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第02讲 利用向量法解决空间直线、平面的平行，垂直关系
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题型一：线面平行的判定..............................................1
题型二：面面平行的判断..............................................5
题型三：线面平行的性质.............................................11
题型四：面面平行的性质.............................................15
题型五：直线与平面垂直.............................................22
题型六：平面与平面垂直.............................................29
题型一：线面平行的判定
典型例题
例题1．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图，正三棱柱 的各棱长均为
1，点 为棱 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求异面直线 和 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）连接 交 于点F，连接EF，则在正方形 中，F为 的中点，
又E为 的中点，所以EF为 的中位线，则 ；
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）在三棱柱 中，则 ，则 （或其补角）为异面直线 与AC所成的角．
在 中， ， ， ，则 ．
所以异面直线 和AC所成角的余弦值为 ．
例题2．（2023春·四川成都·高一统考期末）如图，在三棱锥 中，
， 在 上，且 ．
(1)求三棱锥 与三棱锥 的体积之比；
(2)若点 在 上，且 ．证明： 平面 ．
【答案】(1) .
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，又 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
例题3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期中）如图，在四棱锥 中，
底面 为平行四边形，点 是 上一点，当 时， 平面 .
【答案】
【详解】如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
因为 平面 ，且平面 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
所以点E是SA的中点，即SE∶SA＝1∶2.
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023春·辽宁·高一校联考期末）在直三棱柱 中， 是 的
中点．(1)求证： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【详解】（1）设 ，连接 ，由直三棱柱性质可知，侧面 为矩形，
∴ 为 中点， 又∵ 为 中点，∴在 中， ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）由题 ，∴ ，即 ，
又由直三棱柱可知，侧棱 底面 ，
∴ .
所以三棱锥 的体积为5
2．（2023春·贵州黔西·高一统考期末）如图，在正方体 中， 是棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；(2)若正方体棱长为2，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 交 于 ，连接 ，如图，
因为在正方体 中，底面 是正方形，则 是 的中点，
又 是 的中点，则 是 的中位线，故 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 .
（2）因为正方体 中， 平面 ，
所以 .
3．（2023·全国·高一专题练习）在直三棱柱ABC﹣ABC 中，D为AA 中点，点P在侧面BCC B 上运动，
1 1 1 1 1 1
当点P满足条件 时，AP 平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
1
【答案】P是CC 中点
1
【详解】取CC 中点P，连结AP，
1 1
∵在直三棱柱ABC﹣ABC 中，D为AA 中点，点P在侧面BCC B 上运动，
1 1 1 1 1 1
∴当点P满足条件P是CC 中点时，AP CD，
1 1∵AP⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，
1
∴当点P满足条件P是CC 中点时，AP 平面BCD
1 1
故答案为：P是CC 中点.
1
题型二：面面平行的判断
典型例题
例题1．（2023春·陕西西安·高一统考期末）如图，在几何体 中，已知四边形 是正方
形， ， 分别为 的中点， 为 上靠近点 的四等分点.
(1)证明： //平面 ；
(2)证明：平面 //平面 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）如图，连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，
因为四边形 是正方形，则 为 的中点，又 为 的中点，
于是 ， ，即四边形 为平行四边形，则 ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .（2）取 的中点 ，连接 ，因为 ，且 ，
则四边形 都为平行边形，有 ，
于是四边形 为平行四边形，即有 ，
而 为 上靠近点 的四等分点，则 为 的中点，又 为 的中点，则 ，
因此 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
显然 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 .
例题2．（2023春·新疆喀什·高一统考期末）如图，已知棱长为6的正方体 中，点 在
线段 上运动.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)36
【详解】（1）因为 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以点 到平面 的距离等于 ，
则 .
例题3．（2023春·新疆昌吉·高一统考期末）如图，在三棱柱 中，若 ， 分别是线段
， 的中点．
(1)求证： //面 ．
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 //平面 ，若存在，指出 的具体位置并证明；若不
存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 是线段 的中点，证明见解析
【详解】（1）连接 ，∵ 为平行四边形， 是线段 的中点，
则 ， 分别是线段 ， 的中点，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故有 面
（2）存在， 是线段 的中点，理由如下：
由（1）可知： ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，连接 ， ，
∵ 、 分别是线段 、 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， ， 面 ， 面 ，
故平面 平面 ．
精练核心考点
1．（2023春·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考阶段练习）如图：在正方体 中，
为 的中点.(1)试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
(2)若 为 的中点，求证：平面 平面 .
【答案】(1)直线 平面 ，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）直线 平面 ，理由如下：
连接 ，交 于点 ，连接 ，
四边形 为正方形， 为 中点，又 为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2） 分别为 中点， ，又 ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
由（1）知： 平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 .
2．（2023春·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考阶段练习）如图：在正方体 中，
， 为 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点，求证：平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
如图1，连接 ，交 于点 ，连接 ，
根据正方体的性质可知， 是 中点.
因为 是 的中点，
所以在 中，有 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 .
（2）
如图2，连接 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，所以 .
根据正方体的性质可知， ，所以 .
所以，四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以，平面 平面 .
3．（2023春·广西百色·高一统考期末）如图：在正方体 中，M为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接MO.
∵ 为正方体，底面 为正方形，∴O为BD的中点.
∵M为 的中点，在 中，OM是 的中位线，所以 .
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2） 上的中点N即满足平面 平面 ，
∵N为 的中点，M为 的中点，∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
由（1）知 平面 ，
又∵ ，∴平面 平面 .
题型三：线面平行的性质
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在五面体 中，平面 平面 ，四边形
为直角梯形，其中 ， ， ， ， ．求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
且平面 平面 ，
．
例题2．（2023·全国·高二假期作业）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ，
， 是 的中点．(1)求证： ；
(2)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意可得， 平面 ，
平面 ，且平面 平面 ，
由线面平行的性质定理可得 ；
（2）取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：
由 是 的中点， 是 的中点，可得 ，且 ；
由（1）知 ，且 ，所以 ，且 ；
所以四边形 是平行四边形，
即 ，又 平面 ， 平面 ；
所以 平面 .
例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知 ， 分别是菱形 的边 ， 的中点，
与 交于点 ，点 在平面 外， 是线段 上一动点，若 平面 ，试确定点 的
位置．
【答案】点 为线段 上靠近点 的四等分点
【详解】解：点 为线段 上靠近点 的四等分点，理由如下：
如图，连接 交 于点 ，连接 ，因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，则 ，
在菱形 中， ， 分别为 ， 的中点，即 ，
又 ，所以 ，则 ，
故点 为线段 上靠近点 的四等分点.
精练核心考点
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如图，在四棱锥 中， //平面PAD， ，
， ，点N是AD的中点．求证：
(1) // ；
(2)求异面直线PA与NC所成角余弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，
⊂
∴BC∥AD，
（2）由于点N是AD的中点，BC∥AD， ，所以 ,故四边形 为平行四
边形，则 ,故 或其补角即为异面直线PA与NC所成角，
在 中， ,
故异面直线PA与NC所成角的余弦值为
2．（2023春·广西河池·高一校联考阶段练习）如图所示，在多面体 中，四边形 ，
，ABCD均为边长为2的正方形，E为 的中点，过 ，D，E的平面交 于点F．
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，∴ ．
（2）∵E为 中点，∴点E到平面 的距离d为点 到平面 距离的一半，
又点 到平面 距离等于点A到平面 的距离 ，
∴点E到平面 的距离 ，又 ，
∴ ．
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥 中， ，且
．点 是线段 上一动点．当 平面 时，求 的值．【答案】
【详解】连接BD交AC于O，连接OM.
因AD BC，则 .
又PB 平面MAC， 平面PBD，平面PBD 平面 ，
， .
题型四：面面平行的性质
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）如图，在棱长为
的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点．
(1)若平面 与直线 交于 点，求 的值；(2)若 为棱 上一点且 ，若 平面 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示：
因为平面 平面 ，且平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，根据空间等角定理可知， ，则 ，
又 ， ， ，则 ，即 ， ，所以 .
（2）取AA 的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则 ，
1
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ．
又 平面 ， 平面 且 ，所以平面 平面 ，
设 平面 ，连接 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，又 ，则四边形 为平行四边形，同理四边形 也是平行四边形，
所以 ，所以 ．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中
点， ， 分别是棱 ， 上的动点（不与顶点重合）.作出平面 与平面 的交线（要求写
出作图过程），并证明：若平面 平面 ，则 ；【答案】作图见解析，证明见解析
【详解】
如图，延长 交 的延长线于 ，
连接 交 于 ，
则 所在的直线即为平面 与平面 的交线.
证明：∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，
∴ .
又∵平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，∴ .
例题3．（2023春·江西上饶·高一统考期末）如图，正四棱台 中， ，
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求异面直线 与 所成的角的余弦值.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵正四棱台 中， ， ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 .
（2）在等腰梯形 中作 交 于点 ，
由（1）知， ，∴ ，
∴ 就是异面直线 与 所成的角，
∵ ， ，
∴ 中， ， ，
∴ ，
∴异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
精练核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，
AD的中点．(1)证明： 平面PAC；
(2)在线段BD上找一点H，使得 平面PCG，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）∵E、F分别是BC，BP中点，
∴ ，
∵ 平面PAC， 平面PAC，
∴ 平面PAC．
（2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点，
∵E、G分别是BC、AD中点，
∴ ，
∵ 平面PCG，CG 平面PCG，
∴ 平面PCG， ⊂
又∵ ，PC 平面PCG， 平面PCG，
∴ 平面PCG，⊂ ，AE， 平面AEF，
∴平面 平面PCG， 平面AEF，
∴ 平面PCG.
2．（2023春·广东汕尾·高一统考期末）如图，在正方体 中， ， 分别为棱 ， 的
中点， 是线段 上的动点.证明：(1) 平面 ；
(2) 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）（1）如图，连接 交 于点 ，连接 .
∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）连接 ， ，连接 交 于点 ，连接 ，如图.
在正方体 中， ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
又 为 的中位线，
∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .又∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴平面 平面 .
∵ 平面 ，
∴ 平面 .
3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示正四棱锥 ， ，P为侧棱
上的点．且 ，求：侧棱 上是否存在一点E，使得 平面 ．若存在，求 的值；
若不存在，试说明理由．
【答案】在侧棱 上存在一点 ，使 平面 ，满足
【详解】
在侧棱 上存在一点 ，使 平面 ，满足 ．
理由如下：
取 中点为 ，因为 ，则 ，
过 作 的平行线交 于 ，连接 ， ．
在 中，有 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，由于 ， ．
又由于 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
， 平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，
题型五：直线与平面垂直
典型例题
例题1．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）如图，四棱锥 的底面是正方形，
底面 ， ， 是棱 的中点.
(1)证明：直线 平面PBC；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可证 平面 ，即可得到 ，再由 ，即可得证；
（2）取 的中点 ，连接 ，即可证明 平面 ，则 即为 与平面 所成的角，再
由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 .（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 底面 ， 底面 ，所以 ， ，
又 ，所以 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 即为 与平面 所成的角，
又 ， ， ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
例题2．（2023春·福建南平·高一统考期末）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， 为
的中点， ，且 ， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示，因为E、F分别为PD、PA中点，所以 ，且 ，
又因为 ，且 ，所以 且 ，
所以四边形EFBC为平行四边形，所以 ，
因为 平面PCD， 平面PCD，所以 平面PCD．
（2）因为 ，F为PA中点，所以 ，又 ，则 ，
因为 ， 平面PCD， ，所以 平面PCD.
例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ，
平面 ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ．
（2）平面 内是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点．
【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有 且 ，而 且
，
∴ ， .∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．
∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABME．
作MN⊥BE，交AE于点N，
∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，
∴MN⊥平面PBD．
易知△BME∽△MEN，而 ，
∴ ，即 ，而 ，
∴N为AE的中点．
精练核心考点
1．（2023春·北京西城·高一统考期末）如图，在正方体 中，E，F分别是棱 ， 的
中点．(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1） ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 为正方形，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设 ，连接OE．
因为 为正方体，所以 ，且 ，
所以 ，且 ．
因为E，F分别 ， 的中点，所以 ，且 ．
所以 ，且 ．
所以四边形 为平行四边形．所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．2．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校联考阶段练习）在四棱锥P-ABCD中， ，
， ， ，E为PA的中点.
(1)求证：BE∥平面PCD；
(2)求证：PA⊥平面PCD.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
， 分别是 ， 的中点，
，又 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） ， 是 的中点，
，又 ，
，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ．
3．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）如图所示，已知正方体 的棱
长为 ， . . 分别是 . . 的中点.（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【详解】(1)证明：连接 ，
则 为 的中位线，∴ ，
∵在正方体中， ，∴ ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，∴平面 平面 ；
(2)取 的中点 ，则满足 平面 ，且 ，证明如下：
连接 交 于 ，连接 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ， ，
∴在 中，由 ， 得 ，
∴在 中，由 ， 得 ，
∴在 中，由 ， 得 ，
∴在 中， ， ，
又∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，且 .
题型六：平面与平面垂直
典型例题
例题1．（2023春·江苏镇江·高一统考阶段练习）如图， 和 都垂直于平面 ，且 ，
是 的中点
(1)证明：直线 //平面 ；
(2)若平面 平面 ，证明：直线 平面 .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 ， ，
因为 ， 均垂直面 ，所以 ，
因为 ，所以 且 ，
所以 为平行四边形，
所以 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ．
（2）如图，过 作 于 ，平面 平面 ，且两平面的交线为 , 平面 ,
平面 ，
由 平面 ， ．
平面 ， 平面 ， ，
又 平面 ，
平面 ．
.
例题2．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，在四棱锥 中，底面
为正方形，侧面 是正三角形，侧面 底面 ， 是 的中点.
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与底面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为侧面 为正三角形，且 为 中点，所以 ，
又因为底面 为正方形，所以 .
因为平面 平面 且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
（2）解：取 的中点 ，连 ， ，
因为 为正三角形，且 为 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 是所求直线与平面所成角，不妨设 ，则在等边 中，可得 ，
在直角 中， ；
在直角 中， ，故 ，
所以直线 与底面 所成角的正弦值为 .
例题3．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱 中， 为棱 的中点，
， ， .在棱 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？如果存在，求
此时 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【详解】当点 为 的中点，即 时，平面 平面 .
证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，
又 为 的中点，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
因为 ，M为棱 的中点，故 ,
又因为 平面ABC, 平面ABC,
故 ，由 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
精练核心考点
1．（2023春·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图， 中，
， 是正方形，平面 平面 ，若 、 分别是 、 的中点．
(1)求证： ∥平面 ;
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析【详解】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
， 分别是 和 的中点， ∥ ， ∥ ．
又 四边形 为正方形，
∥ ，从而 ∥ ．
平面 ， 平面 ，
∥平面 ，
同理 ∥平面 ，又 ， 平面 ，
平面 ∥平面 ，
平面 ，则 ∥平面 ;
（2） 为正方形， ．
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 面 ，
平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
设 ， ，
，
∴ ，∴ ．
又 ， ， 平面 ，
平面 ，而 平面 ，
∴平面 平面 ．
2．（2023春·贵州黔东南·高一统考期末）如图，在三棱台 中， ，
分别是 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在三棱台 中， ，则 且 ，
又 为 的中点，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，
连接 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，又 为 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面
（2）在三棱台 中， ，则 且 ，
因为 为 的中点，所以 且 ，
所以 为平行四边形，所以 ，又 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，因为 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
3．（2023春·云南昆明·高一统考期末）如图，在三棱柱 中， ， 分别为棱BC， 的中点.
(1)求证: ∥平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ，点 满足 ，且 ，求实数 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【详解】（1）连接MN，因为 ， 分别为棱BC， 的中点，
所以 ，
因为 ∥ ， ，所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ， ，又 ∥ ， ，
所以 ∥ ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
（2）解：取AB的中点 ，连接 ，因为 ，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABC.
因为 平面ABC，所以 .
连接 ，因为 ∥ ， ，所以 .
又 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 ∥ ，
所以 为MB的中点，即 ，所以 .
