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专题01 集合+复数+平面向量
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
2．（2023·全国·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
1
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【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到
，从而解出．
【详解】因为
，所以
，即
．
故选：A．
3．（2023·全国·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
4．（2023·全国·高考真题）在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为
，
则所求复数对应的点为
，位于第一象限.
故选：A.
2
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5．（2023·全国·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
6．（2022·全国·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后可求
.
【详解】
，故
，
故选：D
7．（2022·全国·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求
.
【详解】由题设有
，故
，故
，
故选：D
3
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8．（2022·全国·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
9．（2022·全国·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合
后可求
.
【详解】[方法一]：直接法
因为
，故
，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合
，可得
，不满足，排除A、D；
代入集合
，可得
，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
10．（2022·全国·高考真题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4
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【分析】利用复数的乘法可求
.
【详解】
，
故选：D.
11．（2022·全国·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：
,
,即
,解得
,
故选：C
12．（2021·全国·高考真题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求
.
【详解】由题设有
，
故选：B .
13．（2021·全国·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为
，故
，故
故选：C.
5
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14．（2021·全国·高考真题）复数
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简
，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为
，
该点在第一象限，
故选：A.
15．（2021·全国·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求
.
【详解】由题设可得
，故
，
故选：B.
二、多选题
16．（2021·全国·高考真题）已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】A、B 写出
，
、
，
的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
6
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【详解】A：
，
，所以
，
，故
，正确；
B：
，
，所以
，同理
，故
不一定相等，错误；
C：由题意得：
，
，正确；
D：由题意得：
，
，故一般来说
故错误；
故选：AC
三、填空题
17．（2023·全国·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令
，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
7
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则
，所以
.
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.
故答案为：
.
18．（2021·全国·高考真题）已知向量
，
，
，
．
【答案】
【分析】由已知可得
，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得
，
因此，
.
故答案为：
.
一、单选题
1．（2024·广东·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合
的元素特性，可得集合间的关系.
8
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【详解】由集合
，
，得
.
故选：D
2．（2024·辽宁大连·一模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由补集和交集的定义运算.
【详解】集合
，集合
，
则
，有
.
故选：C
3．（2024·河北邯郸·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.
【详解】由
得
，即
，
,所以
.
故选：B
4．（2024·浙江杭州·二模）已知
是两个单位向量，若向量
在向量
上的投影向量为
，则向量
与
向量
的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】B
【分析】由条件结合投影向量的定义可求
，再根据向量夹角余弦公式求结论.
9
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【详解】因为向量
在向量
上的投影向量为
，
是两个单位向量，
所以
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，
又
，
所以
，又
，
所以向量
与向量
的夹角为
，即
.
故选：B.
5．（2024·浙江台州·二模）在复平面内，复数
（为虚数单位），则（ ）
A．的实部为2
B．
C．
D．对应的点位于第一象限
【答案】B
【分析】根据除法化简复数，根据实部、模、共轭复数、复数对应点逐项判断即可.
【详解】
，
故实部为1，
，
，对应的点位于第四象限
故选：B
6．（2024·河北邯郸·二模）已知复数满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】D
10
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【分析】设
，根据条件得到
，再利用模长的计算公式，即可求出结果.
【详解】令
，则
，所以
，解得
，
所以
，故
，
故选：D.
7．（2024·浙江·二模）已知集合
，
，若
，则满足集合
的个数为
（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.
【详解】因为
，
所以
可以是
，共8 个，
故选：D
8．（2024·广东佛山·二模）已知
与
为两个不共线的单位向量，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若
，则
，即
，
与
与
为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A 说法错误；
选项B：设
与
的夹角为
，则
，
，
所以
，故选项B 说法错误；
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选项C：若
，则
，
所以
，
，即
，
所以
，
又
，所以
，故选项C 说法错误；
选项D：因为
，
，
所以
，化简得
，
设
与
的夹角为
，则
，
，所以
，
所以
，即
，所以
，故选项D 说法正确；
故选：D
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数
满足
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出对应复数，利用复数的运算性质整体代值运算即可.
【详解】设
，
，且
，
由已知得
，
，得
，
又
，
故
，
，
同时平方得
，
，
相加并化简得
，
而
，
12
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.
故选：D
二、多选题
10．（2024·辽宁沈阳·二模）设方程
在复数范围内的两根分别为
，则下列关于
的说法
正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】求解可得
，再逐个选项判断即可.
【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知
，
则
（与
顺序无关），故A 正确；
对B，因为
，所以
，故B 正确；
对C，由A，
，故C 错误；
对D，由韦达定理可得
，故D 正确．
故选：ABD
11．（2024·广东广州·一模）已知向量
，
不共线，向量
平分
与
的夹角，则下列结论一定正确的
是（ ）
A．
B．
C．向量
，
在
上的投影向量相等D．
【答案】BC
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【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得
，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.
【详解】作向量
，在
中，
，
，
由向量
平分
与
的夹角，得
是菱形，即
，
对于A，
与
不一定垂直，A 错误；
对于B，
，即
，B 正确；
对于C，
在
上的投影向量
，
在
上的投影向量
，C 正确；
对于D，由选项A 知，
不一定为0，则
与
不一定相等，D 错误.
故选：BC
12．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量
满足
且
，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最大值为5
C．
的最小值为2
D．
的最大值为
【答案】BD
【分析】由向量
方向间的关系，判断
的最大值和最小值；由
，通过
的最值，
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计算
的最值.
【详解】当向量
方向相同，与
方向相反时，满足
，
此时
有最小值
，A 选项错误；
当向量
方向相同时，满足
，
此时
有最大值
，B 选项正确；
，有
，即
，则
，
向量
方向相同时，
的最小值为0，
的最小值为3，C 选项错误；
向量
方向相反时，
的最大值为2，
的最大值为
，D 选项正确.
故选：BD
13．（2024·广东梅州·二模）设
，
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的模长的运算性质即可求解ACD，举反例即可判断B.
【详解】对于A，
，则
，解得
，即
，故A 正确；
对于B，
，
，满足
，但
，故B 错误；
对于C，
，
，故C 正确；
对于D，
，则
，即
，即
，故D 正确．
故选：ACD．
15
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三、填空题
14．（2024·湖南·二模）已知集合
，若集合
恰有两个
元素，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】解二次不等式化简集合
，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.
【详解】因为
，
，
又集合
恰有两个元素，
所以
恰有两个元素1 和2，所以
.
故答案为：
.
15．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形
中，
，点
分别在线段
上，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据锐角三角函数可得
，即可由数量积的定义求解，结合和差角公
式以及三角函数的性质即可求解最值.
【详解】设
，则
，
16
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故
，
故
，
当
时，
，即
时，
此时
取最小值
.
故答案为：
．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于
的表达式，从而得解，
一、单选题
1．（2024·四川·模拟预测）设
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】利用分母实数化对进行化简，从而得到答案.
【详解】由题意可得
，所以
．
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
17
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再根据交集的定义即可得解.
【详解】因为
，
，
所以
．
故选：D．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）记是虚数单位，复数满足
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】利用复数的除法法则得到
，进而得到
，求出模长.
【详解】
，
故
，故
.
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）复数满足
（i 为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘除法运算法则计算即可.
【详解】由
，得
，
18
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所以
.
故选:D.
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）复数
的共轭复数的模是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念与求模公式计算即可.
【详解】由
，所以
.
故选：B
6．（2024·全国·模拟预测）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义，即可求解.
【详解】由题意知
.由
，得
.
故选：D.
7．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出集合
，根据集合交集运算可得结果.
【详解】因为
，
19
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所以
．
故选：A．
8．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设
与
的夹角为
，
则
在
上的投影向量为
.
故选：B.
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形
的边长为
，动点
在
边上（包括端点），
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化为函数，求出取值范围即可.
【详解】
如图，作
，以
为原点，建立平面直角坐标系，
易知
，
，
，
20
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设
，且
，故
，
，
故
，而
，
.
故选：C
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量
与
满足
在
上的投影向量为
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题
在
上的投影向量为
在
上的投影向量为
可得：
，
联立即可求解.
【详解】方法一 ： 设
，且
，
则
在
上的投影向量为
，
即
，
，
由
在
上的投影向量为
，则
，
所以
，
，解得
（负值已舍去），
，
方法二： 设
，如图
21
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在
上的投影向量为
，
点
在
上的投影
为
的中点，
在
上的投影向量为
，
点
在
上的投影为点
，即
，
为等腰直角三角形，
.
故选：B.
二、多选题
11．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，复数
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的共轭复数为
C．若
，则
D．使
成立的
，
【答案】BD
【分析】根据复数代数形式的减法运算求出
，即可求出其模，从而判断A，根据复数代数形式的除
法运算化简
，从而得到其共轭复数，即可判断B，由
，根据复数代数形式的除法运算化简即
22
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可判断C，首先
、
，再根据复数相等的充要条件得到方程，即可判断D.
【详解】对于A，因为
，
，所以
，
所以
，故A 不正确；
对于B，
，其共轭复数为
，故B 正确；
对于C，若
，则
，故C 不正确；
对于D，因为
，
，
若
，
则
，解得
，故D 正确．
故选：BD．
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
的最大值为5
D．若
，则
【答案】AD
【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐
标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据
，求出
的关系，进而可判断D.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
对于A，若
，则
，所以
，故A 正确；
23
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对于B，若
，则
，所以
，
又
，解得
或
，故B 错误；
对于C，
，其中
，
当
时，
取得最大值，故C 错误；
对于D，若
，则
，
即
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：AD.
13．（2024·全国·模拟预测）已知向量
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则向量
与向量
的夹角的余弦值为
D．若
，则向量
在向量
上的投影向量为
【答案】AC
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B；利用
向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D
【详解】若
，则
，解得
，故A 正确．
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若
，则
，解得
，故B 错误．
若
，则
，又
，所以向量
与向量
的夹角的余弦值为
，故C
正确．
若
，则
，又
，所以向量
在向量
上的投影向量为
，
故D 错误．
故选：AC．
三、填空题
14．（2024·湖南·模拟预测）已知全集
，集合
，则
．
【答案】
【分析】根据集合的运算即可求解.
【详解】由已知
，又
，
所以
．
故答案为：
15．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
中有2 个元素，则
实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.
【详解】因为
，
，若
中有2 个元素，
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所以
，所以
，解得
，
则实数a 的取值范围是
.
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