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艺体生专项训练8 二项、超几何、正态分布的期望与方差
建议用时：40 分钟
参考公式：
一、二项分布
①定义：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p，此
时称随机变量X 服从二项分布，记作
，并称p 为成功概率.
在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为
②均值和方差：
二、超几何分布
①定义：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
，
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且
n，M，N∈N*，即如果随机变量X 的分布列
具有下表形式
X
0
1
…
m
P
…
则称随机变量X 服从超几何分布．
②均值：
三、正态分布
1.正态分布的概念
①正态曲线：称
其中
为参数，为正态密度函数，称其
图象为正态分布密度曲线(其中μ 是正态分布的期望，σ 是正态分布的标准差)
②正态分布的定义
若随机变量X 的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为
．特别地，当
时，称随机变量X 服从标准正态分布．
2.正态曲线的性质
当
一定时，曲线的位置由
确定，曲线
随着
的变化而沿x 轴平移
当
一定时，曲线的形状由
确定，
较
小时曲线“瘦高”，表示随机变量X 的分布
比较集中；
较大时，曲线“矮胖”，表示
随机变量
的分布比较分散，
3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ 原则
①
；
；
.
②
原则：尽管正态变量的取值范围是
，但在一次试验中，X 的取值几乎总是落在区间
内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不
可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布
的随机变量X 只取
中
的值
一、单选题
1．某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000 株作为样本，若该农作物的茎高X 近似服从正态分布
且
．则该农作物茎高在
范围内的株数约为（ ）
A．1000
B．2000
C．3000
D．4000
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性可得
，结合题意即可得结果.
【详解】由题意可知：
，且
，
则
，
所以该农作物茎高在
范围内的株数约为
.
故选：C.
2．设随机变量
的分布列如下：则方差
（ ）
0
1
2
3
0.1
0.3
0.4
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】由分布列中概率的和为1 可求得a，再求出均值，代入方差计算公式求解即可.
【详解】由分布列得
，则
，
则
.
故选：B．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和方差，熟记离散型随机变量的方差公式是解题的关键，属于
基础题．
二、多选题
3．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布
，
，其正态分布
的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（ ）
附：若随机变量X 服从正态分布
，则
.
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若
，则甲同学成绩高于80 分的概率约为0.1587
【答案】ACD
【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即
可．
【详解】解：由图象可知，甲的图象关于
对称，乙的图象关于
对称，
所以甲同学的平均成绩为75 分，乙同学的平均成绩为85 分，
故选项A 正确，B 错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，
所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，
故选项C 正确；
若
，则甲同学成绩高于80 分的概率约为
，
故选项D 正确．
故选：ACD．
4．某游戏推出两种抽奖活动
和
，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动
和活
动
的抽奖收益
，
（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（ ）
活动
的收益分布：
3
7
11
0.4
0.3
活动
的收益分布：
0
8
18
0.6
0.1
A．
B．
C．两个活动的收益期望一样多
D．活动
的收益风险低于活动
【答案】AC
【分析】根据分布列的性质求出
、
，再根据期望、方差公式计算可得.
【详解】依题意可得
，所以
，
，
则
，故A 正确；
所以
，
，则
，故C 正确；
而
，故B 错误；
因为
，
，
即
，所以活动
的收益风险高于活动
，故D 错误.
故选：AC.
5．下列说法正确的是（ ）
A．已知数据
的极差为6，方差为2，则数据
的极差和方差分别为
，
B．一组数
的平均数为
，若再插入一个数
，则这
个数的方差变大
C．若随机变量
，则
D．若随机变量
，且
，则
【答案】AD
【分析】利用极差和方差的性质可判断A 选项；利用平均数和方差的计算公式可判断B；利用独立重复试
验的概率公式可判断C 选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，数据
的极差为6，则数据
的极差为
，
数据
的方差为2，则数据
的方差为
，故A 正确；
对于B 选项，由题意可知
，若再插入一个数
，则平均数变为
，即平均数不变，
而原来的数据的方差为
，
同理可算得新数据的方差为
，所以方差会变小，
故B 错误；
对于C 选项，若随机变量
，则
，故C 错误；
对于D 选项，若随机变量
，且
，
则
，故D 正确.
故选：AD.
6．下列选项正确的是（ ）
A．若样本数据
的方差为1，那么数据
的方差为
B．经验回归方程为
时，
与
正相关
C．若随机变量
服从两点分布，那么
最大值是
D．数据
的
分位数是5
【答案】BC
【分析】根据方差的性质可判断A；根据回归直线的含义判断B；结合基本不等式判断C；根据百分位数
的算法判断D.
【详解】对于A 选项：样本数据
的方差为1，
则数据
的方差为
，所以A 选项错；
B 选项：经验回归方程为
时，x 系数为正，所以
与
正相关，所以B 选项对；
C 选项：随机变量
服从两点分布，设成功概率为
,
则
，当且仅当
时等号成立，C 正确；
D 选项，数据
的
分位数是
，D 错误，
故选：BC.
7．下列说法正确的是（ ）
A．数据2，1，6，3，4，5，4，1，3 的下四分位数是2
B．若数据
的标准差为s，则数据
的标准差为
C．随机变量
，若
，则
D．随机变量
，若
，则
【答案】ABC
【分析】对于A，由下四分位数为
分位数可求；对于B，由数据标准差的线性关系可判断；对于C，
根据正态分布的对称性可求概率；对于D，由二项分布方差公式可求
，再计算期望即可.
【详解】对于A 中，数据从小到大排列为
，共有9 个数据，
因为
，所以数据的下四分位数为第3 个数据，即为2，所以A 正确；
对于B 中，数据
的标准差为，由数据方差的性质，
可得数据
的标准差为
，所以B 正确；
对于C 中，随机变量
服从正态分布
，且
，
根据正态分布曲线的对称性，可得
，所以C 正确；
对于D 中，随机变量
服从二项分布
，且
，
可得
，解得
或
，
当
时，可得
；
当
时，可得
，所以D 错误．
故选：ABC.
8．若随机变量
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可.
【详解】A，
，故A 正确；
B，
，故B 错误；
C，
，故C 正确；
D，
，故D 错误.
故选：AC.
三、填空题
9．已知随机变量
的分布列如下表：
若
，则
；
．
【答案】 0.
.
【详解】分析：先根据分布列的性质求出b 的值，再根据期望计算出a 的值，最后计算方差.
详解：由题得
所以
.
解得a=0.
所以
故答案为0，
.
点睛：本题主要考查分布列的性质
，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学
生离散型随机变量的分布列的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.
四、解答题
10．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳门人工岛，
止于珠海洪湾立交；桥隧全长55 千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度100 千米/小时，限制速度
为
千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示：
(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间（精确到0.1）
(2)以（1）中的平均时间作为
，车辆通过港珠澳大桥的时间X 近似服从正态分布
，任意取通过
大桥的1000 辆汽车，求所用时间少于39.5 分钟的大致车辆数目（精确到整数）.
附：若
，则
，
.
【答案】(1)
(2)159
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；
（2）由题知
，根据正态分布的性质求出
，即可做出估计；
【详解】（1）解：由频率分布直方图可得
.
（2）解：由题知
，
，
所以
，故所用时间少于
分钟的大致车辆数目为
.
11．为了增强消防意识，某部门从男职工中随机抽取了50 人，从女职工中随机抽取了40 人参加消防知识
测试，按优秀程度制作了如下
列联表：
优秀
非优秀
总计
男职工
35
女职工
总计
50
（1）完成
列联表，并判断是否有
的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；
（2）为参加市里举办的消防知识竞赛，该部门举行了预选赛，已知在消防知识测试中优秀的职工通过预
选赛的概率为
，现从消防知识测试中优秀的职工中选3 人参加预选赛，设随机变量
表示这3 人中通过
预选赛的人数，求
的分布列与数学期望.
附：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】（1）列联表见解析，没有
把握认为是否优秀与性别有关. （2）分布列见解析，
.
【分析】（1）根据男职工人数求出非优秀男职工人数，结合优秀总计求出优秀女职工人数，女职工一共
40 人，即可得到列联表数据，根据公式计算
并下结论；
（2）根据题意
的可能取值是0，1，2，3，求出概率得出分布列，即可求出
.
【详解】解：（1）因为男职工50 人，优秀35 人，所以非优秀15 人，
女职工优秀15 人，所以非优秀25 人，列联表如下：
优秀
非优秀
总计
男职工
35
15
50
女职工
15
25
40
总计
50
40
90
，
∴没有
把握认为是否优秀与性别有关.
（2）
的可能取值是0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为
0
1
2
3
即
.
【点睛】此题考查完成列联表根据列联表计算
，进行独立性检验，计算随机变量的分布列，根据分布
列求期望，根据二项分布公式求解可以减少计算量.
12．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积
亩
1
2
3
4
5
管理时间
月
8
10
13
25
24
并调查了某村300 位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50
女性村民
50
合计
(1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间
与土地使用面积
是否线性相关（当
时，即可
认为线性相关）；
(2)依据
的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
(3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3 人，记取到不愿意参与管理
的男性村民的人数为
，求
的分布列及数学期望.
参考公式：
，其中
.
临界值表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考数据：
.
【答案】(1)
，管理时间
与土地使用面程
线性相关.
(2)认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格数据和公式计算可得，由此可得结论；
（2）根据已知数据可得列联表，计算可得
，由此可得结论；
（3）首先确定从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率，可知
，由二项分布概率公式可计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列，根据数学期望计
算公式可求得结果.
【详解】（1）由题知，
，
，
，
，
，
则
，
故管理时间
与土地使用面程
线性相关.
（2）依题意，完蟙表格如下：
单位：人
愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
合计
200
100
300
零假设为
：村民的性别与参与管理的意愿无关.
计算可得
.
依据
的独立性检验，推断
不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
（3）法一：依题意，
的可能取值为
，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性
村民的概率为
，
故
，
故
的分布列为
0
1
2
3
则数学期望
.
法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为
，
则
，故
.
13．某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影
响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮
答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为
，第二组每道题答对的概率均为
，两组题至少答对
3 题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为
，请写出
的分布列，并求
；
(2)若甲同学进行了10 轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)4
【分析】（1）由题意可得
可取0，1，2，3，4，进而分别求出概率即可求解；
（2）先求得每一轮获得纪念章的概率，由每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，进而可得
，
，
，由
，解出
即可
求解.
【详解】（1）由题意，
可取0，1，2，3，4.
,
，
，
，
，
则
的分布列为：
0
1
2
3
4
.
（2）每一轮获得纪念章的概率为
，
每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，
设10 轮答题获得纪念章的数量为
，则
，
，
.
由
，得
，
解得
，又
，得
，则获得4 枚纪念章的概率最大.
14．将8 株某种果树的幼苗分种在4 个坑内，每坑种2 株，每株幼苗成活的概率为0.5.若一个坑内至少有1
株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1 个坑需15
元，用X 表示补种费用.
(1)求一个坑不需要补种的概率；
(2)求4 个坑中恰有2 个坑需要补种的概率；
(3)求X 的数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)15 元
【分析】（1）利用对立事件概率公式求概率；
（2）每坑要补种的概率
，然后由独立重复试验的概率公式计算；
（3）设4 个坑中需要补种的坑数为Y，则
，
，由二项分布的期望公式计算可得．
【详解】（1）一个坑不需要补种就是2 株幼苗中至少有1 株成活，
所以其概率
（2）每坑要补种的概率
，所以4 个坑中恰有2 个坑需要补种的概率
（3）设4 个坑中需要补种的坑数为Y，则
，所以
，
而
，故
元
15．通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间
分钟到
钟的
人进行统计，按照租车时间
，
，
，
，
分组做出频率分布直方图，并作出租用时间和茎叶图（图
中仅列出了时间在
，
的数据）．
（1）求
的频率分布直方图中的
；
（2）从租用时间在
分钟以上（含
分钟）的人数中随机抽取
人，设随机变量
表示所抽取的
人租
用时间在
内的人数，求随机变量
的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）
【详解】试题分析：（1）根据茎叶图易知
范围的人数为8 人，
范围内的人数为2 人，而
由频率分布直方图可知，
的频率为0.16，所以
，则
，再根据频率分
布直方图可以求出x 的值；（2）由频率分布直方图可知：租用时间在
内的人数为5，租用时间在
内的人数为
，共
人.抽取的
人中租用时间在
内的人数
的可能取值为
，根据超几
何分布，可以求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望.
试题解析：(1)由题意可知，样本容量
,
.
(2)由题意可知，租用时间在
内的人数为5，租用时间在
内的人数为，共人.
抽取的人中租用时间在
内的人数
的可能取值为
，则
，
，
.
故
.
考点：1.茎叶图；2.频率分布直方图；3.离散型随机变量分布列、数学期望.
16．某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益
活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80 人，女生120 人
进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：
女生
男生
合计
环境保护
80
40
120
社会援助
40
40
80
合计
120
80
200
(1)能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4 人，记这4 人中参
加环境保护的人数为
，求
的分布列和期望．
附：
，其中
．
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)没有
(2)分布列见解析，
【详解】解：（1）因为
，
所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．
（2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为
，
故从女生中随机抽取1 人，此人参加环境保护的概率为
，
由题意知，
，
则
，
．
的分布列为
0
1
2
3
4
故
