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§2.2 函数的单调性与最值
课标要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的
简单应用.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1<x2时，都有f ( x 1)<
f ( x 2)，那么就称
函数f(x)在区间I 上单调递增，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时，我们就称它是增函数
当x1<x2时，都有f ( x 1)>
f ( x 2)，那么就称函数
f(x)在区间I 上单调递减，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减
时，我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I 上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调
性，区间I 叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D，都有f ( x ) ≤
M
；
(2)∃x0∈D，使得f ( x 0)=
M
(1)∀x∈D，都有f ( x ) ≥
M
；
(2)∃x0∈D，使得f ( x 0)=
M
结论
M 是函数y=f(x)的最大值
M 是函数y=f(x)的最小值
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(-3)<f(2)，则f(x)在[-3，2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(-2，3).( × )
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值.( √ )
(4)函数y=1
x 的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞).( × )
2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是( )
A.y=-x+1
B.y=(x-1)2
C.y=|ln x|
D.y=x
答案 D
解析 y=-x+1 在(0，+∞)上单调递减，不符合题意；
y=(x-1)2在(0，+∞)上不单调，不符合题意；
因为y=|ln x|={
- ln x，0< x<1，
ln x，x ≥1，
则y=|ln x|在(0，+∞)上不单调，不符合题意；
y=x 在(0，+∞)上单调递增，符合题意.
3.函数y=- 1
x +1在区间[1，2]上的最大值为( )
A.-1
3
B.-1
2
C.-1
D.不存在
答案 A
解析 y=- 1
x +1在(-1，+∞)上单调递增，则y=- 1
x +1在区间[1，2]上单调递增，
所以ymax=- 1
2+1=-1
3.
4.函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)>f (
1
3)的x 的取值范围是 .
答案 [
1
2 ，2
3)
解析 ∵f(x)的定义域是[0，+∞)，
∴2x-1≥0，即x≥1
2，
又∵f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，
∴2x-1<1
3，即x<2
3，
则x 的取值范围为[
1
2 ，2
3).
1.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则
①
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I 上单调递增.
②
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I 上单调递减.
(2)y=x+1
x 的单调递增区间为(-∞，-1]和[1，+∞)，单调递减区间为(-1，0)和(0，1).
(3)在区间I 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
2.谨防四个易误点
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.函数y=e-x- 1
x
2在(-∞，0)上单调递减
B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]
C.函数y=2
- x
2+2 x +3的单调递增区间为[1，+∞)
D.函数y=2x+2cos x 是增函数
答案 ABD
解析 在(-∞，0)上函数y=e-x与y=- 1
x
2都单调递减，
所以y=e-x- 1
x
2在(-∞，0)上单调递减，故A 正确；
作出函数y=2|x+1|的图象，如图所示，
由图象可知，函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]，故B 正确；
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得y=2
- x
2+2 x +3的单调递增区间为(-∞，1]，故C 错误；
因为y'=2-2sin x≥0，所以y=2x+2cos x 是R 上的增函数，故D 正确.
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 (2025·白银统考)已知函数f(x)=
x
4 - x
2，x∈(-2，2)，判断函数f(x)的单调性，并证明.
解 函数f(x)=
x
4 - x
2在区间(-2，2)上单调递增.证明如下：
任取-2<x1<x2<2，f(x1)-f(x2)=
x1
4 - x1
2-
x2
4 - x2
2=
x1(4 - x2
2)- x2(4 - x1
2)
(4 - x1
2)(4 - x2
2)
=
4( x1- x2)+ x1 x2( x1- x2)
(4 - x1
2)(4 - x2
2)
=
(4+ x1 x2)( x1- x2)
(4 - x1
2)(4 - x2
2)
，
由于4+x1x2>0，x1-x2<0，4-x1
2>0，4-x2
2>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(-2，2)上单调递增.
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是(
)
A.f(x)=x|x|
B.f(x)=2
x -x
C.f(x)=-x2+2x
D.f(x)=1
3x3-x2+2x
答案 B
解析 对任意x1，x2∈(0，+∞)，
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减.
f(x)=x|x|={
x
2，x ≥0，
- x
2，x<0，
作出f(x)的图象(图略)可知，f(x)为R 上的增函数，故A 错误；
y=2
x 与y=-x 在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=2
x -x 在(0，+∞)上单调递减，故B 正确；
f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1 在(0，+∞)上不单调，故C 错误；
f(x)=1
3x3-x2+2x，则f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以f(x)在R 上单调递增，故D 错误.
(2)(2025·漯河模拟)函数y=log3(-x2+2x+15)的单调递减区间是( )
A.(1，+∞)
B.(1，5)
C.(-3，1)
D.(-∞，1)
答案 B
解析 由-x2+2x+15>0，
得(x +3)(x -5)<0，解得-3<x<5，
所以函数的定义域为(-3，5)，
令t=-x2+2x+15=-(x-1)2+16，
因为函数t=-(x-1)2+16 在区间(-3，1)上单调递增，在区间(1，5)上单调递减，
且函数y=log3t 是增函数，所以函数y=log3(- x
2+2 x +15)的单调递减区间是(1，5).
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0，则(
)
A.f(-2)<f(3)<f(4)
B.f(-2)>f(3)>f(4)
C.f(3)<f(4)<f(-2)
D.f(4)<f(-2)<f(3)
答案 A
解析 因为对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0，
所以f(x)在(-∞，0]上单调递减，
又f(x)为偶函数，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
则f(2)<f(3)<f(4)，
又f(-2)=f(2)，
所以f(-2)<f(3)<f(4).
命题点2 求函数的最值
例4 函数y= 1
x -1-1+x(x≥3)的最小值为 .
答案 5
2
解析 设t=x-1，t≥2，
则y= 1
x -1-1+x=t+1
t (t≥2)，
又函数y=t+1
t 在[2，+∞)上单调递增，
所以当t=2，即x=3 时，
函数有最小值2+1
2=5
2.
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3 的值域为[2，6)
B.函数y=2 x +1
x -3 的值域为R
C.函数y=2x-√x -1的值域为[
15
8 ，+∞)
D.函数y=√x +1+√x -1的值域为[√2，+∞)
答案 ACD
解析 对于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
对于B，(分离常数法)y=2 x +1
x -3 =2( x -3)+7
x -3
=2+ 7
x -3 ，显然7
x -3 ≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞).
对于C，(换元法)设t=√x -1，则x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2(t - 1
4)
2
+15
8 ，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为[
15
8 ，+∞).
对于D，函数的定义域为[1，+∞)，
∵y=√x +1与y=√x -1在[1，+∞)上均单调递增，∴y=√x +1+√x -1在[1，+∞)上为增函数，
∴当x=1 时，ymin=√2，
即函数的值域为[√2，+∞).
命题点3 解函数不等式
例5 (2024·湖州模拟)已知函数f(x)=ex-e-x，则使f(|x|)<f(-3x2+4)成立的实数x 的取值范围是( )
A.(-1，0)
B.(-1，+∞)
C.(-1，1)
D.(1，+∞)
答案 C
解析 函数y=ex为增函数，函数y=e-x为减函数，
所以函数f(x)=ex-e-x为增函数，
所以f(|x|)<f(-3x2+4)⇔|x|<-3x2+4，
即3|x|2+|x|-4<0，(|x|-1)(3|x|+4)<0，得0≤|x|<1，
解得-1<x<1，
所以实数x 的取值范围为(-1，1).
命题点4 求参数的值(范围)
例6 (2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)={
- x
2-2ax -a，x<0，
e
x+ ln( x +1)，x ≥0 在R 上单调递增，则a 的取值范围
是( )
A.(-∞，0]
B.[-1，0]
C.[-1，1]
D.[0，+∞)
答案 B
解析 因为f(x)在R 上单调递增，
且x≥0 时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足{
--2a
2×(-1) ≥0，
-a≤e
0+ ln1，
解得-1≤a≤0，
即a 的取值范围是[-1，0].
思维升华 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象
的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
跟踪训练2 (1)若函数f(x)= x +a-3
x -1 在(a，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为 .
答案 [1，2)
解析 f(x)= x +a-3
x -1
= x -1+a-2
x -1
=1+a-2
x -1，
∵f(x)在(a，+∞)上单调递增，
∴{
a-2<0，
a≥1
⇒1≤a<2.
(2)函数y=f(x)是定义在[-2，2]上的减函数，且f(a+1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是 .
答案 [-1，1)
解析 依题意得{
-2≤a+1≤2，
-2≤2a≤2，
a+1>2a，
解得-1≤a<1.
所以实数a 的取值范围是[-1，1).
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.若函数y=loga(x-1)是(1，+∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A.(1，+∞)
B.(0，1)
C.(-∞，1)
D.(-1，1)
答案 B
解析 显然函数u=x-1 在(1，+∞)上单调递增，而函数y=loga(x-1)是(1，+∞)上的减函数，
因此对数函数y=logau 在(0，+∞)上单调递减，则0<a<1，
所以实数a 的取值范围是(0，1).
2.已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为函数y=2x，y=x 在R 上为增函数，
则函数f(x)=2x+x 在R 上为增函数，
则“f(x1)=f(x2)”可以推出“x1=x2”，“x1=x2”也可推出“f(x1)=f(x2)”，
故“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的充要条件.
3.已知函数f(x)={
(a-2)x -1，x ≤1，
lo ga x，x>1
满足对任意x1≠x2，都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0 成立，则实数a 的取值范
围为( )
A.(1，2)
B.(2，3)
C.(2，3]
D.(2，+∞)
答案 C
解析 函数f(x)={
(a-2)x -1，x ≤1，
lo ga x，x>1
的定义域为R，
由对任意x1≠x2，都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0，
得函数f(x)在R 上为增函数，
于是{
a-2>0，
a>1，
a-3≤0，
解得2<a≤3，
所以实数a 的取值范围为(2，3].
4.函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的
是( )
A.函数f(x)是减函数
B.f(-5)>f(0)>f(1)
C.f(0)=0
D.不等式f(2x-1)<f(3-x)的解集为(-∞，4
3)
答案 D
解析 由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，
因此f(x)是增函数，A 错误；
由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1)，B 错误；
不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R 上为增函数，f(0)=1，C 错误；
由f(2x-1)<f(3-x)，得2x-1<3-x，解得x<4
3 ，D 正确.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0”的是( )
A.f(x)=21-x
B.f(x)=-2
x
C.f(x)=√x
2+ 4 x + 4
D.f(x)=ln x+ex
答案 BCD
解析 函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0”，则函数f(x)在(0，+∞)
上单调递增.
函数f(x)=21-x在(0，+∞)上单调递减，故A 不符合题意；
函数f(x)=-2
x 在(0，+∞)上单调递增，故B 符合题意；
函数f(x)=√x
2+ 4 x + 4的定义域为R，且函数y=x2+4x+4 在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=√x
2+ 4 x + 4在
(0，+∞)上单调递增，故C 符合题意；
函数y=ln x 与y=ex在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=ln x+ex在(0，+∞)上单调递增，故D 符合题意.
6.(2024·哈尔滨模拟)以下结论正确的是( )
A.函数y=sin x+ 4
sin x 的最小值为4
B.函数y= x -2
2 x +1(x≥1)的值域为[- 1
3 ，1
2)
C.函数y=2x+√1- x的值域为(-∞，17
8 ]
D.函数y=
1
2
x+1的值域为(0，1)
答案 BCD
解析 对于A，当sin x=-1 时，y=-5，A 错误；
对于B， y=1
2·2 x +1-5
2 x +1
=1
2(1-
5
2 x +1)，则y= x -2
2 x +1在[1，+∞)上单调递增，-1
3≤y<1
2，B 正确；
对于C，y=2(x-1)+√1- x+2=-2(√1- x)2+√1- x+2=-2(√1- x - 1
4)
2
+17
8 ，
而√1- x≥0，当√1- x=1
4 时，ymax=17
8 ，则原函数的值域为(-∞，17
8 ]，C 正确；
对于D，2x+1>1，则0<
1
2
x+1<1，因此函数y=
1
2
x+1的值域为(0，1)，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.若函数f(x)=|x-a+1|在区间[1，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为 .
答案 a≤2
解析 由题设f(x)={
x -a+1，x ≥a-1，
a-1- x，x<a-1，
显然f(x)在[a-1，+∞)上单调递增，
要使函数在区间[1，+∞)上单调递增，
则a-1≤1，即a≤2.
8.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)称为柯西方程，满足该方
程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R 上单调递减的加性函数 .
答案 f(x)=-x(答案不唯一)
解析 设f(x)=-x，在R 上单调递减.
f(x+y)=-x-y，f(x)=-x，f(y)=-y，满足f(x+y)=f(x)+f(y).
所以函数f(x)=-x 是在R 上单调递减的加性函数.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知函数f(x)=x|x-4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(6 分)
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.(7 分)
解 (1)f(x)=x|x-4|={
x
2- 4 x，x ≥4，
4 x - x
2，x<4，
函数f(x)的大致图象如图所示.
(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4).
10.(14 分)(2025·重庆联考)已知f(x)=2
x -1
2
x+1
(x∈R).
(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(7 分)
(2)解关于t 的不等式f(t2-3)+f(2t)<0.(7 分)
解 (1)f(x)=2
x -1
2
x+1
=1-
2
2
x+1在R 上是增函数.
证明：在R 上任取x1，x2且x1<x2，
f(x1)-f(x2)=(1-
2
2
x1+1)-(1-
2
2
x2+1)=
2(2
x1-2
x2)
(2
x1+1)(2
x2+1)
，
由x1<x2可知0<2
x1<2
x2，
所以2
x1-2
x2<0，2
x1+1>0，2
x2+1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2).
即f(x)在R 上是增函数.
(2)易知f(-x)=2
- x -1
2
- x+1
=1-2
x
1+2
x =-f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，
由(1)知，函数f(x)在R 上是增函数，
由f(t2-3)+f(2t)<0，可得f(t2-3)<-f(2t)=f(-2t)，
所以t2-3<-2t，即t2+2t-3<0，
解得-3<t<1，
即关于t 的不等式f(t2-3)+f(2t)<0 的解集为{t|-3<t<1}.
11 题5 分，12 题6 分，共11 分
11.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>-1，则下列说法正确的是(
)
A.y=f(x)+x 是增函数
B.y=f(x)+x 是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
答案 A
解析 不妨令x1<x2，∴x1-x2<0，
∵
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2，
令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)<g(x2)，
又x1<x2，∴g(x)=f(x)+x 是增函数.
12.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正
切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x＝e
x -e
- x
2
，双曲余弦函数cosh x＝e
x＋e
- x
2
，双曲正切函
数tanh x＝sinh x
cosh x .则( )
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x＋y)＝tanh x＋tanh y
1＋tanh x tanh y
答案 ACD
解析 对于A，令f(x)＝sinh x＝e
x -e
- x
2
，
则f'(x)＝e
x＋e
- x
2
>0 恒成立，
故双曲正弦函数是增函数，故A 正确；
对于B，令g(x)＝cosh x＝e
x＋e
- x
2
，
则g'(x)＝e
x -e
- x
2
，
由A 知，g'(x)为增函数，又g'(0)＝e
0-e
0
2
＝0，
故当x∈(－∞，0)时，g'(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g'(x)>0，
故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B 错误；
对于C，tanh x＝sinh x
cosh x ＝
e
x -e
- x
2
e
x＋e
- x
2
＝e
x -e
- x
e
x＋e
- x ＝e
2 x -1
e
2 x＋1
＝1－
2
e
2 x＋1，
由y＝e2x＋1 在R 上单调递增，且y＝e2x＋1>1，
故tanh x＝1－
2
e
2 x＋1是增函数，故C 正确；
对于D，由C 知tanh x＝e
2 x -1
e
2 x＋1
，则tanh(x＋y)＝e
2 x＋2 y -1
e
2 x＋2 y＋1
，
tanh x＋tanh y
1＋tanh x tanh y ＝
e
2 x -1
e
2 x＋1
＋e
2 y -1
e
2 y＋1
1＋e
2 x -1
e
2 x＋1
· e
2 y -1
e
2 y＋1
＝(e
2 x -1)(e
2 y＋1)＋(e
2 y -1)(e
2 x＋1)
(e
2 x＋1)(e
2 y＋1)＋(e
2 x -1)(e
2 y -1)
＝e
2 x＋2 y＋e
2 x -e
2 y -1＋e
2 x＋2 y -e
2 x＋e
2 y -1
e
2 x＋2 y＋e
2 x＋e
2 y＋1＋e
2 x＋2 y -e
2 x -e
2 y＋1
＝2e
2 x＋2 y -2
2e
2 x＋2 y＋2
＝e
2 x＋2 y -1
e
2 x＋2 y＋1，
故tanh(x＋y)＝tanh x＋tanh y
1＋tanh x tanh y ，故D 正确.
