第 03 讲 空间直线、平面的平行
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................7
高频考点一：线面平行的判定.......................................7
角度1：判断证明线面平行.......................................7
角度2：补全线面平行的条件....................................12
高频考点二：面面平行的判断......................................25
角度1：判断证明面面平行......................................25
角度2：补全面面平行的条件....................................29
高频考点三：线面平行的性质......................................40
角度1：线面平行的性质........................................40
角度2：由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置..............42
角度3：由线面平行求线段长度..................................47
高频考点四：面面平行的性质......................................54
角度1：面面平行证明线线平行..................................54
角度2：面面平行证明线面平行..................................57第一部分：知识点必背
知识点一：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义
直线 与平面 没有公共点，则称直线 与平面 平行.
2、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
3、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述： ， ，
知识点二：平面与平面平行
1、平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
2、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
//
a ⊂ β,b ⊂ β ¿ }a ∩ b = P ¿ } ¿¿⇒ α β ¿
符号表述：
3、平面与平面平行的性质定理
3.1性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言
3.2性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：
第二部分：高考真题回归
1．（2023·全国（乙卷文）·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 垂直 的延长线交于点 ，
因为 是 中点，所以 ，
在 中， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
即三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
2．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）如图所示：
分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ，
，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边
形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面
．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：分别取 中点 ，由（1）知， 且 ，同理有， ，
， ，由平面知识可知， ， ，
，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积
的 倍．
因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的
距离 ， ，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：
连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的
倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面
APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：线面平行的判定
角度1：判断证明线面平行
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）若 为平面，有下列命题，其中
真命题的是（ ）
A．若直线 平行于平面 内的无数条直线，则
B．若直线 在平面 外，则 平面
C．若直线 ，直线 平面 ，则 平面
D．若直线 平面 ，则 平行于平面 内的无数条直线
【答案】D
【详解】A项还可能 ，故A错误；
B项还可能 与平面 相交，故B错误；
C项还可能 ，故C错误；
由直线与平面平行的性质以及平行的传递性可知D正确.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，点 、 、 、 、 为正方体的顶点或所在棱的中点，
则下列各图中，不满足直线 平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项，如下图所示，在正方体 中， 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
同理可证 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 ，故A满足；
对于B选项，如下图所示，连接 ，
在正方体 中， 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，故B满足；
对于C选项，如下图所示，在正方体 中，取 的中点 ，
连接 、 、 ，
因为 且 ， 、 分别为 、 的中点，
所以 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， ，则 ，
所以， 、 、 、 四点共面，
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，所以， ，因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，故C满足；
对于D选项，如下图所示，在正方体 中，取 的中点 ，
连接 、 、 、 、 、 ，
因为 且 ， 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，故 ，
所以， 、 、 、 四点共面，
同理可证 ，故 ，同理可得 ，
反设 平面 ，因为 ，且 平面 ，则 平面 ，
但 与平面 有公共点 ，这与 平面 矛盾，故 平面 ，故D不满足．
故选：D．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知 是平行四边形，点 是平面 外一
点， 是 的中点，在 上取一点 ，过 和 作平面交平面 于 ，则 与 的位置关
系是_________．
【答案】平行
【详解】连接 交 于 ，连结 ，
因为 是平行四边形，所以 为 中点.
因为 是 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
因为 平面 ，又过 和 作平面交平面 于 ，即平面 平面 ，且 平面 ，
所以 .
故答案为：平行.
例题4．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）在直三棱柱 中，已知 为 的中点. 求
证： 平面 .
【答案】证明见解析
【详解】证明：连接 交 于点 ，连接 ，如下图所示：
在三棱柱 中， 且 ，则四边形 为平行四边形，
因为 ，则 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
例题5．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥 中， ， 、
分别是 、 的中点， 底面ABCD，且(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证法一：连接AC交BO于点 ，连接 ．
，
∴四边形 为平行四边形,∴ 是 的中点；
∵ 中， 是 的中点, ；
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
证法二： 中， 分别是 的中点， ，
又 平面 ， 平面 , 平面 ，
且 ，
∴四边形 是平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 , 平面 ;
， 平面 ,∴平面 平面 ，
∵ 平面 ， 平面 .
（2）连结 ， ，由 中， ，
得 ， ,
∴ 的面积 ;
又 平面 ， ,
∴三棱锥 的体积为 ;
∵ 是 的中点， ,
∴ .
角度2：补全线面平行的条件
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三角形，
， 为 中点，点 在 上，满足 ，且面 面 ．
(1)证明： 面POD；
(2)若点 为 中点，问：直线 上是否存在点 ，使得 面 ，若存在，求出 的长及
到面 的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析（1）由条件 、 为等边三角形， 为 的中点，
则 ， ， ，
由余弦定理得
从而在 中， ，
得 为直角三角形，且 ，
又面 面 ，面 面 ，且 ， 面 ,
则由面面垂直的性质定理可得 面
由 面 ，
因此由 ， ， ， 面 ，即 面POD.
（2）存在AC上的点F，使得 面
点E为PB中点，取 的中点 ，可得 ，再在面 内作 交 于点 ，该点 即
为满足题意的点（如图）．
下面证明面 面
由于 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
， 面 ， 面 ，则 面 ，
面 ， 面 ， ，
则由面面平行的判定定理可得面 面 ， 面 ，因此 面POD
又由于 ，从而可得 ， ， ，
由（1）可知， 面 ，则 面 ， 即为面 与面 间的距离，也即 到面
的距离．
综上：存在 上的点 ，使得 面 ， ，
到面 的距离为 ．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ，点 为棱
的中点，与 ， 相异的动点 在棱 上.(1)当 为 的中点时，证明： 平面 ；
(2)设平面 与平面 的交线为 ，是否存在点 使得 平面 ？若存在，求 的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
（1）如图，设点 为棱 的中点，连接 ， ，
∴ , ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）
如图，延长 ， 相交于点 ，连接 ，则直线 为平面 与平面 的交线，连接 ，交
于点 ，若 平面 ，由线面平行的性质可知 ，
设 ，
∵点 为棱 的中点， ， ，
∴ ，
∵ ， ， 三点共线，
∴ ，即 ，
所以当 时， ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴存在满足条件的点 使得 平面 ，此时 .
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图1，菱形 中， ， ， 于 ，将
沿 翻折到 ，使 ，如图2．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使 ∥平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)
(2)存在， .
【详解】（1）解：由题可知在菱形 中， ， ， ，
故 ，
所以在四棱锥 中， ，
又 ，所以 平面 ，且 ，
连接 ，因为 则 ,
所以 .
故棱锥 的体积为 .
（2）解：设线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，连接 ，
因为点 为 的中点，点 为 的中点，
所以 ，
又由（1）得， ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ,
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，此时点 为 的中点，
故 .
例题4．（2023春·高一课时练习）如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形，点 ，
， 分别为线段 ， ， 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上找一点H，使得 平面 ，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)H为BD的三等分点（靠近点B），理由见解析.
【详解】（1）E、F分别是BC，BP中点，则 ，而PC 平面PGC，EF 平面PGC，
所以EF//平面PGC.
（2）连接AE，与BD相交于H，则H为BD的三等分点（靠近点B），即为所求.
平行四边形ABCD中，因E、G分别是BC、AD中点，则 ，
即四边形 是平行四边形，于是得 ，令 ，则 ，
而AE 平面PCG，CG 平面PCG，因此，AE//平面PCG，由（1）知EF//平面PCG，又 ，
AE，EF 平面AEF，
于是得平面AEF//平面PCG，又FH 平面AEF，
所以FH//平面PCG，且H为BD的三等分点（靠近点B）.
考点一练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱倠 中， 分别是 、 的重心，以下与直线
平行的是（ ）
A．直线 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】B
【详解】如图所示，取 中点为 ，连结 、 ，由 ， 分别是 和 的重心，可得 ， ，
则 ， ，即 ，所以 ，
又由 不平行 ，故A错误；
由 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以B正确；
因为 平面 ， 平面 ，所以 与平面 不平行，所以C错误；
因为 平面 ， 平面 ，所以 与平面 不平行，所以D错误．
故选：B．
2．（多选）（2023春·高一课时练习）如图，在三棱锥 中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF
的平面截三棱锥得到的截面为 ，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． 平面 D． 平面
【答案】ABC
【详解】对于A、B中，因为 分别为 的中点，所以 是 的中位线，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为过 的平面截三棱锥得到的截面为 ，平面 平面 ，
所以 ，所以 ，故A，B一定成立；
对于C中，因为 ， 平面ABD， 平面 ，
所以 平面 ，故C一定成立；对于D中，因为 的位置不确定，所以 与平面 有可能相交，所以D不一定成立.
故选：ABC.
3．（2023春·高一课时练习）如图，直四棱柱 的底面是菱形，E，M，N分别是BC，
， 的中点，求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【详解】连接 ，ME，
∵M，E分别是 ，BC的中点，
∴ ，且 ，
∵N为 的中点，∴ .
， ，
所以 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴四边形MNDE是平行四边形，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .4．（2023·全国·高一专题练习）如图， 中， ， 是正方形，平面 平面
，若 、 分别是 、 的中点．求证： 平面 ；
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，取 的中点 ，连接 ．
，F分别是 和BD的中点， BC，HF DE．
又 四边形 为正方形， ，从而 ．
平面ABC， 平面ABC， 平面ABC.
同理 平面ABC，又 . 平面 平面 .
∵ 平面 ，则 平面ABC；
5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在多面体 中，四边形 是正方形， 平面
， ， .
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若多面体 的体积为32，求 的值.【答案】(1)证明见解析
(2)2
【详解】（1）证明：连接 .因为 为 的中点， ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：因为四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，
所以AB，AD，AE两两垂直，
连接AC，多面体ABCDEF的体积等于 .
因为AB=AE=2CF=2m，
所以四棱锥B-ACFE和四棱锥D-ACFE的高都为 ，
四边形（直角梯形）ACFE的面积为 ，
所以多面体ABCDEF的体积等于 ，
因为多面体ABCDEF的体积为32，
所以4m3=32，解得m=2.
6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体 中， ， ， 分别是 ， ，
的中点.（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ， ， .
因为 是正方体， ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，所以 （或补角） 为异面直线 与 所成角.
设正方体的棱长为2，则 ， ，
所以 ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（2）存在，且 ，证明如下：
延长 ， 交于 ，连接 交 于 ，因为 ， 是 的中点，所以 为 中点.
因为 ，所以 ，且 ，
当 时， ，且 ，即四边形 为平行四边形，
所以 ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
7．（2023春·河南郑州·高一河南省实验中学校考期中）在长方体 中，E，F，G分别为所
在棱的中点，H，Q分别为AC， ，的中点，连EF，EG，FG，DQ，CQ， ．
（I）求证：平面 平面ACQ
（II）问在线段CD上是否存在一点P，使得 平面 ？若存在，求出P点的位置若不存在，请说
明理由
【答案】（1）证明见解析 （2）当 时，满足条件，证明见解析.
【详解】连接 ,由E，F，G分别为所在棱的中点
所以 ,
由 ,所以 ,又 平面ACQ, 平面ACQ
所以 平面ACQ
又 ,所以 ,又 平面ACQ, 平面ACQ
所以 平面ACQ,又
所以平面 平面ACQ
（2）线段CD上存在一点P，当 时，满足 平面 .
证明如下：连接 并延长交 于点 ,连接 ，则平面 与平面 为同一平面.由H为AC的中点，则 与 全等.则
取线段 的中点 ，连接 .
由 分别为 的中点，所以 且
又 且 , 即 且
所以四边形 为平行四边形，故
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
8．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考期中）如图，在三棱锥 中，点 在底面 上的射影
在 上， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【详解】（1）证明：因为 ，
在 中，由余弦定理，可得 ，
可得 ，所以 ，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）连接 ，因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ．
在 和 中，由 得
在 中，由 ，得 ，
所以 ，
所以在 中， ，
所以 是 的三等分点．
在线段 上存在点 ，使得 ，则有 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
故在线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时 ．
高频考点二：面面平行的判断
角度1：判断证明面面平行
典型例题
例题1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知三条不同的直线 和两个不同的平面 ，下列
四个命题中正确的为（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【详解】选项A：若 ，则 或 异面或 相交.判断错误；
选项B：若 ，则 或 .判断错误；
选项C：若 ，则 或 相交.判断错误；选项D：若 ，则必有 ，
又 ，则 ，则 .判断正确.
故选：D
例题2．（多选）（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期中） ， 是三个平面， 是
两条直线，下列四个命题中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【详解】对于A，若 ，由平面与平面平行的性质可得 ，故选项A正确；
对于B，若 ，当 与 相交时， ，故选项B错误；
对于C，若 则 与 无公共点，因为 ，所以 与 无公共点，所以 ，故选项C正确；
对于D，若 ， ，则 或 与 相交，故选项D错误.
故选：BD.
例题3．（2023春·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
， ， ， 分别是棱 ， 的中点．
(1)判断多面体 是否为棱柱并说明理由；
(2)求多面体 的体积；
(3)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)多面体 不是棱柱，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）多面体 不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体 只有1个面是
平行四边形，故不是棱柱.（2）易知三棱柱 的体积 ，
三棱锥 的体积 ，
易知三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
故多面体 的体积 ．
（3）因为D，E分别是 ，AC的中点，所以 ，
所以四边形 为平行四边形
所以 ．又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
易知 ，得四边形 为平行四边形．
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
而 ，BE， 平面 ，
所以平面 平面 ．
例题4．（2023春·高一课时练习）如图所示， 为 所在平面外一点， 、 、 分别为
、 、 的重心．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 是边长为2的正三角形，判断 的形状并求 的面积．
【答案】(1)证明见详解.
(2)正三角形， .
【详解】（1）记 的中点分别为 ，连接 ，
因为M、N、G分别为 、 、 的重心，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面ACD.
（2）因为 是边长为2正三角形， 分别为 的中点，
所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，
同理 ，
所以 为正三角形， .
例题5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图，矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在
平面， ， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 是
边上一动点.
(1)是否存在点 使得平面 平面 ，若存在，请指出点 的位置，并证明；若不存在，请说明理
由.
(2)求多面体 的体积.
【答案】(1)存在， 的中点 ，证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图所示.因为 是 的中点，
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
又因为 是 的中点，
所以 ，又因为 平面 ， 平面
所以 平面 .
又因为 ， 平面
所以平面 平面 ，
（2）连接 ，
因为平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
由题意易得直角梯形 的面积为 ，
所以
在 中，易知 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ，
所以多面体 的体积为 .
角度2：补全面面平行的条件
典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图 平面 ， 是矩形， ， ，
点 是 的中点，点 是 边上的任意一点．当 是 的中点时，线段 上是否存在点 ，使得平
面 平面 ，若存在指出点 位置并证明，若不存在说明理由．
【答案】存在 为 中点使面 面 ，理由见解析
【详解】存在 为 中点，使得平面 平面 ，理由如下：
当 为 中点，连接 ，
又 是 的中点， 是 的中点，
所以 ， ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 面 ，
又 ，即平面 平面 ，
综上， 为 中点时平面 平面 ．
例题2．（2023春·江苏·高一专题练习）如图1，已知菱形 的对角线 交于点 ，四边形
是平行四边形.将三角形 沿线段 折起到 的位置，如图2所示.
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否分别存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请指出点 的位
置，并证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 分别是 的中点，证明见解析
【详解】（1）证明：折叠前， 四边形 是菱形， ，
折叠后 .
平面 ，
又 平面 .
（2）在线段 上分别存在点 ，且 分别是 的中点时，平面 平面 .
证明如下：
如图，分别取 的中点 ，连结 ，
在 中， 分别是 的中点， .
分别是 的中点，四边形 是平行四边形，
平行且等于 四边形 是平行四边形， .
又 平面
平面 ，
平面 平面 .
例题3．（2023春·高一课时练习）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是线段 ， 的
中点.(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在一点 使得平面 平面 ，若存在，指出点 的具体位置；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，P为 的中点
【详解】（1）连接 ，因为在直三棱柱 中， 为平行四边形，
故 和 相交，交点为它们的中点，
由于N是线段 的中点，故N也为 的中点，
因为M为 的中点，
所以 为 的中位线，
所以 .
∵ 平面 平面ABC，∴ ，∴ ，
即 .
（2）存在，P为 的中点时，平面 平面 ，
证明：连结 ， ，
因为N为 的中点，P为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又由（1）知 , 平面 , 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
例题4．（2023春·高一课时练习）如图，在四棱柱 中，点 是线段 上的一个动点,
分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在； .
【详解】证明：(1)连接 ，如下图所示，
， ， ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）当 为棱 中点时，平面 平面 ，
理由如下：
为 中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ,又由（1） 平面 ,
，∴平面 平面 ，且 .例题5．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱 中， 为平行四边形，
， 分别在线段 ， 上，且 ， 在 上且平面 平面 ，则
___________
【答案】
【详解】∵平面AEF 平面BDG，且平面AEF∩平面BBDD=EF，平面BDG∩平面BBDD=BD，∴EF
1 1 1 1 1 1 1
BD，∴
1
易得平面ADD A 平面BCC B，又BG⊂平面BCC B，∴BG 平面ADD A，
1 1 1 1 1 1 1 1
又∵平面AEF 平面BDG，BG⊂平面BDG，∴BG 平面AEF，
1 1
∵平面AEF∩平面ADD A=AF，
1 1
∴BG AF，∴BG､AF可确定平面ABGF，
又知平面ABBA 平面CDD C ，
1 1 1 1
平面ABGF∩平面ABBA=AB，平面ABGF∩平面CDD C =FG，
1 1 1 1
∴AB FG，∴CD FG.
∴ .故答案为： .
考点二练透核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，
H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．
其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，
对于①，因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，故①正确；
对于②，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故②正确；
对于③，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故③正确；
对于④，平面 平面 ，故④错误;所以正确的有①②③.
故选：C.
2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为
的中点.过 作该正方体的截面，使得该截面与平面 平行，写出作法，并说明理由；
【答案】答案见解析
【详解】取 的中点H，
连接 ，截面 为要求作的截面.
理由如下：
因为E，F分别为 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
在正方形 中，因为G为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，同理可证 ，
又 平面 平面 ，
可得 平面 .
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
连接 ，因为G为 的中点， H为 中点，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，B，H，G四点共面，
从而截面 为要求作的截面.3．（2023·高一课时练习）在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为边长为 的菱形，
， ， 为 中点， 为 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与 所成角大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，
因为 为 中点， 为 的中点，
所以 ， ，
因为 平面PCD， 平面PCD，
所以 平面PCD，同理可得 平面PCD，
因为 ， 平面 ，
所以平面 平面PCD，
因为 平面MNE，
所以直线 平面 ；
（2）连接AC，四边形 为边长为 的菱形， ，所以 ，
由余弦定理得： ，
因为 ， 为 中点，所以 ,
因为 底面 ， 平面ABCD，
所以PA⊥AC，PA⊥AD，
所以 ，
，
因为 ，所以直线 与 所成的角 或其补角为直线 与 所成的角，
由余弦定理得： ，
故直线 与 所成角的大小为 .
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体 中， ，E，F，Q分别为
的中点，求证：平面 平面 ．
【答案】证明见解析
【详解】因为E是 的中点，Q是 的中点，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 ．
又因为F是 的中点，所以 ，因为 平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 平面 ，
所以平面 平面 ．
5．（2023秋·四川眉山·高二统考期末）如图所示,在四棱锥 中,四边形 是正方形,点 分
别是线段 的中点.
（1）求证： ;
（2）线段 上是否存在一点 ,使得面 面 ,若存在，请找出点 并证明;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）见证明；(2)见解析
【详解】（1）证明：由四边形 为正方形可知，连接 必与 相交于中点
故
∵ 面
∴ 面
（2）线段 上存在一点 满足题意，且点 是 中点
理由如下：由点 分别为 中点可得：
∵ 面
∴ 面
由（1）可知， 面
且
故面 面
6．（2022秋·四川眉山·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱 中，若D是棱 的中点，E是棱
的中点，问：在棱AB上是否存在一点F，使平面 平面 ？若存在，请确定点F的位置；若
不存在，请说明理由.【答案】存在点F，且F为AB的中点，理由见解析
【详解】存在点F，且F为AB的中点.
如图，取AB的中点F，连接DF，EF.
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，且 .
因为D，E分别是 和 的中点，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为E，F分别是 ， 的中点，所以 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又 平面DEF， 平面DEF，且 ，
所以平面 平面 .
因此，当点 为线段 的中点时，平面 平面 .高频考点三：线面平行的性质
角度1：线面平行的性质
典型例题
例题1．（2022春·广东·高一校联考期中）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
为棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 为 的中点；
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
【详解】（1）证明：如图所示：
连接AC交BD于点G，连接GE，
因为ABCD为平行四边形，
所以G为AC的中点，又E为PC的中点，
所以 ，又 平面BDE， 平面BDE，
所以 平面 ；
（2）因为底面 为平行四边形，
所以 ，
又 平面ABEF， 平面ABEF，
所以 平面ABEF，又平面 平面 ，
所以 ，又因为E 为PC的中点，
所以F为 的中点.
例题2．（2022秋·江苏南通·高二统考期中）在正四棱锥 中，已知 ， ， ，
分别为 ， 的中点，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接 ，∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴
（2）解：连接 交 于点 ，连接 ，
在正四棱锥 中，四边形 为正方形，
∴ 为正方形中心
∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ，
因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
即AO为点 到平面 的距离， ，
在 中， ，所以 ，
所以 ．
角度2：由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置
典型例题
例题1．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四边形 是正方形， 平面 ，
， ， 点为 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试问在线段 （不含端点）上是否存在一点 ，使得 平面 ．若存在，请指出点 的位
置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，P点是靠近E端的三等分点
【详解】（1）证明：∵AF⊥平面ABCD， 平面ABCD，∴AF⊥BC，
又∵四边形ABCD是正方形.∴BA⊥BC，
又∵ ， 平面AFB. 平面AFB，
∴BC⊥平面AFB，
∵ 平面AFB，∴AH⊥BC，
又∵H为FB的中点，AF＝AB，∴AH⊥BF，
∵ .∴AH⊥平面FBC，
∵ 平面AEH，
∴平面AEH⊥平面FBC；
（2）解：假设存在点P使 平面FBD，作AF的中点G，连接AC与BD交于O点，连接CP，FO分别
交GE于点M，T，
∵ 面FBD，面 面FBD＝FO.∴ ，
∵四边形ACEG是矩形，
∴ .
又 ，∴ ，
∴P点是靠近E端的三等分点.
例题2．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考开学考试）如图1，在边长为4的正方形
中，点 、 分别是边 、 的中点，将 、 分别沿 、 折叠，使 、
两点重合于点 ，连 、 ，得到图2所示几何体．
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ，如果存在，求 的值，如果不存在，说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
（1）
由图1可得 ， ，
∴ ， ∴ ，∵ ， ，MD、 平面MDQ ，
∴ 平面MDQ，
∵ 平面MDQ ，
∴ ．
（2）
当 时， 平面PQF，
理由如下：
连BD交PQ于点O，连OF，由图1可得 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面PQF．
例题3．（2022春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，在正四棱锥 中，点 ， 分别在
棱 ， 上，且 ．(1)证明： 平面PAC；
(2)当 时，请问在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）如图，连接 ，记 ，连接PO．
由题意可得四边形ABCD是正方形， .
则O为AC的中点，且 .
∵ ，∴ .
∵ 平面 ， 面 ，且 ，
∴ 平面
∵ ，∴
∴ 平面PAC.
（2）设存在点M满足条件.
连接ME，MF，记 ，连接MN．
取PC的中点Q，连接OQ．
∵O，Q分别是AC，PC的中点，
∴ .
∵ 平面MEF，OQ⊄平面
∴ 平面
∵平面 平面 ，OQ 平面
∴ ，∴ .由（1）可知 ，
∴ ，
又 ∴
∵Q为PC的中点，∴ ，∴ ，∴ ．
故存在满足条件的点M，此时 ．
角度3：由线面平行求线段长度
典型例题
例题1．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）直三棱柱 的所有棱长均为3，
为侧棱 的中点， 为侧棱 上一点，且 ， 为 上一点，且 平面 ，则
的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，
过点过点 作 交 于点 ，再过点 作 交 于 ，
取 中点为 ，连接 .因为 ， 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ，
同理 ， 平面 ，
又 平面 ,
所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 ，
又由题意知，四边形 与四边形 都为边长为 的正方形.
因为 ， ，所以 ，
因为 是 中点，所以 ，
又 为侧棱 的中点，所以 ，
所以四边形 是平行四边形.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ,即 ，解得 .
故选：B.
例题2．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）如图，在棱长为2的正方体
中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面正方形 内一点（含边界），
若 平面 ，则线段 长度的取值不可能为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】如图，取 中点G，连接 ，
点 ， 分别是棱 ， 的中点，则 ，
又 ， 面BFG， 面AEC，所以面BFG 面AEC，
因为 平面 ，故 面BFG，
又 是侧面正方形 内一点（含边界），面BFG 面 ，故 ，易得 ， ， 边FG上的高 ，故由等面积
法， 边BG上的高 ，故 ，又 ，
故选：D
例题3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体
中，点 ､ 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内（不含边界）一点，若 平面 ，则线
段 长度的最小值是___________.
【答案】
【详解】如下图所示，
分别取棱 的中点 、 ，连接 ，
∵ 分别为所在棱的中点，则 ，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 ，
∴平面 平面 ．
∵ 是侧面 内一点，且 平面 ，
∴点 必在线段 上．
在 中， ．
同理，在 中，可得 ，
∴ 为等腰三角形．
当点 为 中点 时，即 ，此时 最短；
又 ，
∴线段 长度的最小为 ．
故答案为： ．
考点三练透核心考点
1．（2022·高一课时练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线
为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，所以MN∥PD，NQ∥AD，
又MN⊄平面PAD，PD 平面PAD，
则MN∥平面PAD，
⊂
同理可得NQ∥平面PAD，
又 平面MNQ
所以平面MNQ∥平面PAD.
（2）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
⊂
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以B
⊂
C∥l．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在矩形 中，点E在边 上， ，将 沿
进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面 平面 ，如图2．若点F在棱 上，且
平面 ，求 ；
【答案】
【详解】如图，在 上取点 ，使得 ，连接 ， ，
则 ．
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
因为 ，所以 ∽ ，
又因为 ，
所以 ．3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面
为正三角形， 为线段 上一点， 为 的中点.
(1)当 为 的中点时，求证： 平面 .
(2)当 平面 ，求出点 的位置，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析.
【详解】（1）取 中点为 ，连接 ，
在 中， 为 的中点， 为 中点，
，
在平行四边形 中， 为 的中点，
，
，
四边形 为平行四边形，面 面 ，
平面 ；
（2）连接 ，相交于 ，连接 ，
面 ，面 面 面 ，
， ，
即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.
4．（2022春·安徽安庆·高一校考期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F
为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________.
【答案】 /0.5
【详解】如图，连结 交 于点 ，连结 .
，E为AD的中点，
,
PA∥平面EBF，平面EBF 平面PAC ，PA 平面PAC，
PA∥OF，
.
故答案为： .
5．（2022·四川广安·广安二中校考二模）如图，正方体 的棱长是2，S是 的中点，P
是 的中点，点Q在正方形 及其内部运动，若 平面 ，则点Q的轨迹的长度是___________.
【答案】
【详解】解：如图所示：
要使 平面 ，作 交 于E，
则 平面 ，
因为正方体 的棱长是2，
所以 ，
连接 ，取 的中点 ，连接 ，
则 为平行四边形，则 ，
则 平面 ，又 ，
所以平面 平面 ，
设平面 平面 =EF，
则 ，
连接 ，则 为平行四边形， 在 上，
所以 ，
故答案为：高频考点四：面面平行的性质
角度1：面面平行证明线线平行
典型例题
例题1．（2022·高一课时练习）如图所示，已知多面体 中，四边形 为矩形，
， ，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 平面 ；
(3)若过 的平面交 于点 ，交 于点 ，求证： ．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)证明见详解.
(1) 平面 平面ABCD，
平面 平面ABCD ，
在矩形ABCD中， ， 平面 ABCD，
平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
(2)
取 的中点 ，连接 ，
分别为 的中点，，且 ，
， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
平面DAF， 平面DAF，
平面DAF.
(3) ，
过直线 存在一个平面 ，
使得平面 平面ABCD，
又 过 的平面交 于 ，交 于 点，
平面ABCD，
，
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，正三棱柱 中，过 的截面与上底面交于
，且点 在棱 上，点 在棱 上．证明： ；
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又因为正三棱柱 中，侧面 为平行四边形，
故有 ，所以 .
3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，已知三棱柱 中， 是 的中点， 是 的
中点，设平面 平面 ，平面 平面 ，求证： .【答案】证明见解析
【详解】证明：连接 ．在四边形 中， ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ①，且 ②；由①、②得：
四边形 为平行四边形，
所以 ；
∵平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴
同理可证
又
∴
角度2：面面平行证明线面平行
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点．求证： 平面 ；【答案】证明见解析
【详解】取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
，则 ，同理可得 平面 ，
而 ， 平面 ，故平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图， 且 ， ， 且
， 且 ， 平面 ， ，若 为 的中点， 为
的中点，求证： 平面 ．【答案】证明见解析
【详解】证明：设H是DG的中点，连接NH，MH，
由于M是CF的中点，所以MH∥CD，
由于MH 平面CDE，CD 平面CDE，
所以MH∥平面CDE．
⊂
由于N是EG的中点，所以NH∥DE，
由于由于NH 平面CDE，DE 平面CDE，
所以NH∥平面CDE．
⊂
由于NH⋂MH＝H， 平面 ，
所以平面MNH∥平面CDE，
由于MN 平面MNH，所以MN∥平面CDE．
⊂
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知 是矩形 所在平面外一点， ， 分别是 ，
的中点，求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【详解】解法（1）取 中点 ，连接 ， ，
是 中点， 是 中点， ， ，
是矩形 边 中点， ， ，
， ，所以四边形 是平行四边形，
，且 是平面 外的一条直线， 是平面 上的一条直线，平面 .
解法（2）取 中点 ，连接 ， ，
是 中点， 是 中点，所以 ，
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 ,
因为 ， ，
所以 ， ,
所以四边形 为平行四边形
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
因为
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
考点四练透核心考点
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 分别是平行六面体 的棱
上的点,且 , ,点 分别是线段 上的点,则满足与平面 平行
的直线 有（ ）条
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【详解】作平行于平面 的平面分别交 于 ,
当该平面过点 时,如图所示:则在平面 内的直线均平行于平面 ,
将平面 向上平移分别与直线 交于 ,
则 平行于平面 ,
因为平面 有无数多个,所以这样的 有无数多条.
故选:D
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱 中， ⊥平面 ， ，
是等边三角形， 分别是棱 的中点．证明： 平面 ．
【答案】证明见解析
【详解】
连接BD.
因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为D，F分别是棱 ，BC的中点，所以 ， ，所以四边形 是平行四边形，则 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面ABD， 平面ABD，且 ， 平面
所以平面 平面 ，
因为 平面ABD，所以 平面 .
3．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）如图甲，在四边形 中， ，
．现将 沿 折起得图乙，点 是 的中点，点 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在图乙中，过直线 作一平面，与平面 平行，且分别交 、 于点 、 ，注明 、 的位
置，并证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 分别为 的中，理由见解析.
【详解】（1）证明：取 的中点 ，分别连接 ，
因为 ， 分别为 和 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 分别为 的中点，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又由 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：当 分别为 的中点时，此时平面 平面 ，
证明如下：取 的中点 ，分别连接 ，
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
又因为 分别为 的中点，可得 ，
所以 ，所以点 四点共面，
即过直线 作一平面，与平面 平行，且分别交 ， 于点 、 ，
此时 ， 分别为 和 的中点.4．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱 的底面 为菱形， ，其中
侧面 为平行四边形， 分别为 的中点， 在线段 上，且满足 ，过
和点 的平面交 于 ，交 于 .证明： ；
【答案】证明见解析
【详解】证明：由题意四棱柱 中，平面 //平面 ，
因为过 和点 的平面交 于 ，交 于 ，则 平面 ，
设过 和 的平面为 ，则平面 ，平面 ，
// .
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中，点 是 的中点， 在 上，若
过 的平面 交 于 ，交 于 ，求证： 平面
【答案】证明见解析【详解】证明：因为平面 平面 ，平面 ，平面 ，
，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
6．（2023·全国·高一专题练习）用一个平面去截直三棱柱 ，交 分别于点
. 若 ，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形
【答案】②④⑤
【详解】 为直三棱柱，则面 面 ，截面过面 、面 ，则交线
，
当 不与 平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形 为梯形；
当 时，此时截得的 ， ，
当 时，四边形 为矩形；当 时，四边形 为正方形；
故答案为：②④⑤
