 3 36 9
2 1 1 1 1
P(X=3)= = ,P(X=4)= ,P(X=5)= ,P(X=6)= ,
36 18 36 36 36
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
5 1 1 1 1 1 1
P
12 3 9 18 36 36 36
5 1 1 1 1 1 1 41
所以E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× +6× = .
12 3 9 18 36 36 36 36
2.(2024福建三明质量检测,17)某校开设劳动教育课程,为了有效推动课程实施,学校开展
1
劳动课程知识问答竞赛,现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库,其中家政类占 ,
4
