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专题03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
题型一： 给值求值...........................................................................................................................2
题型二： 给值求角问题...................................................................................................................5
题型三： 辅助角公式.......................................................................................................................6
题型四： 两角和与差的正切公式的逆用......................................................................................7
题型五： 两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用..........................................................8
题型六： 综合运用.........................................................................................................................10
知识点一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos
α cos
β ＋
sin
α sin
β ；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos
α cos
β －
sin
α sin
β ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin
α cos
β －
cos
α sin
β ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin
α cos
β ＋
cos
α sin
β ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
知识点二、辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
知识点总结
1
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(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
题型一：给值求值
【要点讲解】(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的
形式; 常见的配角技巧:
,
,
,
,
等.
(2)当“已知角”有一个时,此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系,再
应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【例1】（2023 春•台江区校级期末）已知
，
都是锐角，
，
则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
都是锐角，
，
，
，
为钝角，
，
则
例题精讲
2
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．
故选：
．
【变式训练1】（2022 春• 东城区校级期中）若
，
都是锐角，且
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
都是锐角，
，
，
则
，
又
，
，
，
．
．
故选：
．
【变式训练2】（2021 秋•北海期末）已知角
为第二象限角，
，则
的
值为
3
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，且
是第二象限角，
，
，
故选：
．
【变式训练3】（2021 秋•安庆期末）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
4
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．
故选：
．
【变式训练4】（2021 秋•河北月考）若
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
故选：
．
题型二：给值求角问题
【要点讲解】依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值
【例2】（2023 春•高安市校级期中）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：记题中代数式为
，
．
故选：
．
5
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【变式训练1】
A．
B．
C．1
D．
【解答】解：
．
故选：
．
【变式训练2】（2023
春• 分宜县校级月考）设
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
，
，
因为
，
所以
．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•泉山区校级月考）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
故选：
．
【变式训练4】（2023 春•吴江区校级月考）已知
，则
6
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
．
故选：
．
【变式训练5】（2023 春•辽宁月考）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
题型三：辅助角公式
【要点讲解】
, 其中
的值由
,
及
符号确定
【例3】（2022•杭州模拟）已知函数
，当
时，
取得最大值，
则
7
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，（其中
，
，
当
时，
取得最大值，此时
，
得到
，
．
故选：
．
【变式训练1】（2022 秋•南安市期中）已知函数
，当
时，
取得最大值，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
故
，
，
因为
时，
取得最大值，
所以
，
所以
，
．
故选：
．
8
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题型四：两角和与差的正切公式的逆用
【要点讲解】涉及两角的正切的积与和差的混合运算问题,常考虑两角和与差的正切公式的
变形.
题型五：两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
【要点讲解】三角形中的三角函数问题,要应用A+B+C=π 减少角的种类.
(1)
常
用
结
论
有
:
,
,
,
(2)sin A>sin B⇔A>B 等.
【例4】（2023 春• 招远市校级期中）在
中，已知
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由已知可得
．
又因为
，所以
，所以
．
所以
，
所以
．
故选：
．
【变式训练1】（2022 秋•永丰县校级期末）在
中，
，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
9
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【解答】解：
，
，
为钝角，从而
为锐角，
，
，
．
故选：
．
【变式训练2】（2021 秋•雨花区校级期末）在
中，已知
，
，则
的大小为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：（1）由题意知，
，
，
则
，
，
，
．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春• 上城区校级期中）在
中，
为锐角，若
，
，则
A．
B．
C．
或
D．
【解答】解：
中，
，
，
为锐角，
为锐角，
，
，
10
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则
．
故选：
．
【变式训练4】（2018 秋•益阳期末）已知角
，
，
为
的内角，
，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
．
故选：
．
题型六：综合运用
【例5】（2023 春•达州期末）在
中，若
，则
的最小值
是
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：
，
由正弦定理得
，根据余弦定理得：
，
当且仅当
时等号成立，又因为
，所以
，
11
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，
即
的最小值是
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春• 青羊区校级月考）已知
，
，且满足
．
（1）证明：
；
（2）求
的最大值．
【解答】（1 ）证明：由已知
，
，
；
（2）解：
，则
，
，
由（1）得
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值是
．
【变式训练2】（2023 春• 如皋市月考）已知角
，
满足
，
，则
12
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的最大值为
A．
B．
C．
D．1
【解答】解：
，即
，
设
，
可得：
，
，
则
，
又
，则
最大值为1，则
的最大值为
．
故选：
．
【变式训练3】（2023•朝阳区校级模拟）已知
，
均为锐角，且
，则
的最大值是
A．4
B．2
C．
D．
【
解
答
】
解
：
，
，
，
，
，
，
，又因为
为锐角，所以该方程有解，
13
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△
，解得
，又
为锐角，
．
所以
的最大值是
．
故选：
．
一．选择题（共6 小题）
1．（2023 春•郫都区期末）已知
，
，则
A．
B．3
C．
D．
【解答】解：
，
，
，则
，
．
故选：
．
2．（2023 春•成都期末）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，所以
，
课后练习
14
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所以
，即
，
所以
，则
，
所以
．
故选：
．
3 ．（2023 春• 泗阳县校级月考）已知
，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，①
，②
由
①
②
两
式
平
方
相
加
可
得
，
即有
，
由
，
，
，可得
，则
，
可得
，
故选：
．
4．（2023 春•泗阳县期中）已知函数
在
，
上有两个不同
15
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的零点，则
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【解答】解：函数
，
则
，所以
，
因为
，
，所以
，
故函数的图象满足：
函数在
在
，
上有两个不同的零点，
即
与函数
有两个不同的交点，
所以
，解得
．
即
的取值范围为
，
．
故选：
．
5．（2023•玉树市校级模拟）若
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
16
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，
由
，得
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
．
故选：
．
6．（2023•鲤城区校级模拟）若
，则
A．0
B．
C．3
D．7
【解答】解：因为
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．（2022•杭州模拟）已知函数
图象的最小正周期是
，则
17
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A．
的图象关于点
对称
B．将
的图象向左平移
个单位长度，得到的函数图象关于
轴对称
C．
在
上的值域为
，
D．
在
上单调递增
【解答】解：因为
，
函数的最小正周期是
，
，
，
，
，
关于
对称，故
正确．
，
关于
轴对称，故
正确．
当
时，有
，则
，所以
，
，故
错误．
由
，解得
，
所以
的一个单调增区间为
，而
，
在
上单调递增，故
正确．
故选：
．
18
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8．（2023 春•西湖区校级期中）已知函数
的图象为
，则下列
结论中正确的是
A．图象
关于直线
对称
B．图象
的所有对称中心都可以表示为
，
C．函数
在
上的最大值为
D．函数
在区间
上单调递减
【解答】解：
，
对于
，因为当
时，
，为最大值，
所以直线
是图象的对称轴，故正确；
对于
，
，
，故正确；
对于
，若
，
，可得
，
，可得
，
，
所以函数
在
，
上的最大值为3，故
错误．
对于
，当
，
时，
，
，
因此
在区间
，
上是增函数，故
错误．
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．（2023 春•南充期末）若
，则
．
19
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【解答】解：
，
，
．
故答案为：
．
10．（2023 春•萍乡期中）若
，则
．
【解答】解：若
，则
，
则
，
故答案为：
．
11．（2023 春•大祥区校级期末）若
，则
．
【解答】解：
．
故答案为：
．
12．（2023 春•湖南期中）若
，则
．
【解答】解：若
，
20
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则
．
故答案为：
．
四．解答题（共3 小题）
13．（2023 春•聊城期中）已知函数
，周期是
．
（1）求
的解析式，写出函数
的对称轴；
（2）若
成立的充分条件是
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）
，
，
，即
．
故
，
令
，可得
，
即函数
的对称轴为
．
（2）由
可得
，
又当
时，
，此时
，
由题意，当
时，
恒成立，
则有
，
，
，解得
．
即
的取值范围是
．
14．（2023 春•西城区期末）已知
，
．
（1）求
的值；
21
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（2）求
的值．
【解答】解：（1）因为
，
，
所以
，
又因为
，
所以
．
所以
；
（2）
．
15．（2022 秋•西昌市期末）（1）在
中已知
，求
，
的值；
（2）在
中已知
，求
的值．
【解答】解：（1）在
中，
，故
为钝角，
，
．
（2）在
中，
，
，
．
22
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