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重难专攻（七） 形形色色的切线问题
重难点题型1 求曲线：在某点的切线方程
1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数
在
处的切线斜率为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．
2．（2025·江西·一模）已知函数
的图象在
处的切线过原点，则所在的区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知函数
在
处的切线过点
，则
.
目录●重难点题型分布
5．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共
点，则
.
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
重难点题型2 求曲线：过某点的切线方程
1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·新疆·二模）过点
且与曲线
相切的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
3．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．函数
的极大值点为
B．函数
的极小值为2
C．过点
作曲线
的切线有两条
D．直线
是曲线
的一条切线
4．（2023·海南海口·一模）（多选题）直线
是曲线
的切线，则实数
的值可以是
（ ）
A．3π
B．π
C．
D．
5．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点
只有一条直线与函数
的图象相切，则
的
取值范围为 .
6．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）若过点
可以作曲线
的两条切线，则实数的取值范围是
．
7．（2025·河北保定·一模）已知函数
.
(1)
为
的导函数，则当
时，求
的值；
(2)证明：有且仅有一条
图象的切线过坐标原点；
(3)讨论函数
的单调性.
8．（2025·贵州·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
．
(1)求
的值；
(2)求
的单调区间；
(3)求曲线
过原点的切线方程．
重难点题型3 求曲线的切线的条数问题
1．（2025·全国·一模）函数
过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2022·河南洛阳·三模）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
3．（2023·全国·二模）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河北衡水·三模）（多选题）已知函数
，
是函数
的一个极值点，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．函数
在区间
上单调递减
C．过点
能作两条不同直线与
相切
D．函数
有5 个零点
5．（22-23 高三上·辽宁·阶段练习）（多选题）若曲线
（e 为自然对数的底数）有两条过坐标
原点的切线，则a 的取值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
6．（2024·贵州·模拟预测）过点
作曲线
的切线，请写出切线的方程 .
7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）过点
作曲线
的切线，写出一条切线方程： .
重难点题型4 公切线问题
1．（2023·陕西西安·统考一模）若曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）
与
的公切线过
，且
有极小值，则极
小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东茂名·一模）曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的
公切线，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线
的切线与曲线
也相切，若该切线过
原点，则
．
6．（2022·江西九江·三模）已知直线
与曲线
相切，则
.
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的
切线，则
．
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线
与曲线
和曲线
都相切，
则
．
9．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若直线是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则直线的
方程为 ．
10．已知函数
（1）若直线
既是曲线
的切线,也是曲线
的切线,求直线l 的方程；
（2）证明：
．（参考数据：
）.
重难点题型5 已知切线方程及满足条件、求参数的取值范围
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2025·甘肃·二模）若函数
的图象上存在两个不同点，使得
在这两点的切
线与直线
垂直，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，则
的
取值范围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．（2025·云南·三模）（多选题）设函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，若
在
上单调递增，则
B．当
时，函数
有两个极值点
C．曲线
的对称中心的横坐标与c 有关
D．当
时，过点
可作曲线
的切线有3 条
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点的充要条件为
B．当
时，若
，且m，n 为
的两个极值点，则
C．当
，
时，
图象的对称中心为点
D．若
的图象上有3 个不同的点
，
，
，这3 个点处的切线的斜率分别记为
，
，
，则
为常数
6．（2025·河南郑州·三模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最小值为 ．
7．（2025·河北保定·二模）已知直线
是圆
与曲线
的公切
线，则
．
8．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共
点，则
.
重难点题型6 两条切线（平行、垂直、重合）综合问题
1．（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数
图象的两条切线相互垂直，并分别交
轴于
，
两
点，则
（ ）.
A．2
B．
C．3
D．
2．（2023·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·安徽安庆·模拟预测）（多选题）已知，
是函数
与
的图像的两条公切线，
记的倾斜角为
，
的倾斜角为
，且，
的夹角为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．与
的交点可能在第三象限
4．（2025·湖南娄底·模拟预测）若函数
的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，
请写出一个有自公切线的函数
．
5．（2025·山东青岛·一模）已知函数
图象的两条切线相互垂直，并分别交
轴于A，B 两点，
则
.
6．（2021·北京·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在
，使得曲线
在点
和点
处的切线互相垂直？并说明理
由（参考数据：
）
