文档文本内容
2026 年高考数学考前必刷卷（一）
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合
，则
与
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别化简集合
，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解.
【详解】
，
，
则
，
，故B 正确；A、C 错误；
，故D 错误；
故选：B
2．若
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用复数的运算化简等式可得
，结合
可得结果.
【详解】因为
，所以
，即
，故
，
所以复数
的虚部为
.
故选：B.
3．已知函数
的图象关于点
中心对称，则（ ）
A．函数
的图象可由
向左平移
个单位长度得到
B．函数
的图象可由
向左平移
个单位长度得到
C．
在区间
上单调递减
D．
在区间
上单调递增
【答案】C
【分析】先利用函数的对称中心求出
，得到
，对 A，B，利用三角函数平移的
性质判断；对C，D，利用三角函数的单调性判断即可.
【详解】函数
的图象关于点
中心对称，所以
，
可得
，结合
，得
，所以
．
对于A，函数
的图象可由
向左平移于
个单位长度得到，故A 错误；
对于B，由诱导公式得
，
向左平移
个单位长度后得到
，故B 错误；
对于C，当
时，
，
由于
在
上单调递减，
所以函数
在区间
上单调递减，故C 正确；
对于D，当
时，
，
由于
在
上不单调，
故函数
在区间
上不单调递增，故D 错误．
故选：C.
4．如图，在
中，点D，E 分别在边AB，BC 上，且均为靠近
的四等分点，CD 与AE 交于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到
，
，从而
，
，得到
，得到答案.
【详解】连接DE，
由题意可知，
，所以
，则
，
所以
，所以
，
则
，
故
.
又
，所以
，则
.
故选：A
5．已知递增的等比数列
满足
，
，则
的公比
（ ）
A．6
B．3
C．2
D．
【答案】B
【分析】由等比数列的性质可得
的值，结合
以及
为递增数列可得
和
的值，从而可
得公比
.
【详解】由
，
，解得
或
，
因为
是递增数列，所以
，则
，又
为递增的等比数列，所以
.
故选：B.
6．已知幂函数
在
上单调递增，若实数
满足
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出
，得到
，代入
利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
是幂函数，且在
上单调递增，
所以
，解得
，
所以
，
易知
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为，
故选：B
7．已知斜率为
的直线过双曲线
：
的左焦点
，且与
的左、右两支分别交
于点
，
，设
为坐标原点，
为
的中点，若
是以
为底边的等腰三角形，则双曲线
的离
心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】利用点差法、等腰三角形的性质，结合直线的斜率公式、双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】设
，
，
则有
，
，
因为直线的斜率为
，
所以由
，
设直线的倾斜角为
，则有
因为
是以
为底边的等腰三角形，
所以
，
因此直线
的倾斜角为
，即
，
化简，得
，
故选：C
8．已知直三棱柱
，
，
，
，
，设该直三棱柱的外接球的表面积
为
，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据球的性质结合条件可得直三棱柱
外接球半径
，然后根据直三棱柱
的底面三角形内切圆半径结合条件可得内切球半径，进而得解.
【详解】由题直三棱柱
底面三角形外接圆半径为
，
内切圆半径为
，
所以外接球半径
满足
，故
；
内切球半径为
，故
，
因此
.
故答案为：
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知A，B 是一个古典概型的样本空间Ω 中的两个随机事件，其中
，则（ ）
A．
=
B．
C．事件A 与B 相互独立
D．事件A 与B 互斥
【答案】BC
【分析】利用容斥原理，结合古典概率公式求解判断ABD；利用相互独立事件的定义判断C.
【详解】对于AD，由
，得
，
因此
，AD 错误；
对于B，
，B 正确；
对于C，
，而
，
因此
，事件A 与B 相互独立，C 正确
故选：BC
10．已知圆
，直线
，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当
时，圆
上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线被圆
截得的最小弦长为
D．若圆
与圆
恰有三条公切线，则
【答案】ACD
【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断
B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算
可判断D.
【详解】对于A，直线的方程为
，
变形可得：
，
令
，解得
，所以直线恒过定点
，故A 正确；
对于B，圆
，其圆心为
，半径为
，
当
时，直线的方程为
，
圆心
到直线的距离为
，
由于
，所以圆上只有2 个点到直线的距离为1，故B 错误；
对于C，因为直线过定点
，且点
在圆
内，
则经过
，
两点的直线与直线垂直时，直线被圆
截得的弦长最小，
此时圆心
到直线的距离为
，
所以最小弦长为
，故C 正确；
对于D，圆的方程
，即
，
其圆心为
，半径为
，需满足
，
若圆
与圆
恰有三条公切线，则两圆外切，
则有
，解得
，故D 正确.
故选：ACD.
11．已知函数
的定义域为
，导函数为
，满足
（为自然对数的底
数），且
0，则（ ）
A．
B．
在
处取得极小值
C．存在唯一的实数
使得
D．
【答案】BCD
【分析】构造函数
，求导确定函数
的单调性，结合单调性可得
，从而判断
A；根据导数运算可设
，由
，从而可得的值，于是得函数
的解析式，求导确定
单调性得
的极值点即可判断B；根据单调性结合函数
确定
的根是否唯一即可判断C；
根据单调性确定函数值大小即可判断D.
【详解】设
，则
，
可得
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
故
，即
，得
，故选项A 不正确；
可设
，可得
，所以
，所以
，
所以
，由
可得
，由
可得
，
所以
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，故选项B 正确；
又因为
，可得函数
大致图象如下：
结合图象知，存在唯一的实数
使得
，故C 正确；
由于
，而
，
所以
，故选项D 正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．已知过点
的直线被圆
截得的弦长为
，则直线的方程为 ．
【答案】
或
【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
圆的半径为2，弦长为
圆心
到直线的距离
，
当直线斜率不存在时，直线的方程为
，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线的方程为
，
由圆心到直线距离为1 得
，解得
．
直线的方程为
或
．
故答案为：
或
13．若直线为曲线
与
的公切线，则直线的方程可以为 .（写出符合
条件的一个方程即可）
【答案】
（或
）
【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程．
【详解】直线与曲线
的切点为
，
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
．
直线与曲线
的切点为
，
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
因为直线为曲线
与
的公切线，
所以
，
由
得
，两边取自然对数得
，
即
，即
，
代入
得
，即
，解得
或
，
所以
或
，
所以的方程为
或
．
故答案为：
（或
）．
14．记
上的可导函数
的导函数为
，满足
的数列
称为“牛顿数列”．若
函数
，且
，数列
为牛顿数列．设
，已知
，则
，数列
的前
项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，则的最大值为 ．
【答案】 4
【分析】由导函数，可得
，再由
求出
，即可得到
，从而求出
，又
，
则
，可求出数列
的通项公式与前
项和为
，参变分离可得
对任意的
恒成
立，利用对勾函数的性质出
即可.
【详解】因为
，则
，则
，
由
，所以
，解得
，所以
，
所以
，
由
，所以
，
所以
，
即数列
是以2 为首项、2 为公比的等比数列，所以
，
，
因为
对任意的
恒成立，又
且
单调递增，
所以
对任意的
恒成立，令
，
根据对勾函数的性质可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，且
，
所以
，所以的最大值为
．
故答案为：4；
.
【点睛】思路点睛：由
与
的函数关系，结合“牛顿数列”的定义，由
求出
，再得到
，从而求出
，得出数列
的特征，求出
，最后的恒成立问题转化为函数最值问题．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．如图，平面四边形
中，
，
，
.
的三个内角
，
，
的对边
分别是
，
，，且
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出
，即可得解；
（2）利用余弦定理求出
，再由正弦定理求出
，即可求出
，最后由面积公式计算可
得.
【详解】（1）因为在
中，
，
故
，而
，
故
，
即
，又
，
，
可得
，
，又
，
；
（2）由于
，
，
，
故
，
则
；
又
，
故
，
又
为锐角，
所以
，
故
；
16．如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
中点，
为
中点，
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量和直线方向向量，根据向量的关系求证即可，
（2）求解直线方向向量和平面法向量，根据向量的夹角公式即可求解，
（3）求解两个平面的法向量，利用法向量的夹角求解.
【详解】（1）如图，以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空
间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，
.
证明：（Ⅰ）
，平面
的一个法向量为
，
，所以
，
又因为
平面
，所以
平面
.
（2）
，
，
设平面
的法向量为
，
则
令
，则
，故
，
因为
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）
，
，
设平面
的法向量为
，
则
令
，
，
，故
，
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
17．函数
.
(1)若
，求
的极小值；
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，判断函数
的单调性，求出极小值；
（2）要证
，即证
，令
，求导判断单调性，求出
的最小值，得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
，当
时，
，
由
，得
，即
在
上单调递增；
由
，得
，即
在区间
上单调递减，
所以
的极小值为
.
（2）当
时，
，
因为
，从而要证
，即证
，
令
，定义域为
，
则
，其中
，
由
在
上单调递增，设
的解为
，
当
时，
，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
，
在
上单调递增；
所以
的最小值为
，
由
，可得
，
，
所以
，即
的最小值为0，
综上，
，即
得证.
18．设数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3
项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由；
(3)已知函数
，其中
表示不超过
的最大整数，设
，数列
的前
项和为
，求
除以16 的余数.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)10
【分析】（1）利用
和等比数列的定义即可求解；
（2）先利用等差数列的通项公式求得
，假设在数列
中存在3 项
（其中
成等差数列）
成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可求解；
（3）利用函数新定义及二项式定理得当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，然后利用
等比数列求和和分组求和思想求得
，最后再利用二项式定理求解余数即可.
【详解】（1）当
时，
，得
；
当
时，
，作差得
，
即
，
所以
是以2 为首项，6 为公比的等比数列，
所以
.
（2）因为
，由题意知：
，
所以
.
假设在数列
中存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列，
则
，即
，
化简得：
，
又因为
成等差数列，所以
，
所以
，即
，
又
，所以
，
即
，所以
，这与题设矛盾.
所以在数列
中不存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列.
（3）由（1）可知
，
因为
，
所以当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
所以
，
而
，
考虑到当
时，
能被16 整除，
也能被16 整除，
所以
除以16 的余数等于
除以16 的余数，
而
，
所以
除以16 的余数等于10.
19．在平面直角坐标系
中，已知点
，
，点M 满足
.记M 的轨迹为曲线
C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)设曲线C 的左顶点为E，动直线l 与曲线C 交于P，Q 两点.
（i）设直线
的斜率分别为
，
，且满足
，证明直线l 恒过定点；
（ii）若直线l 经过点
，点
在第一象限，且P，N 关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形
的面积为
? 若存在，求出直线l 的条数；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)(i)证明见解析；（ii）存在，两条
【分析】（1）根据椭圆的定义判断M 的轨迹，求出
即可得椭圆标准方程；
（2）(i)先明确曲线顶点、焦点，设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率条件确定直线过定
点；
（ii）设过焦点的直线方程，联立椭圆方程后用韦达定理，将四边形面积转化为三角形面积作差，通过换
元、函数单调性分析，结合面积值判断直线条数.
【详解】（1）因为
，
由椭圆的定义可知M 的轨迹C 是F1，F2为焦点的椭圆，
设C 的方程为
根据题意
，解得
，
∴C 的方程为
；
（2）如图，
（i）由
，设直线：
，
，
，
直线EP，EQ 的斜率分别为
，
，且满足
，
联立
，得
.
，
，
，
，
即
.
化简可得：
，解得：
，则直线过定点
.
（ii）满足题意的直线条数有两条，
证明如下：由题意可知直线PQ 的斜率不为0，
设
，
，
，不妨令
，
，
联立
，可得
，
因为四边形
的面积为
，
所以
，
因为
，代入①可得
，
，
代入②式可得
，
所以
，
即
或
，
令
，则
，
令
因为
恒成立，所以
，即
在
单调递增，
因为
，
由零点存在性定理可知：所以
在
上有唯一零点，
综上所述，满足题意的直线l 有两条.
