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重难点11 立体几何的内切外接球 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：结合近三年高考数学命题趋势及立体几何核心考点分布，球的内切与外接问题始终 是高频重难点。考察聚焦 “空间几何转化为平面几何” 的核心思想，以多面体与球的切接 关系为载体，综合考查空间想象、逻辑推理和运算求解能力，题型分布：以选择题、填空题 为主（占比约 85%），偶尔作为解答题的第二问出现（如与体积最值、截面问题结合），属 于 “中高频中档题 + 压轴小题” 的定位。 预测2026 年：稳定方向：继续以 “三棱锥、长方体、正四面体” 为核心载体，考察外接球 半径计算、表面积 或者体积求解，保持 “基础公式 + 逻辑转化” 的考察模式。 命题的创新方向： 1. 与截面问题结合：如求球被平面截取的截面圆面积，需先求球心到平面的距离 2. 2.与函数、向量结合：如通过向量垂直关系确定多面体结构，再求切接球参数 3.不规则多面体切接：如带二面角的折叠体的外接球，，属于热门创新点。 。 考向01 内切球1：内切球思维核心 椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解 一、三角形内切圆 二、类比：三棱锥 1．（2006·江西·高考真题）如图，在四面体 中，截面 经过四面体的内切球（与四个面都相切的 球）球心 ，且与 、 分别截于 、 .如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥 与三棱锥 的表面积分别为 ， ，则必有（ ） A． B． C． D． 的大小不能确定 2．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切 球．在四棱锥 中，侧面 是边长为1 的等边三角形，底面 为矩形，且平面 平面 ．若四棱锥 存在一个内切球，设球的体积为 ，该四棱锥的体积为 ，则 的值为 （ ） A． B． C． D． 3．（2020·福建三明·模拟预测）已知某正三棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为 ， 球 为该三棱锥的内切球.球 与球 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球 与球 的表面积之 比为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25 高三全国专题练习）棱长为1 的正四面体 内有一个内切球 为 中点，N 为 中 点，连接 交球O 于 两点，则 的长为（ ） A． B． C． D． 考向02 内切球2：柱体内切球 柱体，无论直棱柱还是圆柱，内切球首先是上下底面圆（都变形）的内切圆，一般情况下，柱体的高则 是球的直径。 5．（24-25 高三·湖北武汉·模拟练习）已知P 为棱长为1 的正方体 的内切球表面一动点， 且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26 高三·湖南长沙·模拟练习）已知球O 为正方体 的内切球，平面 截球O 的 面积为 ，则正方体 的棱长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．（22-23 高三上·山东·月考）已知三棱柱 中， ， ，平面 平面 ， ，若该三棱柱存在体积为 的内切球，则三棱锥 体积为（ ） A． B． C．2 D．4 8．（22-23 高二下·四川成都·期中）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的 发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值. 现在让我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的 体积之比为（ ） A． B． C． D． 考向03 内切球3：圆锥内切球 圆锥内切球，一般情况下，要从圆锥的轴截面进行分析求解，内切球大圆，是圆锥轴截面三角形的内切 圆。 9．（24-25 高三全国专题练习）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，该圆锥的内切球也是棱长 为a 的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a 为（ ） . A． B． C．3 D． 10．（21-22 高三上·全国·月考）某圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，正方体 内接 于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体 的体积的比值为（ ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽芜湖·二模）已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为 （除圆锥底面圆 心外）， 所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（ ） A． B． C． D． 12．（23-24 高二下·广西南宁·月考）已知圆锥PO 的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC 两两垂直.且母线 长为6.则圆锥PO 的内切球表面积为（ ） A． B． C． D． 考向04 内切球4：内切球难点 棱台与圆台是内切球的难点。 1. 圆台内切球求解，与圆锥一样，从圆台轴截面入手，轴截面是等腰梯形，则内切球大圆 圆面是等腰梯形的内切圆。 2. 正棱台内切球，与正棱台上下底面正多边形中心相切，还与棱台每个侧面相切。所以从 棱台对面斜高截面入手，寻找直角梯形与内切球大圆的半圆相切的关系。 13．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知球O 内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面 均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为 ，则球O 与该正四棱台的体积之比为（ ） A． B． C． D． 14．（24-25 高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2 和6，且正六棱台存在内切球 （与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（ ） A． B． C． D． 15．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知球O 内切于圆台 （即球与该圆台的上、下底面以及侧面 均相切），且圆台的上、下底面半径 ， ，则球O 与圆台 侧面的切痕所在平面分圆台上下两 部分的体积比为（ ） A． B． C． D． 16．（24-25 高一下·山东济宁·期中）已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切 的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为 、 ，则圆台甲与乙的体积之比为 ________. 考向05 外接球1：长方体模型 1.正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 2.对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于 长方体的体对角线长，即 (长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三 棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． 1．（2024·高三福建·模拟预测）如图所示的长方体 ， ． 动点 在该 长方体外接球上，且 ，则点 的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25 高三全国专题练习）已知三棱锥 中， ，且 、 、 两两垂直， 是三棱锥 外接球面上一动点，则 到平面 的距离的最大值是 A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·二模）在棱长为2 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，平面 截正方体 外接球所得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·模拟预测）已知三棱锥 中， 平面ABC， ， ，点 ， 分别是线段AB，BC 的中点，直线AF，CE 相交于点 ，则过点 的平面 与截三棱锥 的外 接球 所得截面面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考向06 外接球2：线面、面面垂直模型 线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是 r，满足正弦定理） 1.模板图形原理 图1 图2 2. 计算公式 面面垂直型基本图形 一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型， 5．（24-25 高三全国专题练习）如图，已知正方形 的边长为4，若将 沿 翻折到 的位 置，使得平面 平面 ， 分别为 和 的中点，则直线 被四面体 的外接球 所截得的线段长为（ ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥 的底面ABC 是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC， ，M 为SB 上一点，且 ．设三棱锥 外接球球心为O，则（ ） A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SB B．直线 平面SAC，OA⊥SB C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBC D．直线 平面SAC，平面OAM⊥平面SBC 7．（2023·四川巴中·模拟预测）在三棱锥 中， ，平面 平面ABC， ，点Q 为三棱锥 外接球O 上一动点，且点Q 到平面PAC 的距离的最大值为 ， 则球O 的体积为( ) A． B． C． D． 8．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 平面 ， 是边长为 的等边三角形， ，则该几何体外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 考向07 外接球3：两线交心法模型 表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心 垂线交点确定球心法） 1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； 9．（23-24 河南南阳·期末）如图，在直角梯形 中，已知 ， ， ， ，现将 沿 折起到 的位置，使二面角 的大小为45°，则此时三棱锥 的外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 10．（22-23 高三上·山西太原·月考）已知菱形 的各边长为 ．如图所示，将 沿 折起，使得点 到达点的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ． 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（ ） A． B． C． D． 11．（2023·四川·三模）如图，在梯形ABCD 中， ， ， ，将△ACD 沿 AC 边折起，使得点D 翻折到点P，若三棱锥P-ABC 的外接球表面积为 ，则 （ ） A．8 B．4 C． D．2 12．（2020·四川泸州·二模）正 的边长为2，将它沿 边上的高 翻折，使点 与点 间的距离为 ，此时四面体 的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 考向08 外接球4：二面角模型 二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法 图6 H1 E A C O B D A' H2 (1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1 (2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O. 13．（21-22 高三·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在三棱锥 ， 是以AC 为斜边的等腰直角三角 形，且 ， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积 为（ ） A． B． C． D． 14．（2023·浙江绍兴·二模）如图， 为直角梯形， .连 ，将 沿 翻折成三棱锥 ，当三棱锥 外接球表面积的最小值时，二面角 的余弦值为（ ） A． B．0 C． D． 15．（25-26 高三全国专题练习）在菱形 中， ，将 沿 折起到 的位 置，若二面角 的大小为 ，三棱锥 的外接球球心为 ， 的中点为 ，则 A．1 B．2 C． D． 16．（24-25 高三全国专题练习）在边长为 的菱形ABCD 中， ，沿对角边 折成二面角 为 的四面体 ，则四面体 外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 考向09 组合体1：棱切球 棱切球是指与多面体的所有棱都相切的球，其核心解题逻辑围绕存在条件、球心位置、半 径计算展开，且不同规则多面体（正方体、正四面体、正棱锥等）的棱切球具有专属结 论，同时可通过 “补形法”“几何转化法” 将不规则多面体的棱切球问题转化为规则模 型求解。 球心位置：棱切球球心必在多面体的几何中心（重心 / 中心对称点），且球心到多面体所 有棱的距离相等，该距离即为棱切球半径R。 存在前提：多面体需满足中心对称（如正方体、正四面体、正六棱柱等），或各棱到某一 公共点的距离相等，非中心对称多面体一般无棱切球。 1．（25-26 高三上·山东·期末）已知正四面体 的棱长为a，其棱切球与PA、PC 分别相切于M、 N．则异面直线MN 和PB 之间的距离是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·模拟预测）如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为 ，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为 ，则球冠的曲面面积 .球 是棱长为1 的正方体 的棱切球，则球 在正方体 外面部分曲面的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6 条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足 ， ，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________． 考向10 组合体2：不规则几何体组合 5．（2025 高三·全国·专题练习）如图，曲面直三棱柱中， ， ，且直线AB，AC 分别 与圆弧BC 相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（ ） A． B． C． D． 6．（2025 高三·全国·专题练习）图是棱长为2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球 是该正 八面体的内切球，则球 的表面积为 A． B． C． D． 7．（24-25 高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体 与一个半球 构成的组合体，半球 的底面圆与正方体的上底面 的四边相切，球心 与正方形 的中心重合，将此组合体重 新置于一个球 中（球 未画出），使正方体的下底面 的顶点均落在球 的表面上，半球 与球 内切，设切点为P，若球 的体积为 ，则四棱锥 的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．（22-23 高一下·福建福州·期末）九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何 体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是 “牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面 截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相 等，则体积相等．若正方体的棱长为6，则“牟合方盖”的体积为（ ） A．144 B． C．72 D． 考向11 组合体3：“堆叠”球 堆叠球是立体几何内接外切球的高频难点，核心是多球依次相切且均与同一几何体的面相切（如正四面 体 、正四棱锥内的内切球 + 多层相切小球、正方体内相外切且均内切于正方体的双球等）， 解题关键是将空间问题平面化（轴截面 、 截面转化）+ 利用相似三角形 或 几何比例求半径 + 结合 球的表面积 或者体积公式计算，以下结合真题总结通用规律和典型题型解法。 9．（2023·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双 双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某 重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相 切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面 积和为（ ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD 中，各棱长均相等，球 是该四棱锥的内切球， 球 与球 相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球 与球 相切，且与该四棱锥的四个侧面也相 切，球 的半径大于球 的半径，则球 与球 的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 11．（24-25 高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥 中，各棱长均相等，球 是该四棱锥的内切 球，球 与球 相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球 与球 的表面积之比为（ ） A． B．9 C． D． 12．（24-25 黑龙江大庆·模拟）如图，在棱长为 的正方体内有两个球 、 相外切，两球又分别与 正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式： .） 考向12 球最值1：动点最值 球的动点最值是立体几何内接外切球的高频难点，核心围绕球面上动点到定点 、 定线、 定面的距离最值、动点构成线段 、角 、 面积与 体积等等的最值展开，解题关键是确定 球心与半径，结合空间几何性质（垂线段最短、直径最长）、截面转化、函数最值求解， 从以下方面入手： 1.距离最值思维核心：球面上一点P 到定点A 的距离，满足∣OA R∣≤PA≤OA+R − （O 为球 心，R 为球半径），即连线段过球心时取最值简称为“近日点、远日点”（“近日”点： OA R −，“远日”点：OA+R） 2、线面距离转化：球面上动点到定线 或者定面的距离最值，转化为球心到定线或者定面 的距离d 与球半径R 的组合： 3、到定面：最小值=∣d R∣ − ，最大值=d+R； 到定线：要先求球心到定线的距离d，再由勾股定理得动点到定线的距离最值为d2±R2 （这个地方需结合截面验证）。 4、截面化归思想：所有空间动点最值，过球心和动点 、 定点、 定线作截面，将空间问 题转化为圆的动点最值（平面几何），利用圆的性质（如弦长、切线、圆心距）求解。 5、 轨迹定位法：若动点满足额外约束（如PM=k、∠MPN=θ），先确定动点在球面上的轨 迹是小圆（截面圆），再在小圆上求最值。 1．（2024·吉林·三模）点M、N 为正四面体 的内切球球面上的两个动点，T 为棱 上的一动点，则 当 取最大值时， （ ） A．1 B． C． D． 2．（25-26 高二上·江西上饶·期末）两根相同的正三棱柱钢管均被一个经过底面一个顶点且与底面的另一 条边平行的平面所截，截得的几何体以截面完全重合的方式拼接在一起构成一个“V”型管道，若这两个正 三棱柱钢管长为10cm，底面边长为2cm，且截面与底面所成角均为 ，则能顺利地从管道的一端通过到管 道另一端（管壁的厚度忽略不计）的球最大半径为（ ）cm． A． B． C． D． 3．（23-24 高一下·河北沧州·期末）在 中， ， ， ，M，N 分别为AC，AB 上的 动点（不包括端点），将 沿MN 折起，使点A 到达点 的位置，且平面 平面BCMN．若点 均在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为________． 4.（2025 高三全国模拟测试 ）点 是棱长为 的正方体 的棱切球上的一点，点 是 的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是（_____） A． B． C． D． 考向13 球最值2：体积最值 立体几何中与球相关的体积最值问题，核心围绕多面体（棱锥、棱柱、四面体等）内接于 球或球与多面体相切展开，本质是通过确定球的核心参数（球心、半径），结合空间几何 性质将体积最值转化为高或者 底面积 与距离的最值，再利用基本不等式、函数单调性、 几何边界条件求解， 最值转化，容易出问题的地方是这几方面 1. 混淆 “球心到平面的距离”：求点到平面的最大距离时，需先判断球心在平面内侧 、 外侧，若平面过球心，则d=0，最大距离为R； 2、 忽略底面积的最值约束：若底面为动面，不可直接将高取最值，需先利用基本不等式 求底面积的最大值，再结合高的最值求体积； 3、误将 “截面圆半径” 当作球半径：多面体的底面外接圆是球的截面圆，其半径 r≤R，需用R2=d2+r2 换算，不可直接用r 代替R； 4、基本不等式使用条件：利用a+b≥2ab时，需保证、均为正数且和为定值，否则需用函 数单调性求解（如立方和函数y=x3+(k x)3 − 在x=0 或x=k 时取边界值）。 5．（25-26 高三上·江苏南通·月考）已知四面体ABCD 的顶点都在表面积为 的球面上，若 ，则四面体ABCD 的体积的最大值为____________. 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，若三 棱锥 体积的最大值为 ，则球 的表面积为________. 7．（2024 高三·江苏·专题练习）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，点M 在该三棱锥的外接球O 的球面上运动，且满足 ，则三棱锥 的体 积最大值为__________ 8．（2026·湖南长沙·三模）已知点 均在半径为 的球 的球面上， ， ，则四面体 的体积的最大值为___________． 考向14 球最值3：内切、外接球动点最值 9．（2024 年高三全国模拟测试）如图两个同心球，球心均为点 ，其中大球与小球的表面积之比为3:1， 线段 与 是夹在两个球体之间的内弦，其中 两点在小球上， 两点在大球上，两内弦均不穿 过小球内部.当四面体 的体积达到最大值时，此时异面直线 与 的夹角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 10．（2022·吉林·模拟预测）已知三棱锥 三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，且 ， ､ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最小值为 （ ） A． B． C． D． 11．（2024 浙江模拟测试中）已知在棱长为12 的正四面体 的内切球球面上有一动点 ，则 的最 小值为______， 的最小值为______． 12．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知正三棱锥 ，底面边长为，二面角 的正切值为 ，则正三棱锥 的外接球半径为_____， 分别为正三棱锥 内切球，外接球球面上 的动点，则线段 长度的最大值为_____． 冲刺练 （建议用时：60 分钟） 一、单选题 1．（24-25·黑龙江哈尔滨·模拟测试）已知正四面体 的棱长为4，球 为其内切球，球 与球 及 正四面体 的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24 高三下·陕西安康·月考）如图，棱长为 的正方体 的内切球为球 ， ， 分 别是棱 ， 的中点， 在棱 上移动，则（ ） A．对于任意点 ， 平面 B．直线 被球 截得的弦长为 C．过直线 的平面截球 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 D．当 为 的中点时，过 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为 3．（22-23 高二下·四川成都·期中）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的 发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值. 现在让我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的 体积之比为（ ） A． B． C． D． 4．（2025 高三上·湖南衡阳·专题练习）如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（ 为扇形所在圆的 圆心，圆心角为 ），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为 ，该圆台的表面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知球O 内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面 均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为 ，则球O 与该正四棱台的体积之比为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2 倍，那么该圆锥的表面积与圆锥 的内切球表面积之比为（ ） A． B． C． D． 7．（2024 全国模拟测试）如图，一块边长为10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下 去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正 四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26 高三上·浙江杭州·期末）球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学．对于半径为 的球 ，过球面上一点 作两条大圆的弧 ，它们构成的图形叫做球面角，记作 （或 ），其值为二面角 的大小，其中点 称为球面角的顶点，大圆弧 称为球面角的边．不在 同一大圆上的三点 ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 ，这三条劣弧组成的 图形称为球面 ，这三条劣弧称为球面 的边， 三点称为球面 的顶点；三个球面角 称为球面 的三个内角．已知球心为 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 ． 类比二面角，我们称从点 出发的三条射线 组成的图形为三面角，记为 ．其中点 称为三面角的顶点， 称为它的棱， 称为它的面角．以下说法，正确的是 （ ） A．任意球面三角形的内角和为 B．若三面角 的三个面角的余弦值分别为 ，球面 的三个内角的余弦值有一个 是 C．若三面角 的三个面角的余弦值分别为 ，球面 的面积为 D．若三面角 的三个面角的余弦值分别为 ，球面 的面积为 二、多选题 9．（25-26 高三上·山东济宁·期末）已知圆锥 的底面圆 半径为 ，母线长为 ， 为圆锥底面上 任意一点， 为圆锥 外接球的球心，为球面上一点，且 ，则下列说法正确的 是（ ） A．圆锥 的侧面积为 B．球 的体积为 C．点的轨迹长度为 D． 的最大值为6 10．（25-26 高二上·四川成都·期中）已知球O 是棱长为2 的正方体 的内切球，M 是 的 中点，N 是 的中点，P 是球O 的球面上任意一点，正方体表面上动点Q 满足 ，则下列说法 正确的是（ ） A．三棱锥 的体积的最大值为 B．Q 的轨迹长度为 C．若 ，则动点P 的轨迹长度为 D．若 ，则 为定角 11．（2025·山东济宁·二模）已知正方体 的棱长为1，点 在正方体的内切球表面上运 动，且满足 平面 ，则下列结论正确的是（ ） A． B．点 的轨迹长度为 C．线段 长度的最小值为 D． 的最小值为 三、填空题 12．（23-24 湖南衡阳·期中）已知三棱锥 三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，且 ， ， 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最小值为 ______． 13．（2023·广西南宁·二模）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外 包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某 “鞠”的表面上有四个点 满足 ， ，则该“鞠” 的表面积为_______ . 14．（24-25 全国模拟测试）如图所示，底面半径为3，高为8 的圆柱内放有一个半径为3 的球，球与圆柱 下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面 与球相切于点F，若平面 与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲 线C，且C 是以F 为一个焦点的椭圆，则C 的离心率的最大值为______． 结束
