2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号.考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷
类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑
：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写
再写
再写
再写
再写
再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 设集合
2
4
A
x
x
，
2,3,4,5
B
，则A
B
（ ）
A.
2
B.
2,3
C.
3,4
D.
2,3,4
【. 案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求A
B
.
【详解】由题设有
2,3
A
B
，
故选：B .
2. 已知
2
i
z
，则
i
z z
（ ）
A. 6
2i
B. 4
2i
C. 6
2i
D. 4
2i
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为
2
z
i
，故
2
z
i
，故
2
2
2
6
2
z z
i
i
i
i
故选：C.
3. 已知圆锥的底面半径为2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 2
B. 2 2
C. 4
D. 4 2
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则
2
2
l
，解得
2 2
l
.
故选：B.
4. 下列区间中，函数
7sin
6
f
x
x
单调递增的区间是（ ）
A.
0, 2
B.
,
2
π π
C.
3
, 2
D.
3 ,2
2
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式
2
2
2
6
2
k
x
k
k
Z
，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数
sin
y
x
的单调递增区间为
2
2
,2
2
k
k
k
Z
，
对于函数
7sin
6
f
x
x
，由
2
2
2
6
2
k
x
k
k
Z
，
解得
2
2
2
3
3
k
x
k
k
Z
，
取
0
k
，可得函数
f x 的一个单调递增区间为
2
,
3
3
，
则
2
0,
,
2
3
3
，
2
,
,
2
3
3
，A选项满足条件，B不满足条件；
取
1
k
，可得函数
f x 的一个单调递增区间为
5
8
,
3
3
，
3
2
,
,
2
3
3
且
3
5
8
,
,
2
3
3
，
3
5
8
,2
,
2
3
3
，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
sin
y
A
ωx
φ
形式，再求
sin
y
A
ωx
φ
的单调区间，只需把
x
看作一个整体代入
sin
y
x
的相应单调区间内即可，注意
要先把化为正数．
5. 已知
1F ，
2
F 是椭圆C ：
2
2
1
9
4
x
y
的两个焦点，点M 在C 上，则
1
2
MF
MF
的最大值为（ ）
A. 13
B. 12
C. 9
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题通过利用椭圆定义得到
1
2
2
6
MF
MF
a
，借助基本不等式
2
1
2
1
2
2
MF
MF
MF
MF
即可得到答案．
【详解】由题，
2
2
9,
4
a
b
，则
1
2
2
6
MF
MF
a
，
所以
2
1
2
1
2
9
2
MF
MF
MF
MF
（当且仅当
1
2
3
MF
MF
时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．
6. 若tan
2
，则
sin
1 sin 2
sin
cos
（ ）
A.
6
5
B.
2
5
C.
2
5
D.
6
5
【答案】C
【解析】
【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan
2
即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
2
2
sin
sin
cos
2sin
cos
sin
1 sin 2
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
sin
sin
cos
tan
tan
4
2
2
sin
cos
1
tan
1 4
5
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用tan
2
，求出sin ,cos
的值，可能还需要分象限讨论其正负，通
过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7. 若过点
,a b 可以作曲线
ex
y
的两条切线，则（ ）
A. eb
a
B. ea
b
C. 0
eb
a
D. 0
ea
b
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果
【详解】在曲线
x
y
e
上任取一点
,
t
P t e
，对函数
x
y
e
求导得
ex
y
，
所以，曲线
x
y
e
在点P 处的切线方程为
t
t
y
e
e
x
t
，即
1
t
t
y
e x
t e
，
由题意可知，点
,a b 在直线
1
t
t
y
e x
t e
上，可得
1
1
t
t
t
b
ae
t e
a
t e
，
令
1
t
f t
a
t e
，则
t
f
t
a
t e
.
当t
a
时，
0
f
t
，此时函数
f t 单调递增，
当t
a
时，
0
f
t
，此时函数
f t 单调递减，
所以，
max
a
f t
f a
e
，
由题意可知，直线y
b
与曲线
y
f t
的图象有两个交点，则
max
a
b
f t
e
，
当
1
t
a
时，
0
f t
，当
1
t
a
时，
0
f t
，作出函数
f t 的图象如下图所示：
由图可知，当0
a
b
e
时，直线y
b
与曲线
y
f t
的图象有两个交点.
故选：D.
【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球
的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】
1
1
5
6
1
( )
(
)
(
)
(
)
6
6
36
36
6
P
P
P
P
甲
，
乙
，
丙
，
丁
，
，
1
(
)
0
( ) (
)
(
)
( ) (
)
36
P
P
P
P
P
P
甲丙
甲
丙，
甲丁
甲
丁，
1
(
)
(
) (
)
(
)
0
(
) (
)
36
P
P
P
P
P
P
乙丙
乙
丙，
丙丁
丁
丙，
故选：B
【点睛】判断事件
,
A B 是否独立，先计算对应概率，再判断
( ) ( )
(
)
P A P B
P AB
是否成立
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据
1x ，
2x ，…，
nx ，由这组数据得到新样本数据
1y ，
2y ，…，
ny ，其中
i
i
y
x
c
(
1,2,
, ),
i
n c
为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有
( )
( )
E y
E x
c
、
( )
( )
D y
D x
，即可判断正误；根据中位数
、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A：
( )
(
)
( )
E y
E x
c
E x
c
且
0
c
，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为
ix ，则第二组的中位数为
i
i
y
x
c
，显然不相同，错误；
C：
( )
( )
( )
( )
D y
D x
D c
D x
，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为
max
min
x
x
，则第二组的极差为
max
min
max
min
max
min
(
)
(
)
y
y
x
c
x
c
x
x
，故极差相同，正确；
故选：CD
10. 已知O 为坐标原点，点
1 cos ,sin
P
，
2 cos
, sin
P
，
3 cos
,sin
P
，
1,0
A
，则（ ）
A
.
1
2
OP
OP
B.
1
2
AP
AP
C.
3
1
2
OA OP
OP OP
D.
1
2
3
OA OP
OP OP
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B写出
1
OP
，
2
OP
、
1
AP
，
2
AP
的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量
的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：
1
(cos
,sin
)
OP
，
2
(cos
, sin
)
OP
，所以
2
2
1
|
|
cos
sin
1
OP
，
2
2
2
|
|
(cos
)
( sin
)
1
OP
，故
1
2
|
| |
|
OP
OP
，正确；
B：
1
(cos
1,sin
)
AP
，
2
(cos
1, sin
)
AP
，所以
2
2
2
2
2
1
|
|
(cos
1)
sin
cos
2cos
1 sin
2(1 cos
)
4sin
2 | sin
|
2
2
AP
，同理
2
2
2
|
|
(cos
1)
sin
2 | sin
|
2
AP
，故
1
2
|
|,|
|
AP
AP
不一定相等，错误；
C：由题意得：
3
1 cos(
)
0 sin(
)
cos(
)
OA OP
，
1
2
cos
cos
sin
( sin
)
cos(
)
OP OP
，正确；
D：由题意得：
1
1 cos
0 sin
cos
OA OP
，
2
3
cos
cos(
)
( sin
) sin(
)
OP OP
2
2
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos2
sin
sin 2
cos(
2 )
，错误；
故选：AC
11. 已知点P 在圆
2
2
5
5
16
x
y
上，点
4,0
A
、
0,2
B
，则（ ）
A. 点P 到直线AB 的距离小于10
B. 点P 到直线AB 的距离大于2
C. 当
PBA
最小时，
3 2
PB
D. 当
PBA
最大时，
3 2
PB
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB选项的正
误；分析可知，当
PBA
最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆
2
2
5
5
16
x
y
的圆心为
5,5
M
，半径为4 ，
直线AB 的方程为
1
4
2
x
y
，即
2
4
0
x
y
，
圆心M 到直线AB 的距离为
2
2
5
2 5
4
11
11 5
4
5
5
1
2
，
所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为
11 5
4
2
5
，最大值为
11 5
4
10
5
，A选项正确，B选项错
误；
如下图所示：
当
PBA
最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM
PB
，
2
2
0
5
2
5
34
BM
，
4
MP
，由勾股定理可得
2
2
3 2
BP
BM
MP
，CD选
项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r
的
圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直
线l 的距离的取值范围是
,
d
r d
r
.
12. 在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
AB
AA
，点P 满足
1
BP
BC
BB
，其中
0,1
，
0,1
，则（ ）
A. 当
1
时，
1
AB P
△
的周长为定值
B. 当
1
时，三棱锥
1
P
A BC
的体积为定值
C. 当
1
2
时，有且仅有一个点P ，使得
1A P
BP
D. 当
1
2
时，有且仅有一个点P ，使得
1A B 平面
1
AB P
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量
的
平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．
【详解】
易知，点P 在矩形
1
1
BCC B 内部（含边界）．
对于A，当
1
时，
1
1
=
BP
BC
BB
BC
CC
，即此时P线段
1
CC ，
1
AB P
△
周长不是定值，故A
错误；
对于B，当
1
时，
1
1
1
1
=
BP
BC
BB
BB
B C
，故此时P 点轨迹为线段
1
1
B C ，而
1
1//
B C
BC ，
1
1//
B C
平面
1A BC ，则有P 到平面
1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当
1
2
时，
1
1
2
BP
BC
BB
，取BC ，
1
1
B C 中点分别为Q ，H ，则BP
BQ
QH
，所
以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，
1
3 ,0,1
2
A
，
0,0
P
,
，
1
0,
,0
2
B
，则
1
3 ,0,
1
2
A P
，
1
0,
,
2
BP
，
1
0
，所以
0
或
1
．故
,
H Q 均满足，故C错误；
对于D，当
1
2
时，
1
1
2
BP
BC
BB
，取
1
BB ，
1
CC 中点为
,
M N ．BP
BM
MN
，所以P 点
轨迹为线段MN ．设
0
1
0,
,
2
P
y
，因为
3 0,0
2
A
，
，所以
0
3
1
,
,
2
2
AP
y
，
1
3 1
,
, 1
2
2
A B
，所以
0
0
3
1
1
1
0
4
2
2
2
y
y
，此时P 与N 重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数
3
2
2
x
x
x
a
f x
是偶函数，则a ______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.
【详解】因为
3
2
2
x
x
x
a
f x
，故
3
2
2
x
x
f
x
x
a
，
因为
f x 为偶函数，故
f
x
f x
，
时
3
3
2
2
2
2
x
x
x
x
x
a
x
a
，整理得到
1
2 +2
=0
x
x
a
，
故
1
a ，
故答案为：1
14. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：
2
2
y
px
(
0
p
)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，
Q 为x 轴上一点，且PQ
OP
，若
6
FQ
，则C 的准线方程为______.
【答案】
3
2
x
【解析】
【分析】先用坐标表示P
Q
，
，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.
【详解】不妨设
(
, )
(6
,0),
(6,
)
2
2
p
p
P
p
Q
PQ
p
因为PQ
OP
，所以
2
6
0
0
3
2
p
p
p
p
C 的准线方程为
3
2
x
故答案为：
3
2
x
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15. 函数
2
1
2ln
f x
x
x
的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知
( )
f x 定义域为(0,
)
，讨论
1
0
2
x
、
1
1
2
x
、
1
x
，并结合导数研究的单调
性，即可求
( )
f x 最小值.
【详解】由题设知：
( ) | 2
1| 2ln
f x
x
x
定义域为(0,
)
，
∴当
1
0
2
x
时，
( )
1 2
2ln
f x
x
x
，此时
( )
f x 单调递减；
当
1
1
2
x
时，
( )
2
1 2ln
f x
x
x
，有
2
( )
2
0
f
x
x
，此时
( )
f x 单调递减；
当
1
x
时，
( )
2
1 2ln
f x
x
x
，有
2
( )
2
0
f
x
x
，此时
( )
f x 单调递增；
又
( )
f x 在各分段的界点处连续，
∴综上有：0
1
x
时，
( )
f x 单调递减，
1
x 时，
( )
f x 单调递增；
∴
( )
(1)
1
f x
f
故答案为：1.
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
20dm 12dm
的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm
，20dm 6dm
两种规格的图形，它们的面
积之和
2
1
240dm
S
，对折2次共可以得到5dm 12dm
，10dm 6dm
，20dm 3dm
三种规格的图形，
它们的面积之和
2
2
180dm
S
，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对
折n 次，那么
1
n
k
k
S
______
2
dm .
【答案】 (1). 5 (2).
4
15 3
720
2n
n
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得
n
S ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）对折4 次可得到如下规格：
5
12
4 dm
dm
，
5
6
2 dm
dm
，5
3
dm
dm
，
3
10
2
dm
dm
，
3
20
4
dm
dm
，共5 种；
（2）由题意可得
1
2 120
S
，
2
3 60
S
，
3
4 30
S
，
4
5 15
S
，，
1
120
1
2
n
n
n
S
，
设
0
1
2
1
120
1
120 2
120 3
120 4
2
2
2
2n
n
S
，
则
1
2
1
120
1
1
120 2
120 3
120
2
2
2
2
2
n
n
n
n
S
，
两式作差得
1
2
1
1
60 1
120
1
120
1
1
1
1
1
2
240 120
240
1
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
S
1
120
1
120
3
120
360
360
2
2
2
n
n
n
n
n
，
因此，
4
240
3
15
3
720
720
2
2
n
n
n
n
S
.
故答案为：5 ；
4
15
3
720
2n
n
.
【点睛】方法点睛：数列求和
的
常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于
n
n
a b
结构，其中
na
是等差数列，
nb
是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于
n
n
a
b
结构，利用分组求和法；
（4）对于
1
1
n
n
a a
结构，其中
na
是等差数列，公差为
0
d d
，则
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a a
d
a
a
，利用裂
项相消法求和.
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出
写出
写出
写出
写出
写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17. 已知数列
na
满足
1
1
a
，
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数
（1）记
2
n
n
b
a
，写出
1b ，
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
（2）求
na
的前20项和.
【答案】（1）
1
2
2,
5
b
b
；（2）300 .
【解析】
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得
1
3
n
n
b
b
，从而可求
nb
的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得
na
的前20 项和为
20
S
可化为
20
1
2
9
10
2
10
S
b
b
b
b
，利用
（1）的结果可求
20
S
.
【详解】（1）由题设可得
1
2
1
2
4
3
2
1
2,
1
2 1
5
b
a
a
b
a
a
a
又
2
2
2
1
1
k
k
a
a
，
2
1
2
2
k
k
a
a
，
故
2
2
2
3
k
k
a
a
即
1
3
n
n
b
b
即
1
3
n
n
b
b
所以
nb
为等差数列，故
2
1
3
3
1
nb
n
n
.
（2）设
na
的前20 项和为
20
S
，则
20
1
2
3
20
S
a
a
a
a
，
因为
1
2
3
4
19
20
1,
1,
,
1
a
a
a
a
a
a
，
所以
20
2
4
18
20
2
10
S
a
a
a
a
1
2
9
10
9 10
2
10
2
10 2
3
10
300
2
b
b
b
b
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项
的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并
从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一
个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B
类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回
答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）B 类．
【解析】
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1
）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0 ，20 ，100．
0
1 0.8
0.2
P X
；
20
0.8 1 0.6
0.32
P X
；
100
0.8 0.6
0.48
P X
．
所以X 的分布列为
（2）由（1）知，
0 0.2
20 0.32 100 0.48
54.4
E X
．
若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0 ，80 ，100 ．
0
1 0.6
0.4
P Y
；
80
0.6 1 0.8
0.12
P Y
；
100
0.8 0.6
0.48
P X
．
所以
0 0.4
80 0.12 100 0.48
57.6
E Y
．
因为54.4
57.6
，所以小明应选择先回答B 类问题．
19. 记
ABC
是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知
2
b
ac
，点D 在边AC 上，
sin
sin
BD
ABC
a
C
.
（1）证明：BD
b
；
（2）若
2
AD
DC
，求cos
ABC
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
7
cos
12
ABC
.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有
ac
BD
b
，结合已知即可证结论.
（2）由题设
2
,
,
3
3
b
b
BD
b AD
DC
，应用余弦定理求cos
ADB
、cos
CDB
，又
ADB
CDB
，可得
4
2
2
2
11
2
3
b
b
a
a
，结合已知及余弦定理即可求cos
ABC
.
【详解】
（1）由题设，
sin
sin
a
C
BD
ABC
，由正弦定理知：sin
sin
c
b
C
ABC
，即
sin
sin
C
c
ABC
b
，
∴
ac
BD
b
，又
2
b
ac
，
∴BD
b
，得证.
（2）由题意知：
2
,
,
3
3
b
b
BD
b AD
DC
，
∴
2
2
2
2
2
2
4
13
9
9
cos
2
4
2
3
3
b
b
b
c
c
ADB
b
b
b
，同理
2
2
2
2
2
2
10
9
9
cos
2
2
3
3
b
b
b
a
a
CDB
b
b
b
，
∵ADB
CDB
，
∴
2
2
2
2
2
2
13
10
9
9
4
2
3
3
b
b
c
a
b
b
，整理得
2
2
2
11
2
3
b
a
c
，又
2
b
ac
，
∴
4
2
2
2
11
2
3
b
b
a
a
，整理得
4
2
2
4
6
11
3
0
a
a b
b
，解得
2
2
1
3
a
b
或
2
2
3
2
a
b
，
由余弦定理知：
2
2
2
2
2
4
cos
2
3
2
a
c
b
a
ABC
ac
b
，
当
2
2
1
3
a
b
时，
7
cos
1
6
ABC
不合题意；当
2
2
3
2
a
b
时，
7
cos
12
ABC
；
综上，
7
cos
12
ABC
.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB
CDB
得到, ,
a b c 的数量关系，结合已知条
件及余弦定理求cos
ABC
.
20. 如图，在三棱锥A
BCD
中，平面ABD 平面BCD ，AB
AD
，O 为BD的中点.
（1）证明：OA
CD
；
（2）若OCD
是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，
2
DE
EA
，且二面角E
BC
D
的大小为
45，求三棱锥A
BCD
的体积.
【答案】(1)详见解析(2)
3
6
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面BCD =BD ,平面ABD⊥平面BCD，AO 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为CD 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, BD
CD
D
,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，FM
EF
F
,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF
则
EMF
为二面角E-BC-D的平面角,
4
EMF
因为BO
OD
, OCD
为正三角形,所以OCD
为直角三角形
因为
2
BE
ED
,
1
1
1
2
(1
)
2
2
3
3
FM
BF
从而EF=FM=
2
1
3
AO
AO
平面BCD,
所以
1
1
1
3
1
1
3
3
3
2
6
BCD
V
AO S
【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.
21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
17,0
F
、
2
1
2
17,0
2
F
MF
MF
，点M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；
（2）设点T 在直线
1
2
x
上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q两点，且
TA TB
TP TQ
，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
【答案】（1）
2
2
1
1
16
y
x
x
；（2）0 .
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点
1F 、
2
F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值
，即可得出轨迹C 的方程；
（2）设点
1 ,
2
T
t
，设直线AB 的方程为
1
1
2
y
t
k
x
，设点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，联立直线AB
与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB
的表达式，设直线PQ 的斜率为
2k ，同理可得出
TP TQ
的表达式，由TA TB
TP TQ
化简可得
1
2
k
k
的值.
【详解】因为
1
2
1
2
2
2 17
MF
MF
F F
，
所以，轨迹C 是以点
1F 、
2
F 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹C 的方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，则2
2
a
，可得
1
a ，
2
17
4
b
a
，
所以，轨迹C 的方程为
2
2
1
1
16
y
x
x
；
（2）设点
1 ,
2
T
t
，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，
不妨直线AB 的方程为
1
1
2
y
t
k
x
，即
1
1
1
2
y
k x
t
k
，
联立
1
1
2
2
1
2
16
16
y
k x
t
k
x
y
，消去y 并整理可得
2
2
2
1
1
1
1
1
16
2
16
0
2
k
x
k
t
k
x
t
k
，
设点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，则
1
1
2
x
且
2
1
2
x
.
由韦达定理可得
2
1
1
1
2
2
1
2
16
k
k t
x
x
k
，
2
1
1
2
2
1
1
16
2
16
t
k
x x
k
，
所以，
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
12 1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
16
t
k
x
x
TA TB
k
x
x
k
x x
k
，
设直线PQ 的斜率为
2k ，同理可得
2
2
2
2
2
12 1
16
t
k
TP TQ
k
，
因为TA TB
TP TQ
，即
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
12 1
12 1
16
16
t
k
t
k
k
k
，整理可得
2
2
1
2
k
k
，
即
1
2
1
2
0
k
k
k
k
，显然
1
2
0
k
k
，故
1
2
0
k
k
.
因此，直线AB 与直线PQ的斜率之和为0 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22. 已知函数
1 ln
f x
x
x
.
（1）讨论
f x 的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln
ln
b
a
a
b
a
b
，证明：
1
1
2
e
a
b
.
【答案】（1）
f x 的递增区间为
0,1 ，递减区间为
1,+；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；
（2）设
1
2
1
1
,
x
x
a
b
，原不等式等价于
1
2
2
x
x
e
，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后
者可设
2
1
x
tx
，从而把
1
2
x
x
e
转化为
1 ln
1
ln
0
t
t
t
t
在
1,上的恒成立问题，利用导数
可证明该结论成立.
【详解】（1）函数的定义域为
0,
，
又
1 ln
1
ln
f
x
x
x
，
当
0,1
x
时，
0
f
x
，当
1,+
x
时，
0
f
x
，
故
f x 的递增区间为
0,1 ，递减区间为
1,+.
（2）因为ln
ln
b
a
a
b
a
b
，故
ln
1
ln +1
b
a
a
b
，即
ln
1
ln +1
a
b
a
b
，
故
1
1
f
f
a
b
，
设
1
2
1
1
,
x
x
a
b
，由（1）可知不妨设
1
2
0
1,
1
x
x
.
因为
0,1
x
时，
1 ln
0
f x
x
x
，
,
x
e
时，
1 ln
0
f x
x
x
，
故
2
1
x
e
.
先证：
1
2
2
x
x
，
若
2
2
x
，
1
2
2
x
x
必成立.
若
2
2
x
， 要证：
1
2
2
x
x
，即证
1
2
2
x
x
，而
2
0
2
1
x
，
故即证
1
2
2
f x
f
x
，即证：
2
2
2
f x
f
x
，其中
2
1
2
x
.
设
2
,1
2
g x
f x
f
x
x
，
则
2
ln
ln 2
g
x
f
x
f
x
x
x
ln
2
x
x
，
因为1
2
x
，故
0
2
1
x
x
，故
ln
2
0
x
x
，
所以
0
g
x
，故
g x 在
1,2 为增函数，所以
1
0
g x
g
，
故
2
f x
f
x
，即
2
2
2
f x
f
x
成立，所以
1
2
2
x
x
成立，
综上，
1
2
2
x
x
成立.
设
2
1
x
tx
，则
1
t ，
结合
ln
1
ln +1
a
b
a
b
，
1
2
1
1
,
x
x
a
b
可得：
1
1
2
2
1 ln
1 ln
x
x
x
x
，
即：
1
1
1 ln
1 ln
ln
x
t
t
x
，故
1
1
ln
ln
1
t
t
t
x
t
，
要证：
1
2
x
x
e
，即证
1
1
t
x
e
，即证
1
ln
1
ln
1
t
x
，
即证：
1
ln
ln
1
1
1
t
t
t
t
t
，即证：
1 ln
1
ln
0
t
t
t
t
，
令
1 ln
1
ln ,
1
S t
t
t
t
t t
，
则
1
1
2
ln
1
1 ln
ln 1
1
1
t
S t
t
t
t
t
t
，
先证明一个不等式：
ln
1
x
x
.
设
ln
1
u x
x
x
，则
1
1
1
1
x
u
x
x
x
，
当1
0
x
时，
0
u
x
；当
0
x
时，
0
u
x
，
故
u x 在
1,0
上为增函数，在
0,+上为减函数，故
max
0
0
u x
u
，
故
ln
1
x
x
成立
由上述不等式可得当
1
t 时，
1
1
2
ln 1
1
t
t
t
，故
0
S t
恒成立，
故
S t 在
1,上为减函数，故
1
0
S t
S
，
故
1 ln
1
ln
0
t
t
t
t
成立，即
1
2
x
x
e
成立.
综上所述，
1
1
2
e
a
b
.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化
与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关
的不等式问题.
