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§2.6 二次函数与幂函数
课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对
称性、顶点、最值等).
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，+∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，+∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，+∞)上单调递减；
④当α 为奇数时，y=xα为 ；当α 为偶数时，y=xα为 .
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)= .
顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为 .
零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 .
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
值域
对称轴
x=
顶点坐标
奇偶性
当b=0 时是 函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在(-∞，- b
2a]上单调递 ；
在[- b
2a ，+ ∞)上单调递
在(-∞，- b
2a]上单调递 ；
在[- b
2a ，+∞)上单调递
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=1
2 x
1
2是幂函数.( )
(2)若二次函数y=ax2+bx+c 的图象恒在x 轴下方，则a<0 且Δ<0.( )
(3)二次函数y=a(x-1)2+2 的单调递增区间是[1，+∞).( )
(4)若幂函数y=xα是偶函数，则α 为偶数.( )
2.已知幂函数f(x)的图象过点(
1
4 ，2)，则f(4)等于( )
A.0
B.1
2
C.-1
2
D.-2
3.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值域是( )
A.[0，1]
B.[- 9
8 ，1]
C.[1，2]
D.[- 9
8 ，2]
4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞，-3]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
1.幂函数的性质
(1)当α<0 时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方
无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是
两个幂函数的公共点.
2.谨防三个易误点
(1)幂函数f(x)=x
m
n (m，n 互质)，当m 为偶数时，函数为偶函数；当m 为奇数，n 为偶数时，函数为非奇非
偶函数；
(2)二次函数在区间单调，求参数取值范围时等号的处理；
(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)下列命题中正确的是( )
A.当m=0 时，函数y=xm的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C.幂函数y=xm的图象不可能在第四象限内
D.若幂函数y=xm为奇函数，则y=xm是定义域内的增函数
(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n 取±2，±1
2四个值，则相对应曲线
C1，C2，C3，C4的n 依次为( )
A.-2，-1
2 ，1
2，2
B.2，1
2，-1
2，-2
C.-1
2，-2，2，1
2
D.2，1
2，-2，-1
2
思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，
y=x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α=1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
跟踪训练1 (1)幂函数f(x)=(m2-m-1)·x
m
2+m-3在(0，+∞)上单调递减，则实数m 的值为( )
A.2 或-1
B.-1
C.2
D.-2 或-1
(2)(多选)已知函数f(x)=xα(α 为常数)，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象恒过定点(1，1)
B.当α=-1 时，函数f(x)是减函数
C.当α=3 时，函数f(x)是奇函数
D.当α=1
2时，函数f(x)的值域为(0，+∞)
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
思维升华 求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x=2，且方程f(x)=0 的两个根的平方和
为10，则f(x)的解析式为 .
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 (多选)函数f(x)=ax2-2x+1 与g(x)=xa在同一直角坐标系中的图象不可能为( )
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于
系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ 的符号.
(2)对称轴x＝－b
2a与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
典例 已知关于x 的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m 的取值
范围；
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m 的取值范围.
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 (2025·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1.
(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a 的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.
思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪
种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行
分类讨论.
跟踪训练3 (1)已知函数y=x2-3x-4 的定义域是[-1，m]，值域为[- 25
4 ，0]，则m 的取值范围是( )
A.(0，4]
B.[
3
2 ，4]
C.[
3
2 ，3]
D.[
3
2 ，+ ∞)
(2)函数f(x)=x2-4x+2 在区间[a，b]上的值域为[-2，2]，则b-a 的取值范围是 .
答案精析
落实主干知识
1.(1)y=xα (3)②(1，1) (0，0)
③(1，1) ④奇函数 偶函数
2.(1)ax2+bx+c(a≠0) (m，n) 零点
(2)R [
4 ac -b
2
4 a
，+∞)
(-∞，4 ac -b
2
4 a ] - b
2a
(- b
2a ，4 ac -b
2
4 a ) 偶 减 增 增 减
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.B 3.D 4.(-∞，4]
探究核心题型
例1 (1)C [对于A，当m=0 时，函数y=xm的图象是直线y=1 除去点(0，1)，所以A 项不正确；
对于B，幂函数的幂指数小于0 时，图象不经过点(0，0)，所以B 项不正确；
对于C，幂函数y=xm的图象不可能在第四象限内，所以C 项正确；
对于D，当m=-1 时，幂函数y=xm为奇函数，但在定义域内不是增函数，所以D 项不正确.]
(2)B [根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象：
当n>0 时，n 越大，y=xn递增速度越快，所以曲线C1的n=2，C2的n=1
2；
当n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-1
2，C4的n=-2.]
跟踪训练1 (1)B [由题意可知，m2-m-1=1，解得m=-1 或m=2，
当m=-1 时，f(x)=x-3，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，成立；
当m=2 时，f(x)=x3，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，不成立，
所以m=-1.]
(2)AC [f(1)=1α=1，A 正确；
当α=-1 时，f(x)=1
x 分别在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，在定义域上不单调，B 错误；
当α=3 时，f(x)=x3的定义域为R，且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数，C 正确；
当α=1
2时，f(x)=√x的值域为[0，+∞)，D 错误.]
例2 解 方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得{
4 a+2b+c =-1，
a-b+c =-1，
4 ac -b
2
4 a
=8，
解得{
a=- 4，
b= 4，
c =7.
所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1)，所以抛物线的对称轴为x=2+(-1)
2
=1
2，
所以m=1
2.
又根据题意，函数有最大值8，
所以n=8，
所以f(x)=a(x - 1
2)
2
+8.
因为f(2)=-1，
所以a(2- 1
2)
2
+8=-1，
解得a=-4，
所以f(x)=-4(x - 1
2)
2
+8
=-4x2+4x+7.
方法三 (利用“零点式”解题)
由已知得f(x)+1=0 的两根为x1=2，x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8，
即4 a(-2a-1)-(-a)
2
4 a
=8.
解得a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
跟踪训练2 f(x)=x2-4x+3
解析 依题意，设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0)，
由二次函数f(x)的图象过点(0，3)，
得f(0)=3，
所以4a+h=3，即h=3-4a，
所以f(x)=a(x-2)2+3-4a，
令f(x)=0，即a(x-2)2+3-4a=0，
所以ax2-4ax+3=0，
设方程的两根为x1，x2，
则x1+x2=4，x1x2=3
a，
所以x1
2+x2
2=(x1+x2)2-2x1x2
=16-6
a，
所以16-6
a=10，解得a=1，
所以f(x)=x2-4x+3.
例3 BD [因为f(x)=ax2-2x+1，g(x)=xa，
对于A，当a=-1 时，f(x)=-x2-2x+1，其图象开口向下，对称轴方程为x=-1，g(x)=x-1=1
x ，其图象关于原点对
称，且在(0，+∞)上单调递减，故A 满足要求；
对于B，当f(x)=ax2-2x+1 的图象开口向上时，a>0，此时g(x)=xa在(0，+∞)上单调递增，故B 不满足要求；
对于C，当a=1
2时，f(x)=1
2x2-2x+1，其图象开口向上，对称轴方程为x=2，g(x)=x
1
2，其图象在[0，+∞)上单
调递增，且越来越缓，故C 满足要求；
对于D，当f(x)=ax2-2x+1 的图象开口向上时，a>0，此时其对称轴方程为x=--2
2a=1
a>0，故D 不满足要求.]
微拓展
典例 解 (1)依题意知，函数f(x)=x2+2mx+2m+1 的图象与x 轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出
示意图，
得{
f (0)=2m+1<0，
f (-1)=2>0，
f (1)= 4 m+2<0，
f (2)=6m+5>0，
即{
m<- 1
2 ，
m∈R，
m<- 1
2 ，
m>- 5
6 ，
解得-5
6<m<-1
2.
故实数m 的取值范围为(- 5
6 ，- 1
2).
(2)依题意知，函数f(x)=x2+2mx+2m+1 的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图，
得{
f (0)>0，
f (1)>0，
Δ>0，
0<-m<1，
即{
m>- 1
2 ，
m>- 1
2 ，
m>1+√2或m<1-√2，
-1<m<0，
解得-1
2<m<1-√2.
故实数m 的取值范围为(- 1
2 ，1-√2).
例4 解 (1)由题意知a≠0.
当a>0 时，f(x)=ax2-x+2a-1 的图象开口向上，
对称轴方程为x= 1
2a，
所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足1
2a≥2，
又a>0，所以0<a≤1
4 ；
当a<0 时，f(x)=ax2-x+2a-1 的图象开口向下，对称轴方程为x= 1
2a<0，
所以f(x)在区间[1，2]上单调递减恒成立.
综上，a 的取值范围是(-∞，0)∪(0，1
4].
(2)①当0< 1
2a≤1，即a≥1
2时，
f(x)在区间[1，2]上单调递增，
此时g(a)=f(1)=3a-2.
②当1< 1
2a<2，即1
4 <a<1
2时，
f(x)在区间[1，1
2a]上单调递减，在区间[
1
2a ，2]
上单调递增，
此时g(a)=f (
1
2a)=2a- 1
4 a-1.
③当1
2a≥2，即0<a≤1
4 时，
f(x)在区间[1，2]上单调递减，
此时g(a)=f(2)=6a-3.
综上所述，g(a)={
6a-3，a∈(0，1
4]，
2a- 1
4 a -1，a∈(
1
4 ，1
2)，
3a-2，a∈[
1
2 ，+ ∞).
跟踪训练3 (1)B [设f(x)=x2-3x-4=(x - 3
2)
2
-25
4 ，x∈R，
所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=3
2，如图所示，
所以f (
3
2)=-25
4 ，
易知f(-1)=f(4)=0，
由图可知，要使函数y=x2-3x-4 的定义域是[-1，m]，值域为[- 25
4 ，0]，
则m 的取值范围是[
3
2 ，4].]
(2)[2，4]
解析 解方程f(x)=x2-4x+2=2，得x=0 或x=4，解方程f(x)=x2-4x+2=-2，得x=2，
由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[-2，2].
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]=[0，2]或[a，b]=[2，4]，此时b-a 取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，
且当b-a 取最大值时，[a，b]=[0，4]，
所以b-a 的最大值为4，
所以b-a 的取值范围是[2，4].
