2025年辽宁中考数学试题及答案

2025 年辽宁中考数学试题及答案
（本试卷共23 小题满分120 分考试时长120 分钟）注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：抛物线
的顶点坐标是
第一部分选择题一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列几何体中，主视图为三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．十年砥砺，春华秋实．据2025 年5 月6 日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重
要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015 年开馆以来，累计接待4 超1900 万人次．数
据19000000 用科学记数法表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小
球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率
为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，点
在
的边
上，
，垂足为
，
，若
，则
的度数为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在矩形
中，点
在边
上，
，连接
，若
，
，则
的
长为（　　）
A．1
B．5
C．2
D．
8．在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，点
的坐标为
，将线段
平移得
到线段
，点
的对应点
的坐标为
，则点
的对应点
的坐标为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共
六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864 平方步，只知道它的长与宽
共60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为
步，根据题意可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．2
10．如图，在
中，
，
，
，
的平分线
与
相交于点
．
在线段
上取一点
，以点
为圆心，
长为半径作弧，与射线
相交于点
和点
，
再分别以点
和点
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于点
，作射线
，与
相交于点
，连接
．则
的周长为（　　）
A．12
B．14
C．16
D．18
第二部分非选择题
二、填空题（本题共5 小题，每小题3 分，共15 分）
11．在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量
记作
，那么低于
标准质量
记作           
．
12．在电压不变的情况下，电流（单位：
）与电阻（单位：
）是反比例函数关系．当
时，
．则电流
与电阻
之间的函数表达式为
           ．
13．甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10 次，他们各自测试成绩（单位：
）的平均
数和方差如下表：
运动员
平均数
方差
甲
601
乙
601
则这两名运动员测试成绩更稳定的是           （填“甲”或“乙”）．
14．如图，为了测量树
的高度，在水平地面上取一点
，在
处测得
，
，则树
的高约为           
（结果精确到
．参考数据：
，
）．
15．如图，在菱形
中，对角线
与
相交于点
，点
在线段
上，
，点
在线段
上，
，连接
，点
为
的中点，连接
，则
的长为 
．
三、解答题（本题共8 小题，共75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算：
(1)
；
(2)
．
17．小张计划购进
两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知
种文创产品比
种文创产品每件进价多3 元，购进2 件
种文创产品和3 件
种文创产品共需花费26 元．
(1)求
种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B 两种文创产品共100 件，且总费用不超过550 元，那么小张最多可以购
进多少件
种文创产品？
18．种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，
该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每
人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图
抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表
棵
数/
棵
1
2
3
4
5
人
数/
人
4
10
6
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求
的值；
(2)求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数；
(3)本次植树活动中，植树不少于4 棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有
320 名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数．
19．为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数
学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活
动
主
题
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活
动
准
备
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采
集
数
据
图1 是校门及上方抛物线形框架结构的平面
示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形
）；
2．底部跨度（
的长）为
；
3．立柱
的长为
，且
，垂足为
．
设
计
方
案
考虑实用和美观等因素，在
间增加两根
与
垂直的立柱，垂足分别为
，立柱
的另一端点
在抛物线形框架结构上，其
中
．
确
定
思
路
小组成员经过讨论，确定以点
为坐标原点，
线段
所在直线为
轴，建立如图2 所示的
平面直角坐标系．点
的坐标为
，设抛
物线的表达式为
，分析数据得到点
或点
的坐标，进而求出抛物线的表达式，
再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解
决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为
的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的
长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
20．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与
轴相交于点
，与
轴相交于点
，
点
在线段
上（不与点
，重合），过点
作
的垂线，与直线
相交于点
，点
关
于直线
的对称点为
，连接
．
(1)求证：
；
(2)设点
的坐标为
，当
时，线段
与线段
相交于点
，求四边形
面积的最大值.
21．如图，在
中，
，以
为直径作
，与
相交于点
．连接
，与
相交于点
．
(1)如图1，连接
，求
的度数；
(2)如图2，若点
为
的中点，且
，求
的长．
22．（1）如图1，在
与
中，
与
相交于点
，
，
求证：
；
（2）如图2，将图1 中的
绕点
逆时针旋转得到
，当点
的对应点
在线段
的延长线上时，
与
相交于点
：若
，求
的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
并延长，与
的延长线相交于点
，连接
，求
的面积．
23．如图，在平面直角坐标系
中，二次函数
的图象与
轴的正半轴相交
于点
，二次函数
的图象经过点
，且与二次函数
的图象的另一个交点为
，
点
的横坐标为
．
(1)求点
的坐标及
的值．
(2)直线
与二次函数
的图象分别相交于点
，与直线
相交于点
，当
时，
①求证：
；
②当四边形
的一组对边平行时，请直接写出
的值．
(3)二次函数
与二次函数
组成新函数
，当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，求
的取值范围．
1．A
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此判断出对应
几何体的主视图形状即可得到答案．
【详解】解；A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意；
C、球的主视图是圆，不符合题意；
D、正方体的主视图是正方形，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为
的形式，其中
，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝
对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10 时，n 是正数，由此进行求解即可
得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
3．B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定
义，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运
算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A． 
，故该选项错误，不符合题意；
B． 
，故该选项错误，不符合题意；
C． 
，故该选项错误，不符合题意；
D． 
，故该选项正确，符合题意．
故选D．
5．C
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可
得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出
答案．
【详解】解：列表如下：
红
黄
红
(红，红)
(红，黄)
黄
(黄，红)
(黄，黄)
共有4 种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2 种，
∴两次摸出的都是红球的概率为
．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到
，再根
据三角形的外角的性质，求出
的度数即可．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
∴
；
故选C．
7．D
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾
股定理求出
的长，进而得到
的长，推出
的长，进而求出
的长，再利用勾股定理
求出
的长即可．
【详解】解：∵矩形
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
故选D.
8．B
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A 平移后的对应点C 的坐标
确定平移规则，再应用于点B 即可得到点D 的坐标．
【详解】解：由题意，点
向上平移5 个单位得到点
，
∴点
向上平移5 个单位得到点
，
∴点
的坐标为
，即
；
故选B．
9．A
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x 步，则长为
步，
利用矩形面积公式即可列出方程.
【详解】解：设宽为x 步，则长为
步
由题意，得：
，
故选：A.
10．B
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作
图可知
，证明
，得到
，
，进而求出
的长，得到
垂
直平分
，得到
，进而推出
的周长等于
的长即可．
【详解】解：由作图可知，
，设
交于点
，则：
，
∵
平分
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
垂直平分
，
，
∴
，
∴
的周长为
；
故选B
11．
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质
量用“
”表示，那么低于标准质量就用“
”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量
记作
，那么低于标准质量
记作
，
故答案为：
．
12．
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流
与电阻
之间的函数表达式为
，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设电流
与电阻
之间的函数表达式为
，
∵当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
13．甲
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案．
【详解】解：∵
，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲．
14．
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键．
在
中，由
即可求解．
【详解】解：由题意得
，
∴在
中，
，
故答案为：
．
15．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且
平分，可得
，
，取
中点H，连接
，则
，
，再用勾股定理解
即可．
【详解】解：
在菱形
中，对角线
与
相交于点
，
，
，
，
，
如图，取
中点H，连接
，
点
为
的中点，点H 为
的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
16．(1)4
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算；
（2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
种文创产品每件的进价为
元
(2)小张最多可以购进50 件
种文创产品
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，
是解题的关键：
（1）设
种文创产品每件的进价为
元，根据
种文创产品比
种文创产品每件进价多3 元，
购进2 件
种文创产品和3 件
种文创产品共需花费26 元，列出一元一次方程进行求解即
可；
（2）设小张购进
件
种文创产品，根据总费用不超过550 元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设
种文创产品每件的进价为
元，则：种文创产品每件的进价为
元，
由题意，得：
，
解得：
，
答：
种文创产品每件的进价为
元；
（2）设小张购进
件
种文创产品，由（1）可知，
种文创产品每件的进价为
元，
由题意，得：
，
解得：
；
答：小张最多可以购进50 件
种文创产品．
18．(1)
(2)3
(3)估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为
人
【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是
解题的关键：
（1）先用植树棵数为2 棵的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而用总人数乘以植树棵
数为3 棵的人数所占的比例，求出
的值，再用总数减去其它组的数量求出
的值即可；
（2）根据中位数的确定方法进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可.
【详解】（1）解：
（人）；
∴
，
；
故答案为：
；
（2）将数据排序后，位于第20 个和第21 个数据均为3，
∴中位数为3；
（3）
（人）；
答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为
人.
19．(1)
(2)这根材料的长度够用
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出
点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出
的坐标，进而求出
的长，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
，
，
∴
，
把
代入
，得：
，
∴
，
∴
；
（2）由题意，可知：
，
∴
关于
轴对称，
∵
，
∴当
时，
，
∴
，
∵
，
故这根材料的长度够用．
20．(1)见解析
(2)四边形
面积的最大值为
．
【分析】（1）先求得
，
，得到
，
，利用等腰直角三角形的性质即可
证明结论成立；
（2）由题意得
，
，根据折叠的性质得
，
，利用等腰直角三角形的判定和性质求得
，
，再利用梯形的面积公式求得四边形
面积关于
的二次函数，利用
二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）证明：对于直线
，
令
，则
；令
，则
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
；
（2）解：∵点
的坐标为
，
∴
，
，
∵点
关于直线
的对称点为
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴四边形
面积
∵
，
∴当
，四边形
面积有最大值，最大值为
．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2
问求得四边形
面积关于
的二次函数的解析式是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性
质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接
，先证明
，得到
，由等腰三角形性质得
到
，设
，在四边形
中，由四边形内角和等于
计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明
为等边三角形，则可求
度数，再
由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
，
在四边形
中，∵
∴
，
∴
；
（2）解：连接
，
∵
，
为
中点，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
的长为：
．
22．（1）见解析；（2）
；（3）
．
【分析】（1）利用等边对等角求得
，再利用
证明
即可；
（2）由题意得
，得到
，
，
，作
于点
，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得
，
，证明
，
推出
，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设
，由旋转的性质得
，则
，利用三角形内角和
定理以及平角的性质求得
，
，推出
，求得
，作
于点
，求得
，
再求得
，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵
，
∴
，即
，
∵
，
，
∴
；
（2）∵
，即
，
∴
，
，
，
作
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
；
（3）设
，
由旋转的性质得
，则
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
作
于点
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，即
，
∴
．
23．(1)点
的坐标为
，
的值分别为
(2)①见解析②
或
(3)
【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，
平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先求出
，
，再分别代入
，列出二元一次方程组，即可解答．
（2）①设直线
的解析式为
，将
，
分别代入，得直线
的解析式为
，设点E 的坐标为
，求出
，设
，
，则
，
，即可解答．
②当
时，
，当
时，
，再分类讨论，即可解
答．
（3）易得
，当
时，
取得最小值为
，解出
；
当
时，函数
的最大值为
，解得
；当
时，
，解得，
或
（舍去），
，即可解答．
【详解】（1）解：当
时，
，
解得
，
∴
，
将
代入
，得
，
∴
，
将
，
分别代入
，得
，
解得
．
答：点
的坐标为
，
的值分别为
．
（2）①证明：如图，
设直线
的解析式为
，将
，
分别代入，得
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
设点E 的坐标为
∵
，
∴
，
将
代入
得
，
将
代入
，得
，
∴
，
，
∴
②如图
当
时，
，
∴
，
∴
，
即
，解得
．
当
时，
，
∴
，
∴
，
即
，解得
，
∴
或
．
（3）∵次函数
与二次函数
组成新函数
，
∴
，
∴当
时，y 随x 的增大而增大；当
时，y 随x 的增大而减小；
当
时，y 随x 的增大而增大．且当
时，
取得最小值．
∵当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，
∴当
时，
取得最小值为
，即
，
解得
．
∵
时，函数
的最大值为
，
∴当
时，函数
的最大值为
，即
，
解得
；
当
时，
，
解得，
或
（舍去），
∴
，
∵
，
∴
，
解得，
．