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14.1 勾股定理
一、课内训练:
1．在△ABC 中，∠A=90°，则
下列各式中不成立
的是（ ）
A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2
2．填空:
（1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；
（2）在△ABC 中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，D AB 边
上的高为________；
（3）若一个矩形的长为5 和12，则它的对角线长为_______．
3．判断题:
（1）三角形三边长分别为7、24、25，则这个三角形的面积为168；（ ）
（2）三角形的三边长分别为9、16、25，则此三角形为直角三角形；（ ）
（3）若三角形三边长分别为n-1、n、（n+1）（n>1），则此三角形为直角三角形（ ）
4．三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直
角三角形的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．三角形三边长分别
为6、8、10，那么它最短边
上的高为______．
6．如图，设火柴
盒ABCD 的两边之长为a 与b，
对角线长为c，推倒后的火柴盒是AB′C′D′，试利用该图验证勾股定理的正确性．
1
7．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b，斜
边长为c，如图（2）是以c 为直角边的等腰
直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另
一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）
8．如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，D求四边形ABCD 的面积．
（提示：直角三角形中，30°角所对边是斜边的一半）
2
9．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题．
（1 ）2+1=2，S1= 1
2
；（
2 ）2+1=3，S2=
2
2
；
（3 ）2+1=4，S3=
3
2
； …
（1）请用含n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求S1
2+S2
2+S3
2+…+S10
2的值．
二、课外演练：
1．若线段a、b、c 能构成直角三角形，则它们的比为（ ）
A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：7
2．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（D ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与
3
较小直角边的比为（ ）
A．13：12 B．169：25 C．13：5 D．12：5
4．在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．0.2，0.4，0.5 B．6，8，10 C．4，5，6 D．3 4
,
5 5
，2
5
5．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，D小刘搬来一架
高2.5 米的木梯，
准备把拉花挂到2.4 米高
的墙上，则梯脚与墙角距离应为（D ）
A．0.7 米 B．0.8 米 C．0.9 米 D．1.0 米
6．已知一直角三角形两边长分别为3 和4，则第三边的长为______．
7．若等腰直角三角形斜边长为2，则
它的直角
边长为_______．
8．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，D13cm，D则这个花坛的面积是________．
9．已知△ABC 的三边a、b、c 满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC 是（ ）
A ．以
a 为斜边的直角三角
形 B．以b 为斜边的直角三角形
C．以c 为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
10．矩形纸片ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式
折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则
DE=_______cm．
11．如图在4 个均由16 个小正方形组成的网格正方形
中，各有一个格点三角形，那么这4 个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：
_________．
A
B
C
D
4
B
C
A
C'
E
D
www.czsx.com.cn
F
12．如图，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高AD．
13）如图，在一次夏令营活动中，D小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了500 3 米
到达B 点，然后再沿北偏西30D°方向走了500 米到达目的地C 点，求A、C 两点间的距
离．
14．阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、D 阿拉伯
等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，
古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定
理”．
关于勾股定理的研究还有
一个很重要的内容
是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数
称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
5
方法1：若m 为奇数（m≥3），则a=m，b= 1
2
（m2-1）和c= 1
2
（m2+1）是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m 和n（m>n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c 为边长的△ABC 是直角三角形；
（2）请根据方法1 和方法2 按规律填写下列表格：
勾m
3
5
11
…
股1
2 （m2-1）
4
12
60
…
弦1
2 （m2+1）
5
13
61
…
m
2
3
3
4
4
4
5
5
6
…
n
1
2
1
3
2
1
4
3
5
…
a=m2-
n2
3
5
8
7
12
15
9
16
11
…
b=2mn
4
12
6
24
16
8
40
30
60
…
c=m2+n
2
5
13
10
25
20
17
41
34
61
…
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个
全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，D各边上相邻两棵树之间的
距离均为1 米，如果每个三角形最短边上都植6 棵树，且每个三角形的各边长之比为5：
12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．
15．如图，△ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），D根据勾股定理，则a2+b2=c2，若
△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，D试猜想a2+b2与c2的关系，
并证明你的结论．
6
7
答案:
一、课内训练:
1．B 点拨：BC 是斜边，在应用勾股定理时，应分清斜边和直角边．
2．（1）12；（2）8 24 4.8
点拨：两直角边的积=斜边×斜边上的高；（3）13．
3．（1）× （2）× （3）×
点拨：（1）是直角三角形，面积为1
2
×7×24=84；（2）不能构成三角形；
（3）中（n-1）2+n2≠（n+1）2．
4．B 点拨：②③可构成直角三角形；①不能构成三角形；④不能构成直角三角形．
5．8 点拨：此三角形为直角三角形．
6．点拨：可看成火柴盒ABCD 绕A 点旋转90°后得到△AB′C′D′，有∠CAC′=D90°，
△ACC′为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可．
7．（1）是直角梯形；
（2）因为S 梯形= 1
2
（a+b）（a+b）= 1
2
（a+b）2，
S=2× 1
2
ab+ 1
2
c2=ab+ 1
2
c2，
所以
1
2
（a+b）2=ab+ 1
2
c2，
即a2+b2=c2．
（3）如图所示．
8
8．3 3
2
点拨：延长AD、BC 交于点E，S 四边形ABCD=S△AEB-S△EDC．
9．（1）
（
n ）2+1=n+1，Sn=
2
n ；（2）OA10=
55
10; (3) 4
．
二、课外演练：
1．C
2．C 点拨：设斜边长为x，有x2=（x-2）2+62，x=10．
3．C 点拨：设两直角边为5x，12x，则斜边为
2
2
(5 )
(12 )
x
x
=13x．
4．B
5．A 点拨：
2
2
2.5
2.4
=0.7．
6．5 或
7 点拨：分4 为斜边长和直角边长解．
7．
2 点拨：设直角边长为x，有x2+x2=22，x=
2 ．
8．30cm2 点拨：此三角
形为直角三角形，且两直
角边长分别为5cm，12cm．
9．C 点拨：把c2-26c+169 变为（c-13）2，
9
则（a-5）2（b-12）2，（c-13）2都是非负数，它们和为0，
即（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0，
所以a=5，b=12，c=13，有c2=a2+b2．
10．29
5
点拨：设DE=x，则DE=BE=x，AE=AB-BE=10-x；
在Rt△ADE 中，DE2=AD2+AE2，
所以x2=（10-x）2+16，即x= 29
5
．
11．A A 不是直角三角形，B、C、D 是直角三角形
点拨：
先观察得出AD不是直角三角形，对于其
他三角形，
设每一个小正方形边长为1，利用勾股定理求出各三角形的边长，再验证．
12．解：设BD=x，则CD=14-x，在Rt△ABD 中，AD2+x2=132，
在Rt△ADC 中，AD2=152-（14-x）2，
所以有132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，
在Rt△ABD 中，AD=
2
2
13
5
=12．
13 ．解：过点B 作NM 垂直于正东方向，垂足为M ，则∠ABM=60° ．
因为∠NBC=30°，所以∠ABC=90°．
在Rt△ABC 中，AC=
2
2
2
2
(500 3)
500
AB
BC
=1000（米）．
14．（1）方法1c-a= 1
2
（m2+1）-m= 1
2
（m2-2m+1）= 1
2
（m-1）2>0，c-b=1>0，
所以c>a，c>b．而a2+b2=m2+[ 1
2
（m2-1）] 2=（1
4
m4-2m2+1）+m2
= 1
4
（m4+2m2+1）=[ 1
2
（m2+1）] 2=c2，
所以以a、b、c 为边的三角形是直
角三角形．
同理可证方法2．
（2）方法1 中自上而下：7、24、25；9、40、41．
10
方法2 中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．
（3）120．
15．解：若△ABC 是锐角三角形，则有a2+b2>c2；
若
△
ABC
是
钝
角
三
角
形
，
∠
C
为
钝
角
，
则
有
a2+b2<c
2．
证明：
①当△ABC 是锐角三角形时，
过点A 作AD⊥CB，垂足为D，设CD 为x，则有DB=a-x，
根
据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．
∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．
②当△ABC 是钝角三角形时，过点B 作BD⊥AC，交AC 的延长线于点D，
设CDD为x，D则BD2=a2-x2．
根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．
即b2+2bx+x2
+a2-x2=c2．
∴a2+b2+2bx=c2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2<c2．
11
12
