27.Max，min 函数在高考中的应用
一．基本命题原理.
是我们在中学阶段常见的两个函数，虽未出现在课本单独的章节予以讲解，但
min
max,
在新教材的例题中已经见其身影.这两个函数可以与导数结合考察学生的分类讨论能力，
也可在联赛中和不等式题目结合，着重考察对不等式结构的感知与把握.然而，尚有很多
学生对这两类函数不知所措.特别是在九省联考后，由于命题人选用其打造了九省联考的
14 题，所以近两个月以来相关题目层出不穷.因此，本文针对上述现象，选择合适的题
目，展示处理此类函数时的分类讨论思想和基本处理方法.
二．基本命题手法（凌晨讲数学）
在处理含
函数的问题中，核心思想任然是去掉这个符号，基于问题呈现的不同
min
max,
方
式，我将其总结为两个具体的方面.
1.单个最值符号问题，此时我们可以通过分类讨论去掉，即：
，
f
g
g
g
f
f
g
f
,
,
}
,
max{
所以就转化成两个大小关系的比较.
（1）之间通过代数关系作差比较大小；
（2）借助函数图像，作图后实现大小比较.利用数形结合，这也是新教材中相关例题的处
理方法
2. 对于双重最值分类讨论去
符号就变得复杂，此时可以有两个方法：
min
max,
（1）借助该函数的最值性去掉该符号.
（2）探寻几何意义（切比雪夫最佳逼近）
二．典例分析
★1.利用最值性去符号
例1.以
表示数集
中最大的数．设
，已知
或
，则
maxM
M
0
1
a
b
c
2
b
a
1
a
b
的最小值为_________．
max
,
,1
b
a c
b
c
解析：设,
，则
①，
②，
③，
max{
,
,1
}
M
b
a c
b
c
M
a
b
M
b
c
M
c
1
所以由②+③可得
④，由①
+④可得：
⑤，当
时，代
M
b
2
1
2
M
a
b
4
1
2
a
b
2
入⑤可得：
.当且仅当
取到.由①+④
4
1
M
1
,
1
1
3
,
,
2 ,
4
2
4
b
a
c
b
c
a
b
c
b
a
得
,当
时，
，当且仅当
2
2
(
) 5
a
b
M
„
1
a
b
„
1
5
M…
1
1
,
5
1,
b
a
c
b
c
a
b
解得
时,等号成立.综上
.故
的最小值为
a
2
3
4
,
,
5
5
5
b
c
1
5
M…
max{
,
,1
}
b
a c
b
c
.
1
5
例2.（2021 四川预赛）设
，
，则
的最小
0
,
,
z
y
x
}
1
,
2
,
2
max{
x
z
y
y
z
z
xy
M
M
值为_____.
.
3
min
M
解析：
，故
，当且
9
1
4
1
1
5
1
2
2
3
5
2
2
z
z
y
x
xy
x
z
y
y
z
z
xy
M
3
M
仅当
取到.
1
z
y
x
注.此题中，要使用
函数的基本定义，即最大值或最小值来去掉符号转化为普通
min
max,
的不等式求值.（凌晨讲数学）
例3．以
表示数集
中最大（小）的数.设
，已知
max
min
M
M
M
0,
0,
0
a
b
c
，则
________
2
2
1
a c
b c
1 1 1
min max
,
,
a b c
解析：由
，得
，设
，则
2
2
1
a c
b c
2
2
1
a
b
c
1 1 1
max
,
,
M
a b c
，由
2
2
1
1
1
,
,
2
a
b
ab
M
c
M
M
a
b
，
1
1
1
1
3
2
2
2
2
M
M
M
M
ab
ab
a
b
ab
ab
3
3
1
1
3
2
3 2
ab
ab
ab
当且仅当
时，取等号，所以
.
3
1
2
a
b
c
3
1 1 1
min max
,
,
2
a b c
例4．定义
，对于任意实数
，则
,
,
max
,
,min
,
,
,
a a
b
b a
b
a b
a b
b a
b
a a
b
0,
0
x
y
的值是（ ）
2
2
1
1
min max 2 ,3 , 4
9
x
y
x
y
A．
B．
C．
D．
3 2
2
3
3 3
解析：设
，则
，得
2
2
1
1
max{2 ,3 ,
}
4
9
x
y
M
x
y
2
2
1
1
2 ,
3 ,
4
9
M
x M
y M
x
y
，设
，则
，
2
2
2
2
1
1
1
1
3
2
3
2
3
4
9
(2 )
(3 )
M
x
y
x
y
x
y
x
y
2
1
( )
(
0)
f x
x
x
x
3
3
3
2
2
( )
1
x
f
x
x
x
令
，
，所以函数
在
上单调递减，在
3
( )
0
0
2
f
x
x
3
( )
0
2
f
x
x
( )
f x
3
(0, 2)
3( 2,
)
上单调递增，故
，即
，得
，
3
3
min
2
2
3
3
1
3
( )
( 2)
2
( 2)
2
f x
f
2
3
3
( )
2
f x
2
2
3
3
3
3
(2 )
,
(3 )
2
2
f
x
f
y
所以
，得
，即
2
2
2
2
2
3
3
3
1
1
3
3
6
3
2
3
(2 )
(3 )
(2 )
(3 )
2
2
2
M
x
y
f
x
f
y
x
y
3
2
3
2
2
2
M
.故选：A
3
2
2
1
1
min{max{2 ,3 ,
}}
2
4
9
x
y
x
y
★2.分类讨论取符号
例5.已知
，定义：
，设
.若函
,
R
a b
,
min
,
,
a a
b
a b
b a
b
min 2
,
6
,
R
x
f x
a
x
a
x
数
有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）
y
f x
ax
a
A．
B．
C．
D．
0,1
0,2
1,0
2,0
解析：令函数
，显然函数
在
上单调递增，
( )
2
(
6
)
2
6
x
x
g x
a
x
a
x
( )
g x
R
而
，则当
时，
，当
时，
，
0
)
2
(
g
2
x
2
6
x
a
x
a
2
x
2
6
x
a
x
a
于是函数
，则
，令函数
2
,
2
( )
6
,
2
x
a x
f x
x
a x
2
,
2
( )
6
,
2
x
ax
a x
f x
ax
x
ax
a x
，由
，得
，因此函数
的零点，
2 ,
2
( )
6,
2
x x
h x
x
x
( )
0
f x
ax
( )
(
1)
h x
a x
( )
y
f x
ax
即函数
的图象与直线
交点的横坐标，当
，恒有
，在同一
( )
y
h x
(
1)
y
a x
2
x
( )
0
h x
坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图1， 观察图象知，当
，
(
1)
y
a x
( )
y
h x
0
a
即
时，直线
与（凌晨讲数学）函数
的图象只有一个交点.
0
a
(
1)
y
a x
( )
y
h x
如图2，直线
过点
，它与
的图象交于两点
，当
4
1
y
x
1,0 , 2,4
2x
y
2,4 , 3,8
时，
，
2
x
2
4
1
x
x
图1 图2
当
，即
时，直线
与函数
的图象只有一个交点，
1
a
1
a
(
1)
y
a x
( )
y
h x
当
，即
时，直线
与函数
的图象有两个交点，所以函
1
0
a
0
1
a
(
1)
y
a x
( )
y
h x
数
有两个零点，实数
的取值范围是
.故选：A
y
f x
ax
a
0,1
例6．(2015 高考数学新课标1 理科)已知函数
3
1
( )
, ( )
ln
4
f x
x
ax
g x
x
（1）当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
a
x
( )
y
f x
（2）用
表示
中的最小值，设函数
，讨
min
,
m n
,
m n
( )
min
( ), ( )
(
0)
h x
f x g x
x
论
零点的个数．
( )
h x
解析：（1）设曲线
与
轴相切于点
，则
，
，即
( )
y
f x
x
0
(
,0)
x
0
(
)
0
f x
0
(
)
0
f
x
，解得
．因此，当
时，
轴是曲线
的切
3
0
0
2
0
1
0
4
3
0
x
ax
x
a
0
1
3
,
2
4
x
a
3
4
a
x
( )
y
f x
线．
（2）当
时，
，从而
，
(1,
)
x
( )
ln
0
g x
x
( )
min{ ( ), ( )}
( )
0
h x
f x g x
g x
∴
在
无零点．
( )
h x
)
,1(
当
=1 时，若
，则
，
,故
=1
x
5
4
a
5
(1)
0
4
f
a
(1)
min{ (1), (1)}
(1)
0
h
f
g
g
x
是
的零点；若
，则
，
,故
( )
h x
5
4
a
5
(1)
0
4
f
a
(1)
min{ (1), (1)}
(1)
0
h
f
g
f
=1 不是
的零点．
x
( )
h x
当
时，
，所以只需考虑
在
的零点个数．
(0,1)
x
( )
ln
0
g x
x
( )
f x
)1,0
(
（ⅰ）若
或
，则
在
无零点，故
在
单调，而
3
a
0
a
2
( )
3
f
x
x
a
)1,0
(
( )
f x
)1,0
(
，
，所以当
时，
在（0,1）有一个零点；当
0 时，
1
(0)
4
f
5
(1)
4
f
a
3
a
( )
f x
a
在
无零点．
( )
f x
)1,0
(
（ⅱ）若
，则
在（0，
）单调递减，在（
，1）单调递增，故
3
0
a
( )
f x
3
a
3
a
当
=
时，
取的最小值，最小值为
=
．
x
3
a
( )
f x
(
)
3
a
f
2
1
3
3
4
a
a
①若
，即
＜
，（凌晨讲数学）
在
无零点．
(
)
0
3
a
f
3
4
0
a
( )
f x
)1,0
(
②若
=0，即
，则
在
有唯一零点；
(
)
3
a
f
3
4
a
( )
f x
)1,0
(
③若
＜0，即
，由于
，
，所以当
(
)
3
a
f
3
3
4
a
1
(0)
4
f
5
(1)
4
f
a
时，
在
有两个零点；当
时，
在
有一个零
5
3
4
4
a
( )
f x
)1,0
(
5
3
4
a
( )
f x
)1,0
(
点．综上，当
或
时，
由一个零点；当
或
时，
有
3
4
a
5
4
a
( )
h x
3
4
a
5
4
a
( )
h x
两个零点；当
时，
有三个零点．
5
3
4
4
a
( )
h x
例7.记实数
的最小数为
，若
1
2
,
,
,
n
x x
x
1
2
min
,
,
,
n
x x
x
2
( )
min
1,
1,
6
f x
x
x
x
x
，则函数
的最大值为__________．
( )
f x
解析：依题意，画出符合题意的函数图象，由图可知，当
取到最大值时满足
( )
f x
，解得
，故
的最大值为
.故答案为：
.
1
6
y
x
y
x
7
2
y
( )
f x
7
2
7
2
例8．用
表示
中的最小数．已知函数
，则
的
min
,x y
y
x,
ex
x
f x
min
,
ln 2
f x
f x
最大值为( )
A．
B．
C．
D．ln2
2
2
e
1
e
ln 2
2
解析：∵
，∴
，根据导数易知
在
上单调递增，在
ex
x
f x
1
ex
x
f
x
f x
,1
1,
上单调递减；由题意令
，即
，解得
；作出图象：
ln 2
f x
f x
ln2
ln 2
e
e
x
x
x
x
ln 2
x
则
的最大值为两函数图象交点处函数值为
．故选：C．
min
,
ln 2
f x
f x
ln 2
2
三．习题演练
1．已知函数
（
），
.记
表示
中的最小者，设函
2
( )
f x
x
mx
mR
( )
ln
g x
x
min{ , }
a b
b
a,
数
（
），若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则
1
( )
min
( )
, ( )
4
h x
f x
g x
0
x
x
0
h x
实数
的取值范围为_________.
m
解析：当
时，
，则
，则
在
上没有实
(1,
)
x
( )
ln
0
g x
x
( )
( )
0
h x
g x
( )
0
h x
(1,
)
数解；当
时，
，若
，则
，
，则
1
x
1
5
(1)
, (1)
0
4
4
f
m g
5
4
m
1
(1)
0
4
f
(1)
0
h
1
x
不是
的实数解，若
，则
，因此
( )
0
h x
5
4
m
1
(1)
0
4
f
1
(1)
min{ (1)
, (1)}
(1)
0
4
h
f
g
g
，则
是
的实数解；（凌晨讲数学）当
时，
，则只需讨
1
x
( )
0
h x
0
1
x
( )
ln
0
g x
x
论
在区间
的实数解的个数，由
，得
，即问题等
1
( )
0
4
f x
( 0, 1)
2
1
0
4
x
mx
1
4
m
x
x
价于
与
图象的交点个数，由于
，在区间
上单调递
y
m
1 ,
(0,1)
4
y
x
x
x
1
4
y
x
x
1
0, 2
减，在区间
上单调递增，结合
在区间
上的图象知，当
时，
1 ,1
2
1
4
y
x
x
( 0, 1)
5
1
4
m
有3 个实数解，所以实数
的取值范围为
.故答案为：
( )
0
h x
m
5
1, 4
5
1, 4
2．以
表示数集
中最大的数．设
，已知
或
，则
maxM
M
0
1
a
b
c
2
b
a
1
a
b
的最小值为_________.
max
,
,1
b
a c
b
c
解析：令
其中
，所以
，若
，则
,
,1
,
b
a
m c
b
n
c
p
, ,
0
m n p
1
1
b
n
p
a
m
n
p
2
b
a
，故
，令
1
2 1
b
n
p
m
n
p
2
1
m
n
p
=max
,
,1
max
, ,
M
b
a c
b
c
m n p
，
因此
,故
,则
，若
，则
2
2
M
m
M
n
M
p
4
2
1
M
m
n
p
1
4
M
1
a
b
1
1
1
n
p
m
n
p
，即
，
，则
,故
2
2
1
m
n
p
=max
,
,1
max
, ,
M
b
a c
b
c
m n p
2
2
2
2
M
m
M
n
M
p
,则
，当且仅当
且
时等号成立，
5
2
2
1
M
m
n
p
1
5
M
2
2
1
m
n
p
1
max
, ,
5
m n p
如取
时可满足等号成立，（凌晨讲数学）综上可知
的最小
1
5
m
n
p
max
,
,1
b
a c
b
c
值为
，故答案为：
1
5
