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专题02 不等式
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 等式的基本性质
性
质
文字表述
性质内容
注意
1
对称性
可逆
2
传递性
同向
1
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3
可加、减性
可逆
4
可乘性
同向
5
可除性
同向
知识点2 不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b<a
可逆
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
同向
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，c<0⇒ac<bc
c 的符号
5
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
6
正数同向可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
7
正数乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
知识点3 一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根x1，
x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝x2
＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的
解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的
解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
知识点4 基本不等式
1、重要不等式：
,（当且仅当
时取
号）.
变形公式：
2、基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：
（2）等号成立的条件：当且仅当
时取等号．
（3）算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b 的算术平均数为
，几何平均数为
，
2
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基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
（1）如果积xy 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y 有最小值2.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大)
一、比较两数（式）大小的方法
1、作差法：
（1）原理：设
，则
；
；
；
（2）步骤：作差并变形
判断差与0 的大小
得出结论。
（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形。
2、作商法：
（1）原理：设
，则
；
；
（2）步骤：作商并变形
判断商与1 的大小
得出结论。
（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果
均小于0，所得结果与“原理”中的结论
相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。
【典例1】（2023 秋·河南许昌·高三校考期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小无法判断
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，故
.故选：A.
【典例2】（2022 秋·河北石家庄·高三开学考试）若实数
，
，
满足
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为实数
，
，
满足
，
，
，
3
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所以
，∴
；
又
，∴
；∴
．故选：A．
二、利用待定系数法求代数式的取值范围
已知
，
，求
的取值范围
第一步：设
；
第二步：经过恒等变形，求得待定系数
；
第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得
的取值范围。
【典例1】（2023 秋·广东·高三校联考期末）已知1≤a−b≤3，
，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，所以
，
则
，又1≤a−b≤3，
所以
，
，
由不等式的性质得：
，
则
的取值范围为
.故选：D.
【典例2】（2022 秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因
，而
，
则
，即
，
，
所以
的取值范围是
.故选：A
4
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三、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程
2
0
ax
bx
c
(
0)
a
，计算判别式：
①
0
时，求出两根
1
2
x
x
、
，且
1
2
x
x
（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②
0
时，求根
a
b
x
x
2
2
1
；
③
0
时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
【典例1】（2023 春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，即
，解得
，
所以
，
由
，解得
或
，
所以
或
，所以
，
所以
.故选：A
【典例2】（2022 秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式：
（1）
； （2）
； （3）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）
可化为
，即
，解得
，
∴原不等式的解集为
.
（2）
，
∴原不等式的解集为
.
（3）
5
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∴原不等式的解集为
.
四、利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为3
4
a
b 与
3
a
b ，分子为
2
a
b ，
设
2
3
4
3
3
4
3
a
b
a
b
a
b
a
b
∴
3
1
4
3
2
，解得：
1
5
2
5
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的
不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】
，
，
当且仅当
，即
时等号成立.故答案为：
.
6
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【典例2】（2022 秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考阶段练习）已知
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．2 B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，即有
且
，
将
代入
得
，
令
，
，
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值
，即
的最小值是
.故选：D.
【典例3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）（多选）已知
，
，且
，则（
）
A．
的最大值为
B．
的最小值为4
C．
的最小值为2 D．
的最大值为4
【答案】AC
【解析】对于A 项，因为
，
，
，
由基本不等式可得，
，当且仅当
时取等号，
所以
，故A 正确；
对于B 项，根据基本不等式可得
，
当且仅当
时取等号，此时
，故B 错误；
7
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对于C 项，根据基本不等式可得
，当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D 项，根据基本不等式可得
，当且仅当
时取等号，
所以，
的最小值为4，故D 不正确.故选：AC.
五、不等式恒成立与能成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、
，
2、
，
3、
，
4、
，
【典例1】（2023 秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为不等式
恒成立，所以
，
因为
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号是成立的，
所以
，所以
，即
，解得
.
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，且
，若不等式
恒成立，
则
的最大值为 ．
【答案】
8
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【解析】当
时，
不成立，所以
.
由
得
.
因为
，
，所以
，解得
，即
.
所以
，
令
，则
，于是
.
令
，
，则
.
由对勾函数的图象知，
在
上单调递减，故
.
所以
，即
的最大值为
.故答案为：
.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知关于
的不等式
.若不等式对于
恒成
立，求实数x 的取值范围
【答案】
【解析】由题知，设
，
当
时，
恒成立.
当且仅当
，即
，
解得
且
，或
且
，
则
.
所以
的取值范围是
.
9
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易错点1 忽视不等式性质成立的条件
点拨：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以
一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n 次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．
【典例1】（2023·湖南邵阳·统考三模）（多选）
,则下列命题中，正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【解析】对于A：若
，则
无意义，故A 错误；
对于B：若
，则
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
对于C：由于不确定
的符号，故无法判断，
例如
，则
，故C 错误；
对于D：若
，则
，
所以
，故D 正确；故选：BD.
【典例2】（2023·湖南永州·统考三模）（多选）已知
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【解析】对于A 项，
，因为
，所以
，所以
，
所以
，即：
，故A 项错误；
对于B 项，
，因为
，所以
，
，
所以
，即：
，故B 项正确；
对于C 项，
，因为
，所以
，
，
，
10
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所以
，即：
，故C 项错误；
对于D 项，因为
，
又因为
，所以
，
，
所以
，即：
，故D 项正确.故选：BD
易错点2 忽视不等式中参数的取值范围
点拨：对于最高项系数含参数的问题，一定要注意讨论当最高项系数为零时，是否符合题意。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若
，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【答案】D
【解析】∵
可能为负数，如
时，
，∴A 错误；
∵
可能为负数，如
时，
，∴B 错误；
∵
，如
时，
，∴C 错误；
∵
，
，
，∴
，
当且仅当
，即
等号成立，∴D 正确．故选：D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下面结论错误的是（ ）
A．不等式
与
成立的条件是相同的.
B．函数
的最小值是2
C．函数
，
的最小值是4
D．“
且
”是“
”的充分条件
【答案】ABC
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【解析】不等式
成立的条件是
；
成立的条件是
，A 错；
由于
，故函数
无最小值，B 错；
由于
时
无解，故
的最小值不为4，C 错；
当
且
时，
，
，
由基本不等式可得
，当且仅当
时等号成立；
而“
”的充要条件是“
”，
因为
且
推不出
且
，所以D 正确.故答案为：ABC
易错点3 忽视基本不等式应用的条件
点拨：（1）利用基本不等式a＋b≥2√ab以及变式ab≤(
a+b
2 )
2
等求函数的最值时，务必注意a，b 为正数
(或a，b 非负)，特别要注意等号成立的条件．
（2）对形如y＝ax＋b
x (a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，b
x 同号．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：“∀x∈
，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则
实数a 的取值范围是（ ）
A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2
【答案】D
【解析】当a＝－1 时，3>0 成立；
当a≠－1 时，需满足
，解得－1<a<2.
综上所述，－1≤a<2，故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）不等式
的解集为
，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】∵不等式
的解集为
，
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∴
恒成立.
①当
，即
时，不等式化为
，
解得：
，不是对任意
恒成立，舍去；
②当
，即
时，对任意
，
要使
，
只需
且
，解得：
.
综上，实数m 的取值范围是
.故答案为：
易错点4 解分数不等式忽略分母不为零
点拨：解含有分数的不等式, 在去分母时要注意分母不为零的限制条件, 防止出现增解, 如
【典例1】（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，解得
或
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）下列不等式中与不等式
同解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不等式
等价于
且
，
即得
且
，不等式
的解集为
.
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等价于
的解集为
,A 错；
等价于
,
的解集为
,B 错；
等价于
，
且
，
的解集为
，C 错；
等价于
即
，
的解集为
,故D 正确；故选：D.
易错点5 连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立
点拨：连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件，检验等号能否同时成立.
【典例1】（2022·全国·模拟预测）已知
，
，
，
，则
的最小值为（
）
A．
B．2 C．6 D．
【答案】D
【解析】
，
当且仅当
时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）
所以
，
当且仅当
，即
且
时，等号成立，
故最小值为
，故选：D
【典例2】（2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】因为
，所以
，
当且仅当
且
，即
时取等号，
即的最小值为.故选：B.
15
