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2022-2023 学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷
第十三章 轴对称（能力提升）
时间：100 分钟 总分：120 分
一、
选择题（每题3 分，共24 分）
1．在如图所示的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B 的直线折叠这个三角形，
使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD，则△AED 的周长是 （ ）
A．7
B．8
C．11
D．14
【解析】
解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，
∵AB＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
△AED 的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，
答：△AED 的周长为7．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、理解对应关系是解题的关键．
2．如图，将一张矩形纸片折叠，若
，则
的度数是 （ ）
A．51°
B．56°
C．61°
D．76°
【解析】
解：如图
由平行可知∠3=∠1=28°，
由折叠可知∠4=∠2．
∵∠3+∠4+∠2=180°，
∴
．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 （ ）．
A．100°
B．40°
C．40°或100°
D．40°或70°
【解析】
当这个40°的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40°；
当这个40°的角是底角时，则顶角度数为：
=100°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分
类讨论思想．
4．如图，在△ABC 中，∠B＝74°，边AC 的垂直平分线交BC 于点D，交AC 于点E，若AB＋BD
＝BC，则∠BAC 的度数为 （ ）
A．74°
B．69°
C．65°
D．60°
【解析】
解：如图，连接AD，
∵边AC 的垂直平分线交BC 于点D，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，
∴CD＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝74°，
∴∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关
键．
5．如图，直线m，l 相交于点O，P 为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P 关于直线l，m 的
对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是 （ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】
连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P 关于直线l，m 的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜2.6，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．
6．如图，已知
，
，则点O 是
（ ）
A．三条边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
【解析】
解：∵OA=OB，
∴点O 在线段AB 的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴点O 在线段BC 的垂直平分线上，
∴点O 为△ABC 的三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
7．如图，在△ABC 中，
，∠ABC 和∠ACB 的角平分线分别交ED 于点F、G，若FG＝2，
ED＝6，则DB+EC 的值为 （ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】
解：∵
，
∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，
∵FB 是∠ABC 的平分线，CG 是∠ACB 的平分线，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，
∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∵FG=2，ED=6，
∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的
关键是等腰三角形的证明．
8．如图，∠BOC＝9°，点A 在OB 上，且OA＝1，按下列要求画图：以A 为圆心，1 为半径向
右画弧交OC 于点
，得第1 条线段
；再以
为圆心，1 为半径向右画弧交OB 于点
，得
第2 条线段
；再以
为圆心，1 为半径向右画弧交OC 于点
，得第3 条线段
；……；
这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值为( )
A．9
B．21
C．35
D．100
【解析】
解：由题意可知：AO= A1A，A1A= A2A1, …；
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…；
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=2∠BOC= 18°，
同理可得∠A2A1C= 27°， ∠A3A2B = 36°， ∠A4A3C = 45°，∠A5A4B= 54°，
∠A6A5C=63°，∠A7A6B= 72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，
∴第10 个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，
∴最多能画9 条线段；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的
一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．
二、填空题（每题3 分，共24 分）
9．若一个等腰三角形的周长是20，一边长是4，则另一边长是______．
【解析】
解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，
则有x+4×2=20，
解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以组成三角形；
若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，
则有2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以组成三角形；
∴三角形的另一边的长分别为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．
10．如图，在△
中，
，
，点
在
边上，连接
．若△
为直角
三角形，则
的度数是____．
【解析】
∵在△ABC 中，AB= AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，
∵点D 在BC 边上，△ABD 为直角三角形，
如图1，当∠BAD=90°时，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°-90°=30° ，
∵∠C=30°，
∴∠ADC=180°−(∠CAD+∠C)=120°，
如图2，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，
综上所述，∠ADC 的度数是120° 或90° ，
故答案为120°或90°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分
类讨论的数学思想解答．
11．如图，在等边△ABC 内，AD＝BE，BD＝CE，点D 在BE 上，若∠CBE＝15°，则∠CAD 的度
数为__________．
【解析】
解：∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC，
，
∵在△ABD 和△BCE 中，
，
∴
，
∴∠BAD=∠CBE＝15°，
∴
．
故答案为：45°．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据题意证明
，
是解题的关键．
12．在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=140°，点D 在BC 上，△ABD 和△AFD 关于直线AD 对称，
∠FAC 的平分线交BC 于点G，连接FG 当∠BAD=________时，△DFG 为等腰三角形．
【解析】
解：∵AB=AC，∠BAC=140°，
∴∠B=∠C=20°．
∵△ABD 和△AFD 关于直线AD 对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG 平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF 和△AGC 中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°．
①当GD=GF 时，
∴∠GDF=∠GFD=40°．
∵∠ADG=20°+θ，
∴20°+40°+20°+θ+θ=180°，
∴θ=50°；
②当DF=GF 时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=40°，
∴∠FDG=∠FGD=70°．
∴20°+70°+20°+2θ=180°，
∴θ=35°；
③当DF=DG 时，
∴∠DFG=∠DGF=40°，
∴∠GDF=100°，
∴20°+100°+20°+2θ=180°，
∴θ=20°．
∴当θ=20°，35°或50°时，△DFG 为等腰三角形．
故答案为：20°或35°或50°．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性
质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
13．若正多边形的一个外角是
，则这个多边形对称轴的条数是________．
【解析】
解：∵正多边形的一个外角是
，
∴正多边形的边数为
＝5，
∴这个正多边形是正五边形，故其对称轴有5 条．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查的是正多边形的外角和，掌握边数×一个外角＝360°是解题的关键．
14．如图，在
中，
，
、
、
分别是边
、
、
上的点，
，
且
，
，
，则
边的长是______．
【解析】
解：∵
，
∴∠B=∠C，
∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°，∠CDF+∠C+∠CFD=180°，
，
∴∠BDE=∠CFD，
在△EBD 和△DCF 中
，
∴△EBD≌△DCF（AAS），
∴CD=BE=8，BD=CF=5，
∴BC=BD+CD=5+8=13，
故答案为：13．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，此题难度不大，解题的关键是能
证明△EBD≌△DCF．
15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线和∠ACB 相邻的外角平分线CD 交于点D，过点D 作
DE∥BC 交AB 于E，交AC 于G，若EG=2，且GC=6，则BE 长为_________．
【解析】
解：
平分
，BD 平分∠ABC，
，∠ABD=∠CBD，
，
，∠EDB=∠CBD，
，∠ABD=∠EDB，
，BE=DE，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解
题关键．
16．如图，四边形ABCD 中，
，
，E、F 分别是AD、AB 上的动点，当
的周长最小时，
的度数是______．
【解析】
作C 关于BA 和AD 的对称点N，M，连接MN，交AD 于E1，交AB 于F1，则MN 即为△CEF 的周长
最小值．
∵
，
，
∴∠DCB=110°，
由对称可得：CF1=F1N，E1C=E1M，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即当
的周长最小时，
的度数是40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性
质、等边对等角等知识，根据已知得出
的周长最小时，E，F 的位置是解题关键．
三、解答题（每题8 分，共72 分）
17．如图，两条公路
，
相交于点
，在
内部有两个村庄
，
．为方便群众接种
新冠疫苗，该地决定在
内部再启动一个方舱式接种点，要求同时满足：
（1）到两条公路
，
的距离相等．
（2）到两村庄
，
的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点的位置（保留作图痕迹）．
【解析】
如图，作线段CD 的垂直平分线MN，作∠AOB 的角平分线OF，OF 交MN 于点P，则点P 即为所
求．
【点睛】
本题考查作图—作线段垂直平分线，作图—作角平分线，解题的关键是掌握线段垂直平分线、
角平分线的性质并知道如何正确的作图．
18．如图，
，
的垂直平分线交
于
，交
于
．
（1）若
，求
的度数；
（2）若
，
的周长17，求
的周长．
【解析】
（1）∵AB＝AC，
∴△ABC 是等腰三角形，
∵∠A＝40 ，
∴∠ABC＝∠C＝
×（180 −40 ）＝70 ，
∵DE 所在的直线是AB 的垂直平分线
∴△ABD 是等腰三角形，
∴∠ABD＝∠A＝40 ，
∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝70 −40 ＝30 ；
（2）∵△ABD 是等腰三角形
∴AD＝BD，
∵C△CBD＝BC＋CD＋BD＝17，
∴BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝17，
∵AE＝5
∴AB＝2AE＝10，
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝10＋17＝27．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础
题．
19．如图，OP 是∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．
(1)求证：OC＝OD；
(2)求证：OP 是CD 的垂直平分线．
【解析】
(1)证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC 与Rt△POD 中，
∵
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
(2)证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP ，
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE 与△DOE 中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO ，
∵∠CEO+∠DEO =180°，
∴∠CEO＝∠DEO= 90°，
∴OE⊥CD，
∴OP 是CD 的垂直平分线．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟知角
的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．如图，
，
，
，
．
(1)求证：
；
(2)连接EC，AO，求证：AO 垂直平分EC．
【解析】
(1)证明：在
和
中，
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
(2)证明∶如图，
由（1）可知，
，
．
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
∴点
在
的垂直平分线上．
又∵
，
∴点
也在
的垂直平分线上，
∴
垂直平分
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的
判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
21．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于D，E 是AB 上的一点，EF∥AD 交CA 的延长线于
F．求证：AF＝AE．
【解析】
证明：∵△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF AD，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题
的关键．
22．已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D
在线段AC 的垂直平分线上．
【解析】
证：如图，在BC 上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△BAD≌△BED，
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴AD＝CD，
∴点D 在线段AC 的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角
形是解题的关键．
23．在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，点E 在边AC 上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝
∠C．
(1)如图①，求证：△ADE 是等腰三角形；
(2)如图②，若DE 平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE 相等
的角（∠CDE 除外）．
【解析】
(1)证明：
是
的一个外角，
又
，
，
在
和
中，
，
，
是等腰三角形．
(2)解：由（1）得，
，
，
DE 平分∠ADC，
，
又∠BAD＝∠CDE，
，
，
，
所以图中与∠CDE 相等的角有∠B，∠C，∠ADE 和∠BAD．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关
键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质．
24．如图，在△ABC 中，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边在AD 的右侧作等腰
Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
(1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC．
①如图1，当点D 在线段BC 上时，线段CE 与BD 的位置关系为 ，数量关系为
；
②如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(2)如图3，若△ABC 是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D 在线段BC 上运动时，证明：
CE⊥BD．
【解析】
（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又 BA＝CA，
AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC
为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即
CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．②当点D 在BC 的延长线上时，①的结论仍成立．
∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝
∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即 CE⊥BD；
（2）证明：过点A 作AG⊥AC 交BC 于点G，
∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG 是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝
90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝
∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的
判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键．
25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应
连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉
手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1 的结论成立；
(2)如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD，EC 交于点O，求∠BOC 的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．
【解析】
(1)解：证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
(2)如图2，
∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
令AD 与CE 交于点G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°；
(3)∠A+∠BCD=180°．理由：
如图3，延长DC 至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP 是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判
定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
