文档文本内容
第 03 讲 空间直线、平面的平行
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：线面平行的判定.......................................4
角度1：判断证明线面平行.......................................4
角度2：补全线面平行的条件.....................................6
高频考点二：面面平行的判断......................................11
角度1：判断证明面面平行......................................11
角度2：补全面面平行的条件....................................13
高频考点三：线面平行的性质......................................18
角度1：线面平行的性质........................................18
角度2：由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置..............19
角度3：由线面平行求线段长度..................................20
高频考点四：面面平行的性质......................................23
角度1：面面平行证明线线平行..................................23
角度2：面面平行证明线面平行..................................24第一部分：知识点必背
知识点一：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义
直线 与平面 没有公共点，则称直线 与平面 平行.
2、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
3、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述： ， ，
知识点二：平面与平面平行
1、平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
2、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
//
a ⊂ β,b ⊂ β ¿ }a ∩ b = P ¿ } ¿¿⇒ α β ¿
符号表述：
3、平面与平面平行的性质定理
3.1性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言
3.2性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：
第二部分：高考真题回归
1．（2023·全国（乙卷文）·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
2．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装
盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面 垂直．(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：线面平行的判定
角度1：判断证明线面平行
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）若 为平面，有下列命题，其中
真命题的是（ ）
A．若直线 平行于平面 内的无数条直线，则
B．若直线 在平面 外，则 平面
C．若直线 ，直线 平面 ，则 平面
D．若直线 平面 ，则 平行于平面 内的无数条直线
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，点 、 、 、 、 为正方体的顶点或所在棱的中点，
则下列各图中，不满足直线 平面 的是（ ）A． B．
C． D．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知 是平行四边形，点 是平面 外一
点， 是 的中点，在 上取一点 ，过 和 作平面交平面 于 ，则 与 的位置关
系是_________．
例题4．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）在直三棱柱 中，已知 为 的中点. 求
证： 平面 .
例题5．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥 中， ， 、
分别是 、 的中点， 底面ABCD，且(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
角度2：补全线面平行的条件
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三角形，
， 为 中点，点 在 上，满足 ，且面 面 ．
(1)证明： 面POD；
(2)若点 为 中点，问：直线 上是否存在点 ，使得 面 ，若存在，求出 的长及
到面 的距离；若不存在，说明理由．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ，点 为棱
的中点，与 ， 相异的动点 在棱 上.(1)当 为 的中点时，证明： 平面 ；
(2)设平面 与平面 的交线为 ，是否存在点 使得 平面 ？若存在，求 的值；若不
存在，请说明理由.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图1，菱形 中， ， ， 于 ，将
沿 翻折到 ，使 ，如图2．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使 ∥平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
例题4．（2023春·高一课时练习）如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形，点 ，
， 分别为线段 ， ， 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上找一点H，使得 平面 ，并说明理由.
考点一练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱倠 中， 分别是 、 的重心，以下与直线
平行的是（ ）
A．直线 B．平面 C．平面 D．平面
2．（多选）（2023春·高一课时练习）如图，在三棱锥 中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF
的平面截三棱锥得到的截面为 ，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． 平面 D． 平面
3．（2023春·高一课时练习）如图，直四棱柱 的底面是菱形，E，M，N分别是BC，， 的中点，求证： 平面 .
4．（2023·全国·高一专题练习）如图， 中， ， 是正方形，平面 平面
，若 、 分别是 、 的中点．求证： 平面 ；
5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在多面体 中，四边形 是正方形， 平面
， ， .
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若多面体 的体积为32，求 的值.6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体 中， ， ， 分别是 ， ，
的中点.
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
7．（2023春·河南郑州·高一河南省实验中学校考期中）在长方体 中，E，F，G分别为所
在棱的中点，H，Q分别为AC， ，的中点，连EF，EG，FG，DQ，CQ， ．
（I）求证：平面 平面ACQ
（II）问在线段CD上是否存在一点P，使得 平面 ？若存在，求出P点的位置若不存在，请说
明理由8．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考期中）如图，在三棱锥 中，点 在底面 上的射影
在 上， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
高频考点二：面面平行的判断
角度1：判断证明面面平行
典型例题
例题1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知三条不同的直线 和两个不同的平面 ，下列
四个命题中正确的为（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
例题2．（多选）（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期中） ， 是三个平面， 是
两条直线，下列四个命题中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 则
C．若 ，则 D．若 ，则例题3．（2023春·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
， ， ， 分别是棱 ， 的中点．
(1)判断多面体 是否为棱柱并说明理由；
(2)求多面体 的体积；
(3)求证：平面 平面 ．
例题4．（2023春·高一课时练习）如图所示， 为 所在平面外一点， 、 、 分别为
、 、 的重心．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 是边长为2的正三角形，判断 的形状并求 的面积．
例题5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图，矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面， ， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 是
边上一动点.
(1)是否存在点 使得平面 平面 ，若存在，请指出点 的位置，并证明；若不存在，请说明理
由.
(2)求多面体 的体积.
角度2：补全面面平行的条件
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图 平面 ， 是矩形， ， ，
点 是 的中点，点 是 边上的任意一点．当 是 的中点时，线段 上是否存在点 ，使得平
面 平面 ，若存在指出点 位置并证明，若不存在说明理由．
例题2．（2023春·江苏·高一专题练习）如图1，已知菱形 的对角线 交于点 ，四边形
是平行四边形.将三角形 沿线段 折起到 的位置，如图2所示.(1)求证： ；
(2)在线段 上是否分别存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请指出点 的位
置，并证明；若不存在，请说明理由.
例题3．（2023春·高一课时练习）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是线段 ， 的
中点.
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在一点 使得平面 平面 ，若存在，指出点 的具体位置；若不存
在，请说明理由.
例题4．（2023春·高一课时练习）如图，在四棱柱 中，点 是线段 上的一个动点,
分别是 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由.
例题5．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱 中， 为平行四边形，
， 分别在线段 ， 上，且 ， 在 上且平面 平面 ，则
___________
考点二练透核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．
其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③
2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为
的中点.过 作该正方体的截面，使得该截面与平面 平行，写出作法，并说明理由；
3．（2023·高一课时练习）在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为边长为 的菱形，
， ， 为 中点， 为 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与 所成角大小．
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体 中， ，E，F，Q分别为
的中点，求证：平面 平面 ．5．（2023秋·四川眉山·高二统考期末）如图所示,在四棱锥 中,四边形 是正方形,点 分
别是线段 的中点.
（1）求证： ;
（2）线段 上是否存在一点 ,使得面 面 ,若存在，请找出点 并证明;若不存在,请说明理由.
6．（2022秋·四川眉山·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱 中，若D是棱 的中点，E是棱
的中点，问：在棱AB上是否存在一点F，使平面 平面 ？若存在，请确定点F的位置；若
不存在，请说明理由.高频考点三：线面平行的性质
角度1：线面平行的性质
典型例题
例题1．（2022春·广东·高一校联考期中）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
为棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 为 的中点；
例题2．（2022秋·江苏南通·高二统考期中）在正四棱锥 中，已知 ， ， ，
分别为 ， 的中点，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．
角度2：由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置
典型例题例题1．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四边形 是正方形， 平面 ，
， ， 点为 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试问在线段 （不含端点）上是否存在一点 ，使得 平面 ．若存在，请指出点 的位
置；若不存在，请说明理由.
例题2．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考开学考试）如图1，在边长为4的正方形
中，点 、 分别是边 、 的中点，将 、 分别沿 、 折叠，使 、
两点重合于点 ，连 、 ，得到图2所示几何体．
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ，如果存在，求 的值，如果不存在，说明理
由．
例题3．（2022春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，在正四棱锥 中，点 ， 分别在
棱 ， 上，且 ．(1)证明： 平面PAC；
(2)当 时，请问在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
角度3：由线面平行求线段长度
典型例题
例题1．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）直三棱柱 的所有棱长均为3，
为侧棱 的中点， 为侧棱 上一点，且 ， 为 上一点，且 平面 ，则
的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例题2．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）如图，在棱长为2的正方体
中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面正方形 内一点（含边界），
若 平面 ，则线段 长度的取值不可能为（ ）A． B．2 C． D．3
例题3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体
中，点 ､ 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内（不含边界）一点，若 平面 ，则线
段 长度的最小值是___________.
考点三练透核心考点
1．（2022·高一课时练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线
为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在矩形 中，点E在边 上， ，将 沿
进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面 平面 ，如图2．若点F在棱 上，且
平面 ，求 ；3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面
为正三角形， 为线段 上一点， 为 的中点.
(1)当 为 的中点时，求证： 平面 .
(2)当 平面 ，求出点 的位置，说明理由.
4．（2022春·安徽安庆·高一校考期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F
为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________.
5．（2022·四川广安·广安二中校考二模）如图，正方体 的棱长是2，S是 的中点，P
是 的中点，点Q在正方形 及其内部运动，若 平面 ，则点Q的轨迹的长度是
___________.高频考点四：面面平行的性质
角度1：面面平行证明线线平行
典型例题
例题1．（2022·高一课时练习）如图所示，已知多面体 中，四边形 为矩形，
， ，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 平面 ；
(3)若过 的平面交 于点 ，交 于点 ，求证： ．
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，正三棱柱 中，过 的截面与上底面交于
，且点 在棱 上，点 在棱 上．证明： ；3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，已知三棱柱 中， 是 的中点， 是 的
中点，设平面 平面 ，平面 平面 ，求证： .
角度2：面面平行证明线面平行
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点．求证： 平面 ；
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图， 且 ， ， 且
， 且 ， 平面 ， ，若 为 的中点， 为的中点，求证： 平面 ．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知 是矩形 所在平面外一点， ， 分别是 ，
的中点，求证： 平面 .
考点四练透核心考点
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 分别是平行六面体 的棱
上的点,且 , ,点 分别是线段 上的点,则满足与平面 平行
的直线 有（ ）条
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱 中， ⊥平面 ， ，
是等边三角形， 分别是棱 的中点．证明： 平面 ．3．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）如图甲，在四边形 中， ，
．现将 沿 折起得图乙，点 是 的中点，点 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在图乙中，过直线 作一平面，与平面 平行，且分别交 、 于点 、 ，注明 、 的位
置，并证明．
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱 的底面 为菱形， ，其中
侧面 为平行四边形， 分别为 的中点， 在线段 上，且满足 ，过
和点 的平面交 于 ，交 于 .证明： ；
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中，点 是 的中点， 在 上，若过 的平面 交 于 ，交 于 ，求证： 平面
6．（2023·全国·高一专题练习）用一个平面去截直三棱柱 ，交 分别于点
. 若 ，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形
