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专题12 插空法模型
例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，
若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A．72 种
B．144 种
C．288 种
D．360 种
【解析】
第一步排语文，英语，化学，生物4 种，且化学排在生物前面，有
种排法；第二步将数学和物理
插入前4 科除最后位置外的4 个空挡中的2 个，有
种排法，所以不同的排表方法共有
种.
选
.
例2．只用
四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，
这样的五位数有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：
个
当重复使用的数字为
时，与重复使用的数字为情况相同
满足题意的五位数共有：
个
本题正确选项：
例3．楼道里有9 盏灯，为了节约用电，需关掉3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不
关，则关灯方案的种数为( )
A．10
B．15
C．20
D．24
【解析】
问题等价于将
盏关着的灯插入
盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的
个空档之内
关灯方案共有：
种
故选：
例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连
续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（ ）
A．60
B．48
C．36
D．24
【解析】
先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，
再将此新元素与化学全排，再在3 个空中选2 个空将数学和物理插入即可，
即不同的排课方法数为
，
故选：D．
例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则
不同的站法共有( )
A．72 种
B．108 种
C．36 种
D．144 种
【解析】
先将男生甲与男生乙“捆绑”，有
种方法，
再与另一个男生排列，则有
种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有
种方法，
再将两组女生插空，插入男生3 个空位中，则有
种方法，
利用分步乘法原理，共有
种.
故选：D．
例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备
从包括甲、乙、丙在内的
名学生中选派
名学生参加，要求甲、乙、丙这
名同学中至少有人参加，且
当这
名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的
名学生不同的朗诵顺序的种数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
由题知结果有三种情况．
甲、乙、丙三名同学全参加，有
种情况，其中甲、乙相邻的有
种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有
种情况；
甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有
种情况；
甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有
种情况．则选派的4 名学生不
同的朗诵顺序有
种情况，故本题答案选
例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求
穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48 种
B．72 种
C．78 种
D．84 种
【解析】
由题意知先使五个人的全排列，共有
种结果．
(1) 身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有
种情况；
(2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插
空法，共有
种情况；
(3) 只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用
插空法，共有
种情况；
∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有
种情况，
故选：A．
例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘
扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共
连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这
三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为
．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五
种全排列，有
种情况，再从排好的五种乐器形成的6 个空中挑3 个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有
种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为
．
所以所求的概率
，
故选：B．
例9．某中学话剧社的6 个演员站成一排照相，高一高二和高三年级均有
､
2 个演员，则高一与高二两个年
级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（ ）
A．48
B．144
C．288
D．576
【解析】
分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，
把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有
种不同排法，把高二年级两个同学排
入4 个空位中的2 个（插空法）有
种不同方法，
故第一类有
种站法，
第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144 种站法，
由分类加法计数原理知，共有
种站法，
故选：C
例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排
队方法数为（ ）.
A．432
B．576
C．696
D．960
【解析】
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3 人排好，共有
种不同排列方式，甲、丁排在一起共有
种不同方
式；
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有
种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有
种不同方式；
根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为
种.
故选：B.
例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼乐射御书数
､
､
､
､
､
.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座
活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针
对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有( )
A．18 种
B．36 种
C．72 种
D．144 种
【解析】
由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，
可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有
种，
然后与“礼”、“数”进行排序，共有
种，
最后将“乐”与“书”插入4 个空即可，共有
种，
由于是分步进行，所以共有
种，
故选：D.
例12．电影院一排10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边
都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ）
A．40
B．36
C．32
D．20
【解析】
除甲、乙、丙三人的座位外，还有7 个座位，它们之间共可形成六个空，
三人从6 个空中选三位置坐上去有
种坐法，
又甲坐在中间，所以乙、丙有
种方法，
所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有
种.
故选：A.
例13．某公共汽车站有6 个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228 路公交车的到来，
由于市内堵车，228 路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2
个连续空座位的候车方式的种数是( )
A．48
B．54
C．72
D．84
【解析】
根据题意，分2 步进行分析：
①先将3 名乘客全排列，有
种情况，
②3 名乘客排好后，有4 个空位，在4 个空位中任选1 个，安排2 个连续空座位，有4 种情况，
在剩下的3 个空位中任选1 个，安排1 个空座位，有3 种情况，
则恰好有2 个连续空座位的候车方式有
种；
故选：
．
例14．某公园新购进
盆锦紫苏、
盆虞美人、盆郁金香，
盆盆栽，现将这
盆盆栽摆成一排，要求郁
金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种
A．
B．
C．
D．
【解析】
使用插空法，先排
盆虞美人、盆郁金香有
种，
然后将
盆锦紫苏放入到4 个位置中有
种，
根据分步乘法计数原理有
，扣除郁金香在两边，
排
盆虞美人、盆郁金香有
种，
再将
盆锦紫苏放入到3 个位置中有
，
根据分步计数原理有
，
所以共有
种.
故选:B.
例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排
在最后，则抽奖的顺序有（ ）
A．72 种
B．144 种
C．360 种
D．720 种
【解析】
第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有
种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，
但注意到丙与丁均不排在最后，故有4 个空可选，所以有
中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有
种.
故选：B.
例16．现有排成一排的7 个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4 个小球全部放入这7 个盒子中，若每
个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数
字表示）
【解析】
先不考虑红球与黄球不相邻，则4 个小球有
种排法，再安排空盒，有
种方法，
再考虑红球与黄球相邻，则4 个小球有
种排法，再安排空盒，有
种方法，
因此所求放法种数为
例17．若
把椅子摆成一排，
人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．
【解析】
从
人选择
人进行捆绑，形成个“大元素”，然后与另外人形成
个元素，再由
把椅子所形成的
个空位中选择
个空位插入即可，
由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为
.
故答案为：
.
例18．用1，2，3，4，5，6 组成数字不重复的六位数，满足1 不在左右两端，2，4，6 三个偶数中有且只
有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.
【解析】
从2，4，6 三个偶数中任意取出2 个看作一个整体，方法有
种，
先排三个奇数，有
种，形成了4 个空，将“整体”和另一个偶数插在3 个奇数形成的四个空中，方
法有
种
根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：
种
若1 排在两端，3 个奇数的排法有
种，形成了3 个空，将“整体”和另一个偶数中插在3 个奇数
形成的3 个空中，方法有
种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6 位数共有
种
故满足1 不在左右两端，2，4，6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有
种
故答案为：288
例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10 个座位，选出3 个用于观影，
防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.
【解析】
由某影院一排共有10 个座位，选出3 个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，
可先将其中的7 个空位排成一排，其中有6 个空隙，
再把三个座位放在其中的3 个空隙中，共有
种不同方法.
故答案为：
例20．
六人并排站成一排，
必须站在一起，且
不能相邻，那么不同的排法共有
_____种（结果用数字表示）.
【解析】
解：根据题意，分2 步进行分析：
①将
两人看成一个元素，与
人进行全排列，
有
种排法，排好后有4 个空位，
②在4 个空位中任选2 个，安排
、
，有
种情况，
则有
种不同的排法.
故答案为：144.
例21．将5 个相同的小球放入3 个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.
【解析】
5 个相同的小球产生4 个空，插入两块隔板，共有
种投放方法.
故答案为：
.
例22．高三2011 级某班的12 名班委合影留念，他们先站成了前排4 人，后排8 人的队形.现在摄影师准备
保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值
作答）________.
【解析】
第一步：从后排
人中，抽取
个不相邻的同学共有：
种选法；
第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有
种方法；
第三步：将所抽取的两名同学插入前排
人形成的
个空档中，共有
种方法，
由分步乘法计数原理可知，共有
种调整方法.
故答案为：
.
