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3.2 利用导数研究函数的单调性
1
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2
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3
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4
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考点一 函数与导函数图像的关系
【例1】（2024 内蒙古包头）
的图象如图所示，则
的图象最有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知，当
或
时，
；当
时，
.
所以，函数
的增区间为
和
，减区间为
，所以，函数
的图象为C 选项中的图象.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024 云南）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：因为在
和
上
，在
和
上
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
，
上单调递减，
观察各选项知，只有D 符合题意.
解法二：由题图知，
在
的左侧大于、右侧小于，
所以函数
在
处取得极大值，观察各选项知，只有D 符合题意.
故选：D.
2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图是函数
的导函数
的图象，若
，则
的
图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
的图象可知，当
时，
，则在区间
上，函数
上各点处切线
的斜率在区间
内，
对于A，在区间
上，函数
上各点处切线的斜率均小于0，故A 不正确；
对于B，在区间
上，函数
上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B 不正确；
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对于C，在区间
上，函数
上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C 不正确；
对于D，由
的图象可知，当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以函数
上各点处切线的斜率在区间
内，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上
单调递增，而函数
的图象均符合这些性质，故D 正确.
故选：D
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的导函数），下面
四个图象中可能是
图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
的图象知，当
时，
，故
，
单调递增；
当
时，
，故
，当
，
，故
，
等号仅有可能在x＝0 处取得，
所以
时，
单调递减；
当
时，
，故
，
单调递增，结合选项只有C 符合.
故选：C.
考点二 无参函数单调区间
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【例2】（2024 广东东莞）（1）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024 重庆·阶段练习）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）（2024 北京）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）D（2）C（3）A
【解析】（1）
的定义域为
，
，
令
，可得
，解得：
.故函数
的单调递增区间是
.
故选：D.
（2）因为
，
所以令
可得
，解得
，所以函数的单调递增区间为
.故选：C
（3）由
得：
，即
的定义域为
；
，
当
时，
；当
时，
；
的单调递增区间为
．故选：A．
【一隅三反】
1．（2024 广东东莞）函数
的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，令
可得
，即
，所以当
时，函数单调递减.
8
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故选：A
2．（2024 重庆长寿）函数
的单调递减区间为（ ）
A．（0，2）
B．（2，3）
C．（1，3）
D．（3，+∞）
【答案】B
【解析】
的定义域为
,
,
令
，解得：
.所以函数
的单调递减区间为（2，3）.
故选：B.
3．（2024·浙江·模拟预测）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
且
，
令
，解得
，所以
的单调递增区间为
.故选：D
考点三 某区间上单调求参
【例3-1】（2024 江西南昌）已知函数
在区间
上单调递减，则实数m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，令
，可得
，
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因为
在区间
上单调递减，所以
，
所以
，解得
．故选：B．
【例3-2】（2024 江苏南京）已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的最小值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】因为函数在
上单调递增，所以
对
恒成立，
即
恒成立，设
，
，
当
时，
，所以
，则
，所以实数a 的最小值为.故选：B.
【例3-3】（2024 海南海口）已知函数
在
上为减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上为减函数，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，令
，
所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
故
，所以
的取值范围是
.
故选：D.
【例3-4】（2024 浙江）已知函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】由题意，
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
因为
在
上单调递增，所以
，所以在
时，
，
所以
.故选：B
【一隅三反】
1．（2024·广东茂名·一模）（多选）若
是区间
上的单调函数，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】CD
【解析】由题意，
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递减，
若函数
在区间
上单调，
则
或
或
，解得
或
或
，
即
或
.
故选：CD.
2．（2024 福建南平）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
因为
在区间
上单调递减，
所以
，即
，则
在
上恒成立，
因为
在
上单调递减，所以
，故
.
故选：A.
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3．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
的单调递减区间为
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，又
的单调递减区间是
，所以
和1 是方程
的两个根，代入得
.经检验满足题意
故选：B.
4．（2024 安徽宿州）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
，可得
，
因为函数
在区间
上单调递增，可得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，可得
，令
，可得
当
时，
，所以
单调递增，又因为
，
所以
，所以
在
上单调递减，所以
，即实数
的取值范围是
.
故选：C.
考点四 某区间存在单调求参
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【例4-1】（2024 福建泉州·阶段练习）若函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上存在单调递增区间，
所以存在
，使
成立，即存在
，使
成立，
令
，
， 变形得
，因为
，所以
，
所以当
，即
时，
，所以
，故选：D．
【例4-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间
上，函数
存在单调递增区间，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，求导得
，
依题意，不等式
在
上有解，即
在
上有解，
令
，
，求导得
，
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，求导得
，
由函数
在
上存在单调递减区间，得
在
上有解，
即不等式
在
上有解，
而函数
在
上单调递减，当
时，
，则
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
2．（2024 重庆江北·期中）若函数
在区间
内存在单调递减区间，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，由题意可知：存在
，使得
，整理得
，
且
在
上单调递减，则
，可得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
3．（2024 江西萍乡）已知函数
在区间
上存在单调递增区间，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】因为
，则
，
因为函数
在区间
上存在单调递增区间，则存在
，使得
，
即
，可得
，设
，
因为函数
、
在
上均为增函数，则函数
在
上为增函数，
当
时，
，故
.
故选：B.
4．（2024 江苏常州）若函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围为是 .
【答案】
【解析】
，
因为函数
存在单调递减区间，所以存在
，使得
小于零，
所以导函数的判别式
，解得
或
，所以实数
的取值范围为是
，
故答案为：
.
考点五 某区间上不单调求参
【例5-1】（23-24 高三上·福建三明·期中）已知函数
，则
在
上不单调的一个充
分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，
因为
在
上不单调，
在
上有变号零点，即
在
上有变号零点，
当
时，
，不成立；
当
时，只需
，即
，解得
或
，
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所以
在
上不单调的充要条件是
或
，所以
在
上不单调的一个充分不必要条件
是
，故选：B
【例5-2】（2024 江苏苏州·期末）（多选）若函数
在区间
上不单调，则实数
的
值可能是（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【答案】BC
【解析】
的定义域为
，所以
，A 错误；
由题意可得
，令
解得
，所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
因为
在区间
上不单调，所以
，即
，
选项B：当
时，
，正确；选项C：当
时，
，
所以
，正确；选项D：当
时，
，错误；故选：BC
【一隅三反】
1．（2024 四川绵阳）已知函数
，则
在
上不单调的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
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若
在
上不单调，令
，
对称轴方程为
，则函数
与
轴在
上有交点．当
时，显然不成立；
当
时，有
解得
或
．
四个选项中的范围，只有
为
的真子集，
∴
在
上不单调的一个充分不必要条件是
.
故选：C．
2．（2024 山东德州）若函数
在(0，1)上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
若
在
上不单调，则
在
上有变号零点，
又
单调递增，
，即
，解得
．
的取值范围是
．
故选：
．
3．（2024 北京）已知函数
．若
在
内不单调，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
【解析】由
，得
，
当
在
内为减函数时，则
在
内恒成立，
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所以
在
内恒成立，
当
在
内为增函数时，则
在
内恒成立，
所以
在
内恒成立，
令
，因为
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以
在
内的值域为
，所以
或
，
所以函数
在
内单调时，a 的取值范围是
，
故
在
上不单调时，实数a 的取值范围是
．
故答案为：
．
考点六 含参函数的单调性分类讨论
【例6-1】（2024·福建漳州·一模）已知函数
，
且
．
(1)证明：曲线
在点
处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
则
，
，
所以
在
处的切线方程为:
，
当
时，
，故
，
所以曲线
在点
处切线的方程过坐标原点.
（2）由（1）得
，
当
时，
，则
，故
单调递减；
当
时，令
则
，
18
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当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
【例6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】函数
的定义域为
，
求导得
，
①当
，即
时，由
，得
，由
，得
，
因此
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
③当
，即
时，
恒成立，因此
在
上单调递增；
④当
，即
时，由
，得
或
，由
，
得
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
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【例6-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知
，讨论
的单调性.
【答案】当
时，
在R 上单调递增；当
或
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
【解析】由题得
，令
得
，
①若
，即当
时，
恒成立，
在R 上单调递增；
②若
，即当
或
时，可得
的两根分别为
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，
在R 上单增；
当
或
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
【一隅三反】
1．（2024 浙江杭州·期末）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
时，直线
为曲线
的切线，求实数
的值．
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【答案】(1)答案见解析
(2)
或
【解析】（1）
．
令
，得
或
．
若
，则当
时，
；当
时，
．
故
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
时，
，
在
上单调递增；
若
，则当
时，
；当
时，
．
故
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
时，
在
单调递增，在
单调递减．
（2）当
时，
设切点
，则切线方程为
因为切线过原点， 故
， 即
，
解得
或
所以
或
.
2．（2024 安徽）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线；
(2)讨论
的单调性；
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【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，函数
，则
，切点坐标为
，
，则曲线
在点
处的切线斜率为
，
所求切线方程为
，即
.
（2）
，函数定义域为R，
，
①
，
解得
或
，
解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
②
，
解得
或
，
解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
③
，
恒成立，
在
上单调递增.
综上，当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增.
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
，讨论函数
的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】依题意知函数定义域为
，
当
时，
，
，
∴当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
单调递减；
22
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当
时，令
，得
，
，
（i）当
，
时，即
，而
，
则
时
，
时
，
在
，
上均为增函数；在
上为减函数；
（ii）当
，
，即
时，
，
在
上为增函数；
(iii)当
，
，即
时，
则
时,
，
时,
，
在
，
上均为增函数；在
上为减函数.
综上：当
时，
增区间为
，
，减区间为
；
当
时，
增区间为
；
当
时，
增区间为
和
，减区间为
；
当
时，
增区间为
，减区间为
.
4．（2024 湖南）已知
，讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】由题意知，函数
的定义域为
，且
①当
时，因为
，所以
，所以
.
23
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所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
②当
时，由
，解得
；由
，解得
或
.
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
③当
时，
（当且仅当
时，取等号）恒成立，所以
在
上单调递增.
④当
时，由
，解得
；由
，解得
或
.
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
5．（2024 广东湛江）设函数
（
），讨论
的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】由题意可得
的定义域为
，
，
设
，令
，
，
①当
时，
，此时
恒成立，
在
上单调递增；
②当
时，
，设
的两根为
，
由
，
可知
的两根都小于0，
所以
在
上大于0，所以
在
上单调递增；
③当
时，
，由
，解得
，
，
由
，
可知
的两根都大于0，
所以当
时，
，
，
在
，
上单调递增，
24
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当
时，
，
，
在
上单调递减.
综述所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
考点七 单调性的应用之比较大小
【例6-1】（2024·云南贵州·二模）已知
，则
的大关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
当
时，
，
在
上递增；
当
时，
，
在
上递减,故
.
则
，即
；由
可知
，故
.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以令
，则
，
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减．
又
，所以
，即
．故选：D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，若
，
，
，
则（ ）
25
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
的定义域为
，
又
，所以
是偶函数，
又
，
令
，则
恒成立，所以当
时，
，即
，
又
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
构造函数
，则
，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，又
，
所以
，所以
，所以
，所以
.故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）若
，
，
，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，则
，
，
，
由
，令
得
，令
得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减．
因为
，所以
，所以
；
因为
，所以
，所以
；
令
，且
，则
，
26
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令
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
，所以
，
因为
，且
，所以
，所以
.
故选：B
考点八 单调性的应用之解不等式
【例8-1】（2024·北京延庆·一模）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
单调递增，且
，
，
所以存在唯一
，使得
，所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，且
，所以由
可得
，故选：A
【例8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数
.若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以
，
27
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所以
是
上的增函数，所以若
则
，解得
.
故选：D
【例8-3】（2024·湖南邵阳·二模）已知函数
的定义域为
为
的导函数.若
，且
在
上恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设函数
，可得
，
所以函数
在
上单调递减，
由
，可得
，即
，
可得
，所以
，即不等式
的解集为
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知
是定义在
上的偶函数，且
也是偶函数，若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
是定义在
上的偶函数，
，所以
，则
，
又因为函数
也是偶函数，所以
，得
，
因为
为减函数，
为增函数，所以
为减函数，
28
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令
，得
，
所以
时，
，
在
上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数
在
上单调递增，
所以
，即
，即
，得
或
，
所以不等式的解集为
.
故选：D
2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
，则“
”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【解析】因为
，则
，
令
，则
，所以
在
上单调递增.
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
29
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C．
D．
【答案】D
【解析】依题意令
，则
，
因为
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
所以
，
，故A 不正确；
所以
，即
，即
，故B 不正确；
又
，即
，即
，故C 错误；
因为
，即
，即
，故D 正确；
故选：D.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在
上的函数
的导函数为
，且有
，且对任意
都有
，则使得
成立的
的取值范围
是 .
【答案】
【解析】由
知
是奇函数，
，
设
，则
，
在
上单调递增，由
得
，
30
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即
，
，得
的取值范围是
.
故答案为：
5．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，
又
，所以
在
上单调递增，
不等式
，即
，
等价于
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
一.单选题
1．（2023 春·四川乐山）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
，
【答案】A
【解析】
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递减；
的减区间是
；故选：A.
2．（2023 春·吉林长春）若函数
在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
31
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【解析】
，则
由函数
在区间
上是增函数，可得
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，又由
，可得
，则
故选：D
3．（2024 广东深圳·期末）
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象最有
可能是下列选项中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知：当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，只有选项C 符合，
故选：C
4．2024 广西河池·期末）已知函数
在区间
上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
.
①当
时，函数
单调递增，不合题意；
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②当
时，函数
的极值点为
，
若函数
在区间
不单调，必有
，解得
；
综上所述：实数a 的取值范围为
.
故选：B.
5．（2024·宁夏·一模）设定义在R 上的函数
满足对
都有
，且当
时，
，若
，
，
，则a、b、c 的大小关系是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
即
为
的一个周期，所以
，
令
，
由已知可得
时，
单调递增，
所以
，即C 正确 .
故选：C
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，
也是定义在
上的奇函数，
则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，故
，
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故
，
因为
是定义在
上的奇函数，故
，
故
，故
，故
，
此时
，故
为
上的减函数，
而
等价于
，
即
即
，故
或
故选：A .
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，
因为函数
在
上单调递减，所以
在
上恒成立．
设
，则
在
上恒成立，
利用二次函数的图象与性质及数形结合思想，
可得
或
，
解得
，所以实数a 的取值范围为
故选：B．
34
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8．（2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c 均为正数，且
，
，
，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，可得
，
由
，可得
，
由
可得
，
令
，
，故
在
上单调递增，
令
，
，故
在
上单调递增，
令
，
，故
在
上单调递减，
令
，则
，
则
时，
，
，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，
，
，
，
，
，
为函数
与函数
的交点横坐标，
为函数
与函数
的交点横坐标，
为函数
与函数
的交点横坐标，结合函数图象可得
.
故选：A.
35
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二．多选题
9．（2023 春·河南）函数
的图象如图所示，则以下结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
的图象可知
在
和
上单调递增，在
上单调递减，在
处取得极
大值，在
处取得极小值，
又
，所以
和
为方程
的两根且
；
所以
，
，
所以
，
，
，
，故A 错误，B 正确；
所以
，
，故C 正确，D 错误.
故选：BC
10．（2024 春重庆）=已知函数
在
上有三个单调区间，则实数
的取值可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
36
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【答案】BD
【解析】由题意可知函数在
上有三个单调区间，等价
在
有两个不同的根.
，令
，则
，
即
在
有唯不为1 的一根，则有
有唯一不为1 的根，
令
，则
，故当
单调递增，
当
单调递减，且
即
，故选：BD
11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在
上的奇函数
连续，函数
的导函数为
．当
时，
，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．
在
上为减函数
B．当
时，
C．
D．
在
上有且只有1 个零点
【答案】BCD
【解析】由
，可得
．
令
，
则当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
可得
，所以
，所以C 正确；
因为
，所以当
时，
，
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又因为
，所以当
时，
，所以B 正确；
由
是定义在
上的奇函数，故当
时，
，
又因为
，所以
在
上有且只有1 个零点，所以D 正确．
因为
的单调性无法判断，所以A 错误．
故选：BCD.
三．填空题
12．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在
上的可导函数
满足
，若
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令
，则
，所以函数
在
上是减函数，
由
，得
，即
，
所以
，解得
，所以
的取值范围为
.答案为：
.
13．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，则
m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知
，
因为
在区间
上不单调，
即
在区间
有零点，
又
，即为
的零点
在区间
内，
所以
解得
，即m 的取值范围是
．
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故答案为：
14．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数
，
，若
，
则实数
的取值范围为______．
【答案】
【解析】由
，
函数
是定义在
上的偶函数，又
，
令
且
，则
，故
在
上递增，
所以
，即
在
上恒成立，所以
在
上恒成立，
所以
在
上递增，则
上递减，
，则
，
，即
，即
，
在
上单调递增，
，即
，解得
．故答案为：
．
四．解答题
15．（2024 福建）已知函数
.
（1）
时，求函数
的单调递增区间；
（2）若函数
在区间
上不单调，且
时，不等式
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）当
时，
，定义域为R，
，
令
，得
，或
，
39
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函数
的单调递增区间是
；
（2）
，
令
，得
，或
，
∵函数
在区间
上不单调，
，即
，
又∵在
上，
，在
上，
，
在
上的最大值为
，
∴当
时，不等式
恒成立，等价于
，
，
，
，解得
，
综上所述，a 的取值范围是
.
16．（2024·山东青岛·一模）已知函数
．
(1)若
，曲线
在点
处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，
解得
又因为
，所以切线方程为：
，即
（2）
的定义域为
，
当
时，得
恒成立，
在
单调递增
40
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当
时，令
，
（i）当
即
时，
恒成立，
在
单调递增
（ii）当
即
时，
由
得，
或
，
由
得，
所以
在
，
单调递增，
在
单调递减
综上：当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
，
单调递增；
在
单调递减
17．（23-24 高三下·河北保定·开学考试）已知
.
(1)当
时，求
的零点个数；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)2 个零点
(2)答案见详解
【解析】（1）
，
当
时，
，令
得
，
41
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当
，
，
单调递减；
当
，
，
单调递增；
，若
能取到，则
，
，
由零点存在定理可知，
在
和
各有一个零点，所以
的零点个数为2；
（2）因为
，
当
时，
，故
的正负由
的正负决定，
时，
，
单调递减，
，
，
单调递增；
当
时，令
，令
得
，
若
，
时，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增；
若
，
时，
当
时，
时，
在
单调递增；
当
时，
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
当
时，
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
时，
单调递减，
，
单调递增；
42
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当
时，
时，
在
单调递增；
当
时，
时，
单调递增，
时，
单调递减；
当
时，
时，
单调递增，
时，
单调递减.
18．（2023·全国·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，
，
要证
，即证
，即证
恒成立，
43
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令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
方法二：
令
，则
，
由于
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，则
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以要证
，即证
，即证
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
44
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所以当
时，
恒成立，证毕.
19．对下面函数的单调性进行分类讨论
（1）（2024·广西）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
，
由函数
的定义域为
，有
，
①当
时，
，此时函数
单调递增；
②当
时，令
可得
，
可得函数
的增区间为
，减区间为
；
（2）．（2024·安徽）已知函数
，讨论函数
的单调性；
【答案】见解析
【解析】
若
时，
，
在
上单调递增；
若
时，
，当
或
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
若
时，
，当
或
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数.
综上，
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（3）（2024 福建）已知函数
，讨论f（x）的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
45
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当
时，
，∴
在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当
时，令
，解得：
∴当
时，
；当
时，
∴f（x）在（0，
）上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当
时，f（x）在
上单调递增，在
上单调递减.
（4）（2024·福建 ）设函数
，
，讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由
，得
，
令
，解得
或
，
当
时，
，
和
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
当
时，
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，
，
和
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减；
综上所述：
当
时，
的单调递增区间为
和
，
的单调递减区间为
；
当
时，
在
上单调递增，无减区间；
46
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当
时，
的单调递增区间为
和
，
的单调递减区间为
；
（5）（2024 湖北）已知函数
，
，讨论函数
的单调性；
【答案】见解析
【解析】
，
，
令
，
，
若
，即
，则
，
当
时，
，
单调递增，
若
，即
，则
，仅当
时，等号成立，
当
时，
，
单调递增.
若
，即
，则
有两个零点
，
，
由
，
得
，
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增.
综上所述，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，
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在
上单调递减.
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