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专题突破练(分值:73 分)
学生用书
P171
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·福建漳州三模)在二项式(1-2x)6的展开式中,含x2项的系数为( )
A.-60
B.-15
C.15
D.60
答案D
解析展开式的通项Tr+1=C6
r(-2x)r,其中含x2的项为T3=C6
2(-2x)2=60x2,所以在(1-2x)6的展开式中,含x2的
项的系数为60.
2.(2024·江苏南通模拟)某志愿者小组有5 人,从中选3 人到A,B 两个社区开展活动,其中1 人到A 社
区,则不同的选法有( )
A.12 种
B.24 种
C.30 种
D.60 种
答案C
解析先从5 人中选1 人去A 社区,再从余下4 人中选2 人去B 社区,所以不同的选法有C5
1C4
2=30(种).
3.(2024·河北沧州模拟)在(
x
a - 1
3√x)
8
的展开式中,常数项为7,则正数a=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案B
解析(
x
a - 1
3√x)
8
展开式的通项为Tk+1=C8
k(
x
a)
8-k
·(- 1
3√x)
k
=(-1)kC8
k(
1
a)
8-k
x
8- 4
3 k
,
令8-4
3
k=0,得k=6,
所以常数项为(-1)6×C8
6×(
1
a)
2
=7,
化简得a2=4,
又a 为正数,所以a=2.
4.(2024·湖南长沙模拟)学校计划于4 月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年
级的同学进行春季研学活动,每天只能有一个年级参加,其中高一年级需要连续两天,高二、高三年级
各需要一天,则不同的安排方案有( )
A.18 种
B.24 种
C.30 种
D.32 种
答案B
解析高一年级可以从周一和周二、周二和周三、周三和周四、周四和周五中选择两天去参观,共4
种选择;再从剩下的三天里安排高二、高三年级,有A3
2种安排方法;根据分步乘法计数原理,不同的方
案有4× A3
2=4×3×2=24 种.
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5.(2024·山西晋城模拟)若(2-x)3+(2-x)4+(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+a2+a3+a4=( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案A
解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=3,
又a5=C5
5×(-1)5=-1,
所以a0+a1+a2+a3+a4=3-(-1)=4.
6.(2024·安徽六安模拟)300 的不同正因数的个数为
( )
A.16
B.20
C.18
D.24
答案C
解析显然300=22×3×52,则300 的正因数为2α×3β×5γ,其中α=0,1,2,β=0,1,γ=0,1,2,
所以300 的不同正因数有3×2×3=18 个.
7.(2024·山东菏泽模拟)球类运动对学生的身心发展非常重要.现某高中为提高学生的身体素质,特开
设了乒乓球、排球、羽毛球、篮球、足球五门选修课程,要求该校每名学生高一到高三三学年间必
须将五门选修课程学完,每学年至多选3 门,每门课程限选修一学年,一学年只上学期选择一次,则每名
学生的不同选修方式有( )
A.210 种
B.78 种
C.150 种
D.144 种
答案A
解析根据题意,分2 种情况讨论:
①五门选修课2 年学完.先将五门课程分为2 组(3,2),再在三年中选出2 年来学习,有C5
3 A3
2=60 种选修
方式;
②五门选修课3 年学完.先将五门课程分为3 组(3,1,1 或2,2,1),再安排在三年中学完,有
(C5
3+ C5
2C3
2
A2
2 )A3
3=150 种选修方式.
则每名学生的不同选修方式有60+150=210 种.
8.(2024·浙江金华模拟)将1 至8 这8 个整数排成一列,要求任意相邻两项互质,则不同的排列方法有
( )
A.1 296 种
B.1 728 种
C.2 304 种
D.2 592 种
答案B
解析因为任意相邻两项互质,所以偶数必须隔开.先把四个奇数排成一列,有A4
4种方法.然后把偶数插
空进去:因为四个偶数中只有6 不能与3 相邻,其他偶数可以随意插空,所以先把6 插空,有A3
1种方法;
剩下的3 个偶数在剩下的4 个空中随意插空,有A4
3种方法.所以共有A4
4 A3
1 A4
3=1 728 种方法.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
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9.(2024·江苏南京模拟)在二项式(√x - 1
2 x)
6
的展开式中,下列说法正确的是( )
A.常数项是15
2
B.第4 项的二项式系数最大
C.各项系数和是64
D.奇数项的二项式系数和是32
答案BD
解析展开式的通项Tr+1=C6
r(√x)6-r(- 1
2 x)
r
=C6
r(- 1
2)
r
x
3- 3
2 r
.令3-3
2
r=0,得r=2,故常数项为
C6
2×(- 1
2)
2
=15× 1
4 = 15
4
,故A 错误;
展开式共7 项,第4 项的二项式系数C6
3最大,故B 正确;
令x=1,得(1- 1
2)
6
= 1
64
,即各项系数和是1
64
,故C 错误;
因为C6
0+C6
2+C6
4+C6
6=32,所以奇数项的二项式系数和是32,故D 正确.故选BD.
10.(2023·浙江宁波一模)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则下列说法正确的是( )
A.a0=1
B.a3=-80
C.a1+a2+a3+a4+a5=-1
D.a0+a2+a4=121
答案ABD
解析在展开式中,令x=0,得a0=1,所以A 正确;
(1-2x)5展开式的通项为Tr+1=C5
r(-2x)r=C5
r(-2)rxr,其中r=0,1,2,…,5,所以a3=C5
3×(-2)3=-80,故B 正确;
在展开式中,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,①
则a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故C 错误;
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,②
①+②,得2(a0+a2+a4)=242,所以a0+a2+a4=121,故D 正确.故选ABD.
11.某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4 节课,且该天上午总共4 节课,下列结论正确的
是
( )
A.若数学课不安排在第一节,则有18 种不同的安排方法
B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有6 种不同的安排方法
C.若语文课和数学课不能相邻,则有12 种不同的安排方法
D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有3 种不同的安排方法
答案ABC
解析对于A,有C3
1 A3
3=18 种排法,故A 正确;
对于B,采用捆绑法,有A3
3=6 种排法,故B 正确;
对于C,采用插空法,有A2
2 A3
2=12 种排法,故C 正确;
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对于D,有A4
4
A3
3 =4 种排法,故D 错误.故选ABC.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·河北衡水模拟)在数轴上,一个质点从坐标原点出发向x 轴正半轴移动,每次移动1 或者2 个
单位长度,若质点移动7 次后与坐标原点的距离为11,则质点移动的方法总数有 种.
答案35
解析因为质点移动7 次后与坐标原点的距离为11,每次移动1 或者2 个单位长度,
所以可以判断共进行了4 次“移动2 个单位长度”和3 次“移动1 个单位长度”,
只需要在7 个位置上选出4 个位置进行“移动2 个单位长度”即可,
所以方法总数为C7
4=35 种.
13.(2024·福建泉州模拟)9 人身高各不相等,排成前后两排,要求每排从左至右身高逐渐增加,前排5 人,
则不同的排法共有 种(用数字作答).
答案126
解析从9 人选5 人排在前排,5 人的身高不同,按要求只有1 种排法,后排4 人,也只有1 种排法,所以共
有C9
5=126 种排法.
14.(2024·全国甲,理13)(
1
3 + x)
10
的展开式中,各项系数的最大值是 .
答案5
解析展开式的通项公式为Tr+1=C10
r (
1
3)
10-r
xr,0≤r≤10 且r∈Z,
设展开式中第r+1 项的系数最大,
则{
C10
r (
1
3)
10-r
≥C10
r +1(
1
3)
9-r
,
C10
r (
1
3)
10-r
≥C10
r -1(
1
3)
11-r
,
整理得{
C10
r ≥3C10
r +1,
3C10
r ≥C10
r -1,
解得{
r ≥29
4 ,
r ≤33
4 ,
即29
4 ≤r≤33
4
,
又r∈Z,故r=8,
所以展开式中系数最大的项是第9 项,该项系数为C10
8 ×(
1
3)
2
=5.
