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专题08 平面向量小题全面梳理与精细分类
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平面向量基本定理及其应用................................................................................................2
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用....................................................................................3
题型三：平面向量的数量积................................................................................................................3
题型四：平面向量的模与夹角............................................................................................................4
题型五：等和线问题............................................................................................................................4
题型六：极化恒等式............................................................................................................................4
题型七：矩形大法................................................................................................................................5
题型八：平面向量范围与最值问题....................................................................................................5
题型九：等差线、等商线问题............................................................................................................6
题型十：奔驰定理与向量四心............................................................................................................6
题型十一：阿波罗尼斯圆问题............................................................................................................7
题型十二：平行四边形大法................................................................................................................8
重难点突破：向量对角线定理............................................................................................................8
02 重难创新练......................................................................................................................................8
1
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题型一：平面向量基本定理及其应用
1．（2024·山东滨州·二模）在
中，
为
的重心，
为
上一点，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中， 若
是
的内心，
的延长线交
于
， 则有
称之为三角形的内角平
分线定理， 现已知
，
，
且
， 则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在平行四边形
中，点
为线段
的中点，点
在线段
上，且满足
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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题型二：平面向量共线的充要条件及其应用
4．在
中，点
满足
，直线
与
交于点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·高三·江苏南通·期中）在
中，
，
，
，
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·高三·安徽亳州·期中）在
中，
，
，
与
交于点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
题型三：平面向量的数量积
7．如图，在
中，两直角边
，
，点E，F 分别为斜边AB 的三等分点，则
.
8．在边长为1 的正
中，
，则
的值等于 ．
9．已知菱形
的边长为 2，且
，若点
满足
，则
.
3
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题型四：平面向量的模与夹角
10．已知
，且
，则
.
11．已知向量
的夹角为
，则
.
12．若
是夹角为
的两个单位向量，则
与
的夹角为 .
题型五：等和线问题
13．四边形
是正方形，延长
至点
，使得
，若
为
中点，
为
中点，点
在
线段
上移动（包含端点），设
，求
的取值范围 ．
14．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形
是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
．
动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，
，则
的取值范
围为 ．
15．在如图所示的直角梯形
中，
为梯形
内一动点，
且
，若
，则
的最大值为 .
4
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题型六：极化恒等式
16．已知圆O 的半径为2，A，B 是圆O 上两点，且
，
是圆O 的一条直径，若动点P 满足
(
，
)，且
，则
的最小值为 .
17．如图，在
中，
是
的中点，
，
是
上的两个三等分点
，
，则
的值是 .
18．（2024·高三·上海松江·期末）已知点P 为椭圆
上任意一点，
为圆
的
任意一条直径，则
的取值范围是 ．
题型七：矩形大法
19．设向量
，
，
满足
，
，
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．1
20．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量
，
，
满足
，
，若
，则
的最大值是 ．
5
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题型八：平面向量范围与最值问题
21．设
都是单位向量，且
，则
的最小值为 ．
22．已知
，
，为平面向量，如果
，
，
，则
的最小值为
.
23．（2024·上海崇明·一模）已知不平行的两个向量
满足
，
．若对任意的
，都有
成立，则
的最小值等于 ．
题型九：等差线、等商线问题
24．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为120°，点C 在以
O 为圆心的圆弧
上运动，若
，其中x、
.则
的最大值为 ；
的取值
范围是 .
25．（2023·高一单元测试）如图，在
中，
，
，
，若延长CB 到点D，使
，当点E 在线段AB 上移动时，设
，当
取最大值时，
的值是 .
26．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在
中，点D 满足
，当点E 在射线AD（不含点A）
上移动时，若
，则
的最小值为 ．
6
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题型十：奔驰定理与向量四心
27．奔驰定理：已知
是
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设
为三角形
内一点，且满足：
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．在
中，
，
，
是
的外心，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
29．若
的三边为a，b，c，有
，则
是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
题型十一：阿波罗尼斯圆问题
30．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B 间的距离为3，动点
满足
7
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，则
的范围为 .
31．已知平面向量
满足
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量
，
，
满足
⊥
，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十二：平行四边形大法
33．（2023·浙江·模拟预测）已知
为单位向量，平面向量
，
满足
，
的取值范围是
____.
重难点突破：向量对角线定理
34．在平面四边形ABCD 中,点E、F 分别是边AD、BC 的中点，且AB=1，EF=
,CD=
，若
，则
的值为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
35．在四边形
中，点
分别是边
的中点，设
，
.若
，
，
，则（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
36．在四边形ABCD 中，点E，F 分别是AD，BC 的中点，设
，
，若
，
，
，则xy 的最小值为 ．
1．如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知平面向量
，
，则
在
上的投影向量为（ ）．
A．
B．
C．
D．
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3．已知向量
，
，若向量
在向量
上的投影向量
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．7
4．已知△ABC 是边长为1 的正三角形，
是BN 上一点且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．如图，在
中，点
，
分别在
，
边上，且
，
，点
为
中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
为单位向量，且
，向量满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．点P 在边长为1 的正三角形
的外接圆上，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在半径为2 的圆上任取三个不同的点
且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）如图，
是边长为的等边三角形，
，点
在以
为直径的半圆上（含端
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点），设
，则（ ）
A．
的值不可能大于
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为1
10．（多选题）若等边三角形
的边长为
为
的中点，且
交于点
，
则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．若点
为
的中点，则
C．
为定值
D．
的最小值为
11．（多选题）已知
为
的外心，
，则（ ）
A．
与
不共线
B．
与
垂直
C．
D．
12．（多选题）如图，已知
中，
，
，
是
的中点，动点
在以
为直径
的半圆弧上.则（ ）
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A．
B．
最小值为-2
C．
在
上的投影向量为
D．若
的最大值为
13．已知平面向量
满足：
，
，且对任意的单位向量满足
，则
的最大值为 .（用含
的式子表示）
14．在平行四边形
中，
，
，点
在边
上，满足
，则向量
在
向量
上的投影向量为 （请用
表示）；若
，点
，
分别为线段
，
上的动
点，满足
，则
的最小值为 ．
15．已知点O，A，B，C 均在同一平面内，
，
，
，当
取最大值时，
．
16．在四边形
中，
，
，
，
，
，
分别为线段
、
的中点，若设
，
，则
可用
，
表示为 ；
.
17．如图，在平面四边形
中，
，则
.
12
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